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2013届高考数学二轮复习精品教学案专题04 三角函数和解三角形(教师版)


【2013 考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角 函数(正弦、余弦、正切)的定义.

? ?? , ? ? ? 的正弦、余弦、正切的诱导公式; 2 sin x ? tan x . 理解同角的三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, cos x
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 3.能画出 y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函 数在区间[0,2 ? ]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与 x 轴的交点等),理解正切函数在 区间(-

? ? , )内的单调性. 2 2

? 4.了解函数 y ? Asin( x ? ? )的物理意义;能画出 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象,了解
A, ? , ? 对函数图象变化的影响.
5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差 的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、 余弦、 正切公式, 了解它们的内在联系; 能运用上述公式进行简单的恒等变换 【知识络构建】

【重点知识整合】 一、三角恒等变换与三角函数 1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想: sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? , sin ? cos ? 三者中,知一可求二;

2. 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的问题: (1)“五点法”画图:分别令 ? x ? ? ? 0 、

? 3? 、? 、 、 2? ,求出五个特殊点; 2 2

(2)给出 y ? A sin(? x ? ? ) 的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是 ? ,一般从“五点 法”中取靠近 y 轴较近的已知点代入突破;

二、解三角形 1.正弦定理 a b c 已知在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A、B、C 的对边,则 = = =2R(R 为 sinA sinB sinC 三角形外接圆的半径). 2.余弦定理 已知在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A、B、C 的对边,则 a2=b2+c2-2bccosA,cosA b2+c2-a2 = ,另外两个同样. 2bc 3.面积公式 已知在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A、B、C 的对边,则 1 (1)三角形的面积等于底乘以高的 ; 2

1 1 1 abc (2)S= absinC= bcsinA= acsinB= (其中 R 为该三角形外接圆的半径); 2 2 2 4R 1 (3)若三角形内切圆的半径是 r,则三角形的面积 S= (a+b+c)r; 2 a+b+c (4)若 p= ,则三角形的面积 S= p?p-a??p-b??p-c?. 2 【高频考点突破】 考点一 三角函数的概念、诱导公式 1.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 2.对于形如 2kπ+α(k∈Z),-α,π±α,2π-α 的三角函数值,等于角 α 的同名三角函 π 3π 数值,前面加上一个将角 α 看成锐角时,原函数值的符号;对于形如 ± α, ± 的三角函数 α 2 2 值,等于角 α 的余名三角函数值,前面加上一个将角 α 看成锐角时,原函数值的符号. 例 1、已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴.若 P(4,y)是角 θ 终边上一 2 5 点,且 sinθ=- ,则 y=_______. 5

【方法技巧】1.用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单; 2.同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用,应 注意正确选择公式、注意公式的应用条件. 考点二 三角函数的性质 三角函数的单调区间: π π π 3π y=sinx 的递增区间是[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z),递减区间是[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z); 2 2 2 2

y=cosx 的递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z), 递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z); π π y=tanx 的递增区间是(kπ- ,kπ+ )(k∈Z). 2 2 例 2、已知 a=(sinx,-cosx),b=(cosx, 3cosx),函数 f(x)=a· b+ (1)求 f(x)的最小正周期,并求其图像对称中心的坐标; π (2)当 0≤x≤ 时,求函数 f(x)的值域. 2 3 . 2

π 【变式探究】已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤|f( )|对 x∈R 恒成立, 6 π 且 f( )>f(π),则 f(x)的单调递增区间是 2 π π A.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 π 2π C.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 ( )

π B.[kπ,kπ+ ](k∈Z) 2 π D.[kπ- ,kπ](k∈Z) 2

π π π π 解析:因为当 x∈R 时,f(x)≤|f( )|恒成立,所以 f( )=sin( +φ)=± 1,可得 φ=2kπ+ 或 6 6 3 6 5π π φ=2kπ- .因为 f( )=sin(π+φ)=-sinφ>f(π)=sin(2π+φ)=sinφ,故 sinφ<0,所以 φ=2kπ 6 2

5π 5π π 5π π - ,所以 f(x)=sin(2x- ),函数的单调递增区间为- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ, 6 6 2 6 2 π 2π 所以 x∈[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 6 3 答案:C 【方法技巧】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是 在定义域内,将三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,然后再求解. (2)求函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间常用换元法: ωx+φ 作为一个整体, 将 若 π π 求 单 调 增 区 间 , 令 ωx + φ∈ ?2kπ-2,2kπ+2? (k∈Z) ; 若 求 单 调 减 区 间 , 则 令 ωx + ? ? π 3π φ∈?2kπ+2,2kπ+ 2 ?(k∈Z). 值得注意的是, ω<0, 若 则需要利用诱导公式将其转换为 f(x) ? ? =Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再用换元法求单调区间.

