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2.4.1 抛物线及其标准方程 课件1


第二章 圆锥曲线与方程

2.4.1 抛物线及其标准方程

高中数学选修2-1

引入课题:抛物线

知识点一:抛物线的定义
观察抛物线的形成过程,并思考其定义.

知识探究:抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条

定直线l(F不在l上)的距离相等
的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点. 定直线l 叫做抛物线的准线.

此处插入几何画板

知识点二:求抛物线的方程
求曲线方程的步骤
建系 ? 建立适当坐标系 ? 将点坐标化

代入

? 将动点满足的几何条件坐标化
? 将所得方程化为最简形式

化简

知识探究:不同坐标系对方程的影响
尝试几种不同的建系方法, 定直线 分别求出其对应的方程, 并比较简洁程度. 以过F且垂直于 l 的直线为x轴, 垂足为K.以F,K的中点O为 坐标原点建立直角坐标系xOy. 标准方程:y2=2px
焦点到准线的距离 K p O y

定点 F
x

l

知识探究:焦点位置对方程的影响
根据上述方程的推导过程,试写出下列抛物线的方程.

y

y

y
x O x




O x O



知识点三:抛物线的标准方程
图象 开口 标准方程 焦点 准线 (1)方程中 一次项系 数为焦点 非零坐标 的4倍; (2)准线与 焦点非零 坐标互为 相反数.

﹒ o ﹒o ﹒ o
y

x

向右 y2=2px(p>0)

y

x

2=-2px(p>0) y 向左

y

x

向上 x2=2py(p>0)

y


o

x

向下 x2=-2py(p>0)

典例分析

(1)定型(2)定量

【解析】(1)焦点在x轴上,且(-2)×4=-8 ∴方程为y2=-8x;
(2)焦点在y轴上,且1×4=4 ∴方程为x2=4y;

典例分析
(3)过点A(2,3); 方程可设为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0), 将点A(2,3)的坐标代入,得

【解析】 点A在第一象限,∴抛物线开口向右或者向上

32=m· 2或22=n· 3,

典例分析

【解析】

跟踪训练
根据下列条件写出抛物线的标准方程:
(1)经过点(-3,-1); 开口向左或向下

(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
(4,0),(0,-3)为 抛物线的焦点

典例分析
已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,
又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此时
y
P A O l F x

P点坐标.

利用定义转化

d

【解析】

跟踪训练
已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0, 2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ).

答案:A

典例分析
一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线型的 隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为a m, 求使卡车通过的a的最小整数值.
利用方程 y
O x B

【解析】

A

典例分析

跟踪训练
某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶5米时,

水面宽8米,一木船宽4米,高2米,载货的木船露在水
面上的部分为0.75米,当水面上涨到与拱顶相距多少 时,木船开始不能通航? 解:以桥的拱顶为坐标原点,

拱高所在的直线为y轴
建立直角坐标系.

设抛物线的方程是x2=-2py(p>0)
由题意知A(4,-5)在抛物线上,

跟踪训练

归纳小结
1.求抛物线方程,通常用待定系数法, 若能确定抛物线的焦点位置,则可设出 抛物线的标准方程,求出p值即可. 若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论. 焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0), 焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0).

归纳小结
2.抛物线的定义在解题中的作用, 就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离 与到准线距离的转化,另外要注意平面几何 知识的应用,如两点之间线段最短,三角形 中三边间的不等关系,点与直线上点的连线 线段最短等.

归纳小结
3.在建立抛物线的标准方程时,

常以抛物线的顶点为坐标原点,
对称轴为一条坐标轴建立坐标系,

这样可使得标准方程不仅具有对称性
而且曲线过原点,方程不含常数项,

形式更为简单,便于应用.

当堂训练
C

2.点P为抛物线y2=2px上任一点,F为焦点,则以P为圆心,

以|PF|为半径的圆与准线l( B )
A.相交 B.相切

C.相离

D.位置由F确定

当堂训练
3.经过点P(2,4)的抛物线的标准方程是( C )
A.y2=8x B.x2=y

C.y2=8x或x2=y

D.无法确定

再见


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