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高中数学选修1-1考试题及答案


选修 1-1 测试题及答案

高中数学选修 1-1 考试题
考试时间为 120 分钟,满分为 100 分。 一、选择题(本大题有 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,请从 A,B,C,D 四个选项中,选 出一个符合题意的正确选项,填入答题卷,不选,多选,错选均得零分。 ) 1.抛物线 y ? 4 x2 的焦点坐标是 A. (0,1) B. (1, 0) C. (0,

1 ) 16

D. (

1 , 0) 16

2.设 a ? R, 则 a ? 1 是

1 ? 1的 a
B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分但不必要条件 C.充要条件

2 2 3.命题“若 a ? b ? 0 ,则 a , b 都为零”的逆否命题是 2 2 A.若 a ? b ? 0 ,则 a , b 都不为零 2 2 B.若 a ? b ? 0 ,则 a , b 不都为零 2 2 C.若 a , b 都不为零,则 a ? b ? 0 2 2 D.若 a , b 不都为零,则 a ? b ? 0

4.曲线 y ? A.

3? 4

1 3 x ? x 2 ? 5 在 x ? 1 处的切线的倾斜角为 3
B.

? 3

C.
2

? 4

D.

? 6
2 2

5.一动圆 P 与圆 A : ( x ? 1) ? y ? 1 外切,而与圆 B : ( x ?1) ? y ? 64 内切,那么动圆
2

的圆心 P 的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 6.函数 f ( x) ? ln x ? x 的单调递增区间是 A. (??,1) B. (0,1)

C.抛物线

D.双曲线的一支

C. (0, ??)

D. (1, ??)

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7.已知 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 M 在椭圆上且 MF2 ? x 轴,则 4 3

| MF1 | 等于
A.

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1 2
2 ?x

B.

3 2

C.

5 2

D.3

8.函数 f ( x) ? x e 在 [1,3] 上的最大值为
1

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A.1

B. e ?1

C. 4e?2

D. 9e?3

9.

设双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离 2 a b
). B. 5 C.

心率为( A.

5 4

5 2

D. 5

10.

设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O ). D. y ? 8x
2

为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y ? ? 4 x
2

B. y ? ? 8x
2

C. y ? 4 x
2

11.

2 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1

和直线 l2 的距离之和的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4
2 '

D. 1

12. 已知函数 f ( x ) 在 R 上可导,且 f ( x) ? x ? 2 xf (2) ,则 f (?1) 与 f (1) 的大小

A

f (?1) ? f (1) B

f (?1) ? f (1) C

f (?1) ? f (1) .D 不确定

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案写在答题卷上) 13.已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1 ,则 ? p 为________。

14.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点 F 到其渐近线的距离为___________。 4 5
3 2 2

15.若函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? a x 在 x ? 1 处有极小值,则实数 a 等于_________。 16.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上横坐标为 1 的点到顶点的距离与到准线的距离相等,则
2

该抛物线的方程为______________。 三、解答题(本大题有 4 小题,共 48 分,请叫解答过程写在答题卷上) 17. (本题 10 分) 已知 f ( x) ?

3x ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程。 x2 ? 1

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2

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18. (本题 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3a2 x ? 1 (1)若 a ? 1, 求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)已知 a ? 0 ,若 ?x ? [1, 2] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分)已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0)(1,0) , 。
(1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。

3 2

3

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20.

(本题 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ,且点 P(1, 2) 在抛物线上。

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(1)求 p 的值 (2)直线 l 过焦点且与该抛物线交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 10 ,求直线 l 的方程。

高中数学选修 1-1 考试题答案
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 1.C 2.B 3.D 4.A 7.C 8. C 9. D 10. B 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.?x ? R,sin x ? 1 三、解答题(共 48 分) 17. (10 分)
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5.A 11. A

6.B 12. B 16.y 2 ? 8x

14. 5

15.(答 1 或-4 扣 2 分) 1

解: f '( x) ?

?3x2 ? 2 x ? 3 ( x 2 ? 1)2
1 2
1 ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 5 ? 0 2

f '(1) ? ? f (1) ? 2

故切线方程为: y ? 2 ? ? 18. (14 分)

2 解: (1)当 a ? 1 时, f '( x) ? 3x ? 3

由 f '( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 1 ,由 f '( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 1 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (??, ?1) 和 (1, ??) ,单调递减区间是 (?1,1)
3 2 (2)由题 ?x ? [1, 2] ,恒有 x ? 3a x ? 1 ? 0

? ?x ?[1, 2], 恒有 3a 2 ?

x3 ? 1 x

x3 ? 1 1 1 令 h( x) ? ? x2 ? , h '( x) ? 2 x ? 2 ? x x x
当 x ? [1, 2] 时, h '( x) ? 0
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1 2( x3 ? ) 2 , x2

4

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? h( x) 在 [1, 2] 上单调递增, h( x)min ? h(1) ? 2
故 3a 2 ? 2 又a ? 0

?0 ? a ?

6 3

19. (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

x2 y 2 1 9 ? 2 ? 1,解得 b2 ? 3 , ? 2 ?1 , 2 2 1? b 4b a b

3 b 2 ? ? (舍去) 4
所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3 x2 y 2 3 ? ? 1得 ,代入 2 4 3

……………4 分

(Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ?

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2 3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 2

………8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? ?kxE ? ? k 2
所以直线 EF 的斜率 K EF ?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2
2

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

……12 分

20. (12 分)解: (1)? 点 P(1, 2) 在抛物线 y ? 2 px 上

? 4 ? 2 p, 即 p ? 2
(2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
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若 l ? x 轴,则 | AB |? 4, 不适合
5

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故设 l : y ? k ( x ?1) ,代入抛物线方程得 k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0

? ? 16k 2 ? 16 ? 0
由 | AB |? x1 ? x2 ? 2 ?

2(k 2 ? 2) 2 ? 2 ? 10 ,得 k 2 ? 2 3 k
6 ( x ? 1) 3

? 直线 l 的方程为 y ? ?

6


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