π 例 3、已知函数 f1(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的一段图像经过点(0,1),如图所示. 2

(1)求 f1(x)的表达式; π (2)将函数 f1(x)的图像向右平移 个单位长度得到函数 f2(x)的图像,求 y=f1(x)+f2(x)的 4 最大值,并求出此时自变量 x 的集合.

11π π 2π 解: (1)由题图知,函数 f1(x)的周期 T= -(- )=π,∴|ω|= =2. 12 12 π 又 ω>0,故 ω=2. π 又点(- ,0)为函数 f1(x)图像一个周期内五点的起点. 12 π π ∴2· (- )+φ=0.从而 φ= , 12 6 π 故 f1(x)=Asin(2x+ ), 6 又 f1(x)的图像过点(0,1). π ∴1=Asin(2× 0+ ),得 A=2, 6 π 由此可得到 f1(x)的表达式为 f1(x)=2sin(2x+ ). 6

π π 【变式探究】已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),y=f(x)的部分图像如图,则 f( ) 2 24 = ( A.2+ 3 ) B. 3 C. 3 3 D.2- 3

考点四 三角变换及求值 三角函数求值有以下类型: (1)“给角求值”,即在不查表的前提下,通过三角恒等变 换求三角函数式的值; (2)“给值求值”,即给出一些三角函数值,求与之有关的 其他三角函数式的值; (3)“给值求角”,即给出三角函数值,求符合条件的角. 1 π 例 1、已知函数 f(x)=2sin( x- ),x∈R. 3 6 (1)求 f (0)的值; π π 10 6 (2)设 α,β∈[0, ],f(3α+ )= ,f(3β+2π)= . 2 2 13 5 求 sin(α+β)的值. 1 π 解:(1)∵f(x)=2sin( x- ), 3 6 π ∴f(0)=2sin(- )=-1. 6 π π 10 6 (2)∵α,β∈[0, ],f(3α+ )= ,f(3β+2π)= . 2 2 13 5 10 π 6 ∴2sinα= ,2sin(β+ )= . 13 2 5 5 3 即 sinα= ,cosβ= . 13 5 12 4 ∴cosα= ,sinβ= . 13 5 5 3 12 4 63 ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= × + × = . 13 5 13 5 65

11 4 3 π π 【变式探究】已知:cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= ,0<β< <α< ,则 α+β 的值为 14 7 4 2 ________.

考点五 正、余弦定理的应用 解三角形的一般方法是: (1)已知两角和一边,如已知 A、B 和 c,由 A+B+C=π 求 C, 由正弦定理求 a、b. (2)已知两边和这两边的夹角,如已知 a、b 和 C,应先用余弦 定理求 c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用 A+B+C=π 求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角,如已知 a、b 和 A,应先用 正弦定理求 B,由 A+B+C=π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c,要注意解可能有 多种情况. (4)已知三边 a、b、c,可应用余弦定理求 A、B、C. 例 5、△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 lga-lgb=lgcosB-lgcosA≠0. (1)判断△ABC 的形状; (2)设向量 m=(2a,b),n=(a,-3b),且 m⊥n,(m+n)· (-m+n)=14,求 a,b,c. 解:(1)由题 lga+lgcosA=lgb+lgcosB,故 acosA=bcosB, 由正弦定理 sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B.

