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专题3.2 以解析几何中与椭圆相关的综合问题-2016年高考数学备考优生百日闯关系列(原卷版)

专题三 第二关 压轴解答题 以解析几何中与椭圆相关的综合问题 【名师综述】纵观近三年的高考题,解析几何题目是每年必考题型,主要体现在解析几何知识内的综合及 与其它知识之间的综合,且椭圆考查的最多,如在 14 年中的 14 年全国课标卷Ⅱ理 20 题,文 20 题是中档 题,考查与直线的交汇、14 年山东卷文 21 题压轴题,考查椭圆与直线的交汇以及所引申出来的最值,14 年广东卷 20 题(14 分)难度中档偏上,考查与椭圆有关的轨迹问题的综合、14 年江苏卷 17 题(14 分)难度中 档,考查直线与椭圆离心率有关的问题、14 年湖辽宁卷 20 题(12 分)中等难度,考查直线、圆与圆锥曲线的 综合题、14 年北京 19 题(12 分)中档偏下题,考查椭圆与向量的交汇,等等.预计在 16 年高考中解答题仍会 重点考查直线与椭圆的位置关系,同时可能与平面向量、导数相交汇,每个题一般设置了两个问,第(1) 问一般考查曲线方程的求法,主要利用定义法与待定系数法求解,而第(2)问主要涉及最值问题、定值问 题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大,解题时需根据具体问题,灵 活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确构造不等式,体现了解析几何与其他数学知 识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目,从学科的整体意义、思 想含义上考虑问题”的思想.且同学需对椭圆的两个基本问题弄扎实,1.椭圆的基本概念、标准方程、几何性 质;2.直线与椭圆的位置关系所引申出来的定点、定值、最值、取值范围等问题.3.椭圆与圆锥曲线的交汇问 题 类型一 中点问题 + =1(a>b>0)的一个焦点的直线 x﹣y﹣ =0 与 C 典例 1 平面直角坐标系 xOy 中,经过椭圆 C: 相交于 M,N 两点,P 为 MN 的中点,且 OP 斜率是﹣ . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 l 分别与椭圆 C 和圆 D:x +y =r (b<r<a)相切于点 A,B,求|AB|的最大值. 【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用,考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用,中点 问题往往的处理办法有两种:一是点差法,设端点坐标带入曲线方程,作差结果涉及中点坐标和直线的斜 率;二是利用韦达定理,舍尔不求. 2 2 2 【举一反三】已知椭圆 C 的离心率为 ,点 在椭圆 C 上.直线 l 过点(1,1) ,且与椭圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 O 为坐标原点,延长线段 OM 与椭圆 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求出此时 直线 l 的方程,若不能,说明理由. 类型二 垂直问题 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴的一个端点到焦点的距离为 2 . 2 a b 2 典例 2 已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在过椭圆 C 的左焦点 F 且不与 x 轴重合的直线 m ,与椭圆 C 交于 M , N 两点,线段 MN 的垂 直平分线与 x 轴交于点 P,与椭圆 C 交于点 Q,使得四边形 MPNQ 为菱形?若存在,请求出直线 m 的方程; 若不存在,请说明理由. 【名师指点】直线与直线的垂直关系,首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系;其次可以利用向量数量 积为 0 处理,再可以联系圆中的有关知识,利用直径所对的圆周角为直角处理. 【举一反三】已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 ,且椭圆 E 上一点到两个焦点距离 之和为 4;l1,l2 是过点 P(0,2)且互相垂直的两条直线,l1 交 E 于 A,B 两点,l2 交 E 交 C,D 两点,AB, CD 的中点分别为 M,N. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求 l1 的斜率 k 的取值范围; (Ⅲ)求 的取值范围. 类型三 面积问题 典例 3 已 知 A ? x0 ,1? , B ? 0, y0 ? 两 点 分 别在 x 轴 和 y 轴 上 运 动 ,且 AB ? 1 , 若 动 点 P ? x, y ? 满 足 OP ? 2OA ? 3 OB . (Ⅰ)求出动点 ? 的轨迹对应曲线 C 的标准方程; (Ⅱ)一条纵截距为 2 的直线 l1 与曲线 C 交于 ? , Q 两点,若以 ?Q 直径的圆恰过原点,求出直线方程; 0 ? ,试问:当 t 变化时,是否存在一直线 l2 ,使 (Ⅲ)直线 l2 : x ? ty ? 1 与曲线 C 交于 ? 、 ? 两点, E ? ?1, ?ABE 的面积为 2 3 ?若存在,求出直线 l2 的方程;若不存在,说明理由. 【名师指点】对于平面图形的面积问题,可以直接表示或者可以利用割补的办法,将面积科学有效表示, 其中通过设直线和曲线的交点,利用韦达定理是解决该种问题的关键. 【举一反三】 平面直角坐标系 x?y 中, 已知椭圆 C : x2 y 2 2 ? 2 ?1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 离心率为 , 2 a b 2 过点 F 且垂直于长轴的弦长为 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设点 ? , ? 分别是椭圆的左、右顶点,若过点 ? ? ?2, 0 ? 的直线与椭圆相交于不同两点 ? , ? . (Ⅰ)求证: ??F? ? ??F? ; (Ⅱ)求 ???F 面积的最大值. ? 三角形 MNF 面积的最大值是 2 4 类型四 范围与定值问题 典例 4 已知椭圆 C: x2 y 2 3 3 ,点 A(1, ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ) 在椭圆 C 上. 2 a b 2 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点 O 为圆心的圆,满足此圆与 l 相交 两

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