当前位置:首页 >> 数学 >>

2016届《创新设计》数学一轮(文科)人教B版配套作业 第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性


第 3 讲 函数的奇偶性与周期性

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.(2014· 重庆卷)下列函数为偶函数的是 A.f(x)=x-1 C.f(x)=2x-2-x 解析 B.f(x)=x2+x D.f(x)=2x+2-x ( )

函数 f(x)=x-1 和 f(x)=x2+x 既不是偶函数也不是奇函数,排除选项 A

和选项 B;选项 C 中 f(x)=2x-2-x,则 f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x), 所以 f(x)=2x-2-x 为奇函数,排除选项 C;选项 D 中 f(x)=2x+2-x,则 f(-x) =2-x+2x=f(x),所以 f(x)=2x+2-x 为偶函数,故选 D. 答案 D

2.(2014· 烟台模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2), 有 f(x2)-f(x1) <0,则 x2-x1 B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) ( )

A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) 解析

由题意知 f(x)为偶函数,所以 f(-2)=f(2),

又 x∈[0,+∞)时,f(x)为减函数,且 3>2>1, ∴f(3)<f(2)<f(1),即 f(3)<f(-2)<f(1),故选 A. 答案 A

3.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1) 等于 A.4 C.2 B.3 D.1 ( )

-1-

解析

由题意知:f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,

① ②

f(1)+g(-1)=f(1)+g(1)=4, ①+②得 g(1)=3. 答案 B

4.(2014· 辽宁统一检测)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递 增,若 f(lg x)<0,则 x 的取值范围是 A.(0,1) C.(1,+∞) 解析 B.(1,10) D.(10,+∞) ( )

依题意,函数 f(x)在 R 上是增函数,且 f(0)=0,不等式 f(lg x)<0=f(0)

等价于 lg x<0,故 0<x<1,故选 A. 答案 A

5.(2014· 山东卷)对于函数 f(x),若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值, 都有 f(x)=f(2a-x),则称 f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是 ( A.f(x)= x C.f(x)=tan x 解析 由 f(x)=f(2a-x), B.f(x)=x2 D.f(x)=cos(x+1) )

∴y=f(x)关于直线 x=a 对称(a≠0), 题中四个函数中,存在对称轴的有 B,D,而 B 中 f(x)=x2 的对称轴为 x=0,不 满足题意,故选 D. 答案 D

二、填空题 6. 函数 f(x)在 R 上为奇函数, 且 x>0 时, f(x)= x+1, 则当 x<0 时, f(x)=________. 解析 ∵f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1,

∴当 x<0 时,-x>0, f(x)=-f(-x)=-( -x+1), 即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1. 答案 - -x-1
-2-

7.(2014· 湖南卷)若 f(x)=ln(e3x+1)+ax 是偶函数,则 a=________. 解析 由题意知,f(x)的定义域为 R,

所以 f(-1)=f(1), 从而有 ln(e3+1)+a=ln(e-3+1)-a, 3 解得 a=-2. 答案 3 -2

8.(2014· 四川卷)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,f(x)
2 ?-4x +2,-1≤x<0, =? 则f ?x,0≤x<1,

?3? ?2?=________. ? ?

解析

∵f(x)的周期为 2,

?3? ? 1? ∴f ?2?=f ?-2?, ? ? ? ? 又∵当-1≤x<0 时, f(x)=-4x2+2 ?3? ? 1? ? 1?2 ∴f ?2?=f ?-2?=-4×?-2? +2=1. ? ? ? ? ? ? 答案 1

三、解答题 9.f(x)为 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=-2x2+3x+1,求 f(x)的解析式. 解 当 x<0 时,-x>0,则

f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于 f(x)是奇函数,故 f(x)=-f(-x), 所以当 x<0 时,f(x)=2x2+3x-1. 因为 f(x)为 R 上的奇函数,故 f(0)=0. 综上可得 f(x)的解析式为 f(x)=?0,x=0,

?

-2x2+3x+1,x>0,

?2x2+3x-1,x<0.

10. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f(x+2)=-f(x), 当 x∈[0, 2]时,f(x)=2x-x2.
-3-

(1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 014). (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4], ∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 014)=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)=f(0)+f(1)+f(2) =1.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11. (2014· 石家庄模拟)已知 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数, 若 f(1)<1, f(5) = 2a-3 ,则实数 a 的取值范围为 a+1 B.(-2,1) D.(-1,0) ( )

A.(-1,4) C.(-1,2) 解析 即

因为函数 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数, 所以 f(5)=f(-1)=f(1),

2a-3 <1,化简得(a-4)(a+1)<0,解得-1<a<4,故选 A. a+1 A
-4-

答案

12. (2015· 沈阳模拟)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数, 且当 0≤x<2 时, f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为( A.6 解析 B.7 C.8 D.9 )

因为当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函

数,且 f(0)=0,所以 f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又 f(1)=0,所以 f(3)=f(5)=0.故 函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7. 答案 B

13. 已知函数 y=f(x)为奇函数, 且对定义域内的任意 x 都有 f(1+x)=-f(1-x). 当 x∈(2,3)时,f(x)=log2(x-1).给出以下 4 个结论: ①函数 y=f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称; ②函数 y=|f(x)|是以 2 为周期的周期函数; ③当 x∈(-1,0)时,f(x)=-log2(1-x); ④函数 y=f(|x|)在(k,k+1)(k∈Z)上单调递增. 其中所有正确结论的序号为________. 解析 因为 f(2+x)=-f(1-(1+x))=-f(-x)=f(x),所以 f(x)的周期为 2,

因为 f(x)为奇函数,其图象关于点(0,0)对称, 所以 f(x)的图象也关于点(2,0)对称,先作出函数 f(x) 在(2,3)上的图象,然后作出在(1,2)上的图象,左右 平移即可得到 f(x)的草图如图所示,由图象可知 f(x) 关于点(k,0)(k∈Z)对称,故①正确; 由 y=|f(x)|的图象可知 y=|f(x)|的周期为 2,故②正确; 当-1<x<0 时,2<2-x<3,f(2-x)=log2(1-x)=-f(x),即 f(x)= -log2(1-x),故③正确; y=f(|x|)在(-1,0)上为减函数,故④错误. 答案 ①②③

14.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π )的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.

-5-



(1)由 f(x+2)=-f(x)得,

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(π )=f(-1×4+π )=f(π -4)=-f(4-π )= -(4-π )=π -4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又当 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如 图所示.

当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S, ?1 ? 则 S=4S△OAB=4×?2×2×1?=4. ? ? (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z), 单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z).

-6-


赞助商链接
相关文章:
更多相关文章:

相关文章