π 又 cosA>0,cosB>0,故 A,B∈(0, ),2A,2B∈(0,π). 2 因 a≠b?A≠B,故 2A=π-2B. π 即 A+B= ,故△ABC 为直角三角形. 2 (2)由于 m⊥n,所以 2a2-3b2=0, 且(m+n)· (-m+n)=n2-m2=14, 即 8b2-3a2=14. 联立①②解得 a2=6,b2=4, 故在直角△ABC 中,a= 6,b=2,c= 10. ② ①

考点 六 解三角形与实际应用问题 在实际生活中, 测量底部不可到达的建筑物的高度、 不可到达的两点的距离及航行中的 方位角等问题,都可通过解三角形解决. 例 6、如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点.现位于 A 点北偏东 45° B 点北偏西 60° D 点有一艘轮船发出求救信号, , 的 位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到 达 D 点需要多长时间? 解:由题意知 AB=5(3+ 3)海里, ∠DBA=90° -60° =30° ,∠DAB=90° -45° =45° , ∴∠ADB=180° -(45° +30)° =105° , 在△DAB 中,由正弦定理得 DB AB = , sin∠DAB sin∠ADB

AB· sin∠DAB 5?3+ 3?·sin45° ∴DB= = sin105° sin∠ADB

= =

5?3+ 3?·sin45 sin45° cos60° +cos45° sin60° 5 3? 3+1? =10 3(海里), 3+1 2

【方法技巧】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步 (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语, 如坡度、仰角、俯角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等 有关知识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案. 【难点探究】 难点一 简单的三角恒等变换 π π π 1 π β 3 β 例 1 、(1)若 0<α< ,- <β<0,cos( +α)= ,cos( - )= ,则 cos(α+ )= 2 2 4 3 4 2 3 2 ( ) A. 3 3 B.- 3 3 5 3 C. 9 D.- 6 9

π 1 cos2α (2)已知 sinα= +cosα,且 α∈?0,2?,则 的值为________. ? ? 2 π sin?α-4? ? ? 【答案】(1)C (2)- 14 2

π 1 π 【解析】 (1)∵cos?4+α?= ,0<α< , ? ? 3 2 π 2 3 3 π ?π β? ∴sin?4+α?= ? ? 3 .又∵cos?4-2?= 3 ,-2<β<0,

π β 6 ∴sin?4-2?= , ? ? 3

【点评】 在进行三角恒等变换时,一个重要的技巧是进行角的变换,把求解的角用已知角 π 表示出来, 把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来, 常见的角的变换有, + 把 2 π 2α 变换成 2?4+α?,α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α= ? ? α+β α+β ? β α (β+α)-(β-α), α+β=2· , =?α-2?-?2-β?等; ? ? ? 在进行三角函数化简或者求值时, 2 2 如果求解目标较为复杂,则首先要变换这个求解目标,使之简化,以便看出如何使用已知条 件. 难点二 三角函数的图象 π π 例 2 (1)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?, 则 ? ? ? ? y=f(x)的部分图象如图所示, f ?24? =________.

π 1 3 (2)要得到函数 y=cos (2x+ ) 的图象, 只需将函数 y= sin2x+ cos2x 的图象( 3 2 2

)

π A.向左平移 个单位 8 π C.向右平移 个单位 3

π B.向右平移 个单位 2 π D.向左平移 个单位 4

【点评】 (1)根据函数图象求函数的解析式,主要是根据函数的图象发现函数的性质,如周 期性、对称性、特殊点等,然后根据这些性质求出函数解析式中的未知数,在本题中的函数 π y=Atan(ωx+φ)的最小正周期是 ,注意这是近几年来考查的为数不多的一个正切型函数; |ω| (2)在进行三角函数的图象变换时,要把需要变换的两个函数化为同一种类型的函数,再根 据两个函数解析式的差别确定变换方法. 难点三 三角函数的性质 π 例 3、已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤?f ?6??对 x∈R 恒成立,且 f ? ? ??

?π?>f(π),则 f(x)的单调递增区间是( ?2?
π π A.?kπ-3,kπ+6?(k∈Z) ? ? π B.?kπ,kπ+2?(k∈Z) ? ? π 2π C.?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z) ? ? π D.?kπ-2,kπ?(k∈Z) ? ?

)

【答案】C

【规律方法】1.根据三角函数的图象求解函数的解析式时,要注意从图象提供的信息确定 三角函数的性质,如最小正周期、最值,首先确定函数解析式中的部分系数,再根据函数图 象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值, 同时要注意解析式中 各个字母的范围. 2. 进行三角函数的图象变换时, 要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身, 特别在平移变换中,如果这个变量的系数不是 1,在进行变换时变量的系数也参与其中,如 π π π π 把函数 y=sin?2x+4?的图象向左平移 个单位时,得到的是函数 y=sin?2?x+12?+4? = ? ? ? ? 12 ? ? 5π sin2x+ 的图象. 12 3.解答三角函数的图象与性质类的试题,变换是其中的核心,把三角函数的解析式通 过变换,化为正弦型、余弦型、正切型函数,然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的 性质进行研究. 难点四 正余弦定理的应用

π 1 例 4、 (1)在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sinA= ,则 a=________. 4 3 (2)在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则 A 的取值范围是( π A?0,6? ? ? π B.?6,π? ? ? (2)C π C.?0,3? ? ? π D.?3,π? ? ? )

5 2 【答案】(1) 3

a b a 5 5 2 【解析】 (1)由正弦定理有: = ,即 = ,得 a= . sinA sinB 1 3 2 3 2 (2)根据正弦定理有 a2≤b2+c2-bc,由余弦定理可知 a2=b2+c2-2bccosA,所以 b2+c2 π 1 -2bccosA≤b2+c2-bc,即有 cosA≥ ,所以角 A 的取值范围为?0,3?,选择 C. ? ? 2

【点评】 解三角形依靠的就是正弦定理和余弦定理.正弦定理解决的是已知三角形两 边和一边的对角、 三角两内角和其中一边两类问题, 余弦定理解决的是已知三角形两边及其 夹角、已知三角形三边的两类问题.在解题中只要分析清楚了三角形中的已知元素,就可以 选用这两个定理中的一个求解三角形中的未知元素. 本例的第二小题中的不等式看上去是角 的正弦的一个不等式, 实际上给出的是边的不等式, 正弦定理在三角形的边角关系互化中起 关键作用. 难点五 函数的图象的分析判断

cosA-2cosC 2c-a 例 5 、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cosB b (1)求 sinC 的值; sinA

1 (2)若 cosB= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4

【点评】 本题的难点是变换

cosA-2cosC 2c-a = 时,变换方向的选取,即是把角的函 cosB b

数转化为边的关系,还是把边转化为角的三角函数,从已知式的结构上看,把其中三个内角 的余弦转化为边的关系是较为复杂的, 而根据正弦定理把其中边的关系转化为角的正弦, 则 是较为简单的,在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选

择.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程,在解三角形的试题中方程思 想是主要的数学思想方法,要注意从方程的角度出发分析问题. 难点六 解三角形的实际应用 例 6、如图 6-1,渔政船甲、乙同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号,此时渔 船丙在渔政船甲的南偏东 40° 方向距渔政船甲 70 km 的 C 处, 渔政船乙在渔政船甲的南偏西 20° 方向的 B 处,两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置 C 处沿直线 AC 航 行前去救援,渔政船乙仍留在 B 处执行任务,渔政船甲航行 30 km 到达 D 处时,收到新的 指令另有重要任务必须执行,于是立即通知在 B 处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔 政船乙沿直线 BC 航行前去救援渔船丙),此时 B、D 两处相距 42 km,问渔政船乙要航行多 少千米才能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营救?

【分析】 即求线段 BC 的长度.根据题意,在△BCD 中,已知 BD,DC,因此只要求 出∠BDC 的余弦值,即可根据余弦定理求出 BC.根据三角形的外角定理,∠BDC=∠ABD +60° ,只要在△ABD 中根据正弦定理求出∠ABD 的正弦值,然后根据同角三角函数关系求 出其余弦值,再根据和角的余弦公式即可求出∠BDC 的余弦值.

【变式探究】如图 6-2,某巡逻艇在 A 处发现在北偏东 45° A 处 8 海里处有一走私船, 距

正沿南偏东 75° 的方向以 12 海里/小时的速度向我岸行驶,巡逻艇立即以 12 3海里/小时的 速度沿直线追击,问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船?并指出巡逻艇航行方向.

【规律技巧】1.使用正弦定理能够解的三角形有两类,一类是已知两边及其中一边的 对角,一类已知一边和两个内角(实际就是已知三个内角),其中第一个类型也可以根据余弦 定理列出方程求出第三边,再求内角.在使用正弦定理求三角形内角时,要注意解的可能情 况,判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角. 2.当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时,可以使用正弦定理、也可 以使用余弦定理, 使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程, 这个方程联系着三角形 的三个边和其中的一个内角. 3.正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系,余弦定理揭示了三角形的三 边和其中一个内角的余弦之间的关系. 【历届高考真题】 【2012 年高考试题】

一、选择题 1.【2012 高考真题重庆理 5】设 tan? , tan 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 ?

tan(? ? ? ) 的值为
(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3

2.【2012 高考真题浙江理 4】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

3. 2012 高考真题新课标理 9】 【 已知 ? ? 0 , 函数 f ( x) ? sin(? x ? 则 ? 的取值范围是( )

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减. 4 2

?

1 5 ( A) [ , ] 2 4
【答案】A

1 3 (B) [ , ] 2 4

1 (C ) (0, ] 2

( D) (0, 2]

【 解 析 】 函 数 f ( x ) ? sin(?x ?

?
4

) 的 导 数 为 f ' ( x) ? ? cos( ?x ?

?
4

) ,要使函数

f ( x) ? sin(?x ?

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则有 f ' ( x) ? ? cos( ?x ? ) ? 0 恒成立, 4 2 4

?

?



3? ? 5? ? 2k? ,即 ? 2k? ? ?x ? ? 2k? ,所以 2 4 2 4 4 ? 2k? ? 2k? ? 5? ? ? ?x? ? ,k ? Z ,当 k ? 0 时, ?x? ,又 ? x ? ? ,所以 4? ? 4? ? 4? 4? 2 ? 2k? ? ?x ? ?

?

?



? ? 5? 1 5 1 5 ? , ? ? ,解得 ? ? , ? ? ,即 ? ? ? ,选 A. 4? 2 4? 2 4 2 4
4. 【2012 高考真题四川理 4】 如图, 正方形 ABCD 的边长为 1 , 延长 BA 至 E , AE ? 1 , 使

连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? (



A、

3 10 10

B、

10 10

C、

5 10

D、

5 15

5.【2012 高考真题陕西理 9】在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,若

a 2 ? b2 ? 2 c 2,则 cos C 的最小值为(
A.



3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

【答案】C. 【解析】由余弦定理知

a 2 ? b2 ? c2 cosC ? ? 2ab

1 a 2 ? b 2 ? (a 2 ? b 2 ) a 2 ? b 2 2ab 1 2 ? ? ? ,故选C. 2ab 4ab 4ab 2
?? ? ? 3 7
,则 sin ? ?

6.【2012 高考真题山东理 7】若 ? ? ? , ? , sin 2? = 8 ?4 2? (A)

3 5

(B)

4 5

(C)

7 4

(D)

3 4

7.【2012 高考真题辽宁理 7】已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π),则 tan ? = (A) ? 1 (B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

8.【2012 高考真题江西理 4】若 tan ? + A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

1 =4,则 sin2 ? = tan ? 1 D. 2

【答案】D 【 解 析 】 由 tan ? ?

1 ?4 得 , tan ?
1 ,选 D. 2

sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ? ? ? ?4 , 即 cos? sin ? sin ? cos?

1 1 s i 2? n 2

? 4 ,所以 sin 2? ?

9.【2012 高考真题湖南理 6】函数 f(x)=sinx-cos(x+

? )的值域为 6
3 , 2 3 ] 2

A. [ -2 ,2]

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

D.[-

10. 【2012 高考真题上海理 16】在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状
2 2 2

是(

) B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定

A.锐角三角形 【答案】C

【解析】根据正弦定理可知由 sin A ? sin B ? sin C ,可知 a ? b ? c ,在三角形
2 2 2 2 2 2

中 cosC ?

a2 ? b2 ? c2 ? 0 ,所以 C 为钝角,三角形为钝角三角形,选 C. 2ab

11.【2012 高考真题天津理 2】设 ? ? R, 则“ ? ? 0 ”是“ f ( x) ? cos(x ? ? )(x ? R) 为偶 函数”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分与不必要条件

12.【2012 高考真题天津理 6】在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 8b=5c,C=2B,则 cosC= (A)

7 25 7 25

(B) ?

(C) ?

7 25 24 (D) 25

【答案】A

【 解 析 】 因 为 C ? 2 B , 所 以 s i n ? s i n2B) ? 2 s i n c o s , 根 据 正 弦 定 理 有 C ( B B

c b c s iC 8 n s iC n 1 8 4 ? ? ? s ? ? ? , 所 以 , 所 以 c oB ? 。 又 sin C sin B b s iB 5 n 2s i B 2 5 5 n 16 7 ?1 ? ,选 A. c oCs ? c o 2B( ? 2 c o2 s ? 1 ,所以 cos C ? 2 cos 2 B ? 1 ? 2 ? s ) B 25 25
13. 2012 高考真题全国卷理 7】 【 已知 α 为第二象限角,sin ? ? cos? ?

3 , cos2α= 则 3

(A) -

5 3

(B) -

5 9

(C)

5 9

(D)

5 3

二、填空题 14.【2012 高考真题湖南理 15】函数 f(x)=sin ( ? x ? ? )的导函数 y ? f ?( x) 的部分图 像如图 4 所示,其中,P 为图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的 最低点. (1)若 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 ) ,则 ? ? 2

;

(2)若在曲线段 ? ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率 为 .

【答案】 (1)3; (2)

? 4

15.【2012 高考真题湖北理 11】设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若
(a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则角 C ?



【答案】 【解析】

2? 3

由(a +b-c)(a+b-c)=ab,得到a 2 ? b2 ? c 2 =-ab a 2 ? b2 ? c 2 -ab 1 2 根据余弦定理 cos C ? = ? ? , 故?C ? ? 2ab 2ab 2 3
16. 2012 高考真题北京理 11】 【 在△ABC 中, a =2, 若 b+c=7, cosB= ? 【答案】4

1 , b=_______。 则 4

【解析】在△ABC 中,利用余弦定理 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 4 ? (c ? b)(c ? b) ?? ? 2ac 4 4c

?c ? 3 4 ? 7 (c ? b ) ? ? ,化简得: 8c ? 7b ? 4 ? 0 ,与题目条件 b ? c ? 7 联立,可解得 ?b ? 4 . 4c ?a ? 2 ?
17.【2012 高考真题安徽理 15】设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命 题正确的是 _____ ①若 ab ? c 2 ;则 C ?

?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

3 3 3 ③若 a ? b ? c ;则 C ?

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

⑤若 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 C ?

?
3

18.【2012 高考真题福建理 13】已知△ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角 的余弦值为_________. 【答案】 ?

2 . 4

【解析】设最小边长为 a ,则另两边为

2 a, 2a . 所 以 最 大 角 余 弦

cos? ?

a 2 ? 2a 2 ? 4a 2 2 ?? 4 2a ? 2a

19.【2012 高考真题重庆理 13】设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

cos A ?

3 5 , cos B ? ,b ? 3 则c ? 5 13

20.【2012 高考真题上海理 4】若 n ? (?2,1) 是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示) 。 【答案】 arctan 2 【解析】设倾斜角为 ? ,由题意可知,直线的一个方向向量为(1,2) ,则 tan ? ? 2 , ∴ ? = arctan 2 。

? ?? 4 ? 22.【2012 高考江苏 11】 分)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的 (5 6? 5 12 ?
值为 ▲ . 【答案】

17 2。 50

【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? <

?
2

,∴

?
6

<? ?

?
6

<

?
2

?

?

2? 。 6 3 =

?? 4 ?? 3 ? ? ∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? 6? 5 6? 5 ? ? ?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? ∴ sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2? ? = 。 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ? ?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? 。 3 ? 25 ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 3 4 3? 4 3? 4 ? ?

=

24 2 7 2 17 ? ? ? = 2。 25 2 25 2 50

三、解答题 23.【2012 高考真题新课标理 17】 (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .

24.【2012 高考真题湖北理 17】 (本小题满分 12 分) 已 知 向 量 a ? (cos ? x ? sin ? x, sin ? x) , b ? (? cos ? x ? sin ? x, 2 3 cos ? x) , 设 函 数

1 f ( x) ? a ? b ? ? ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? π 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( , 1) . 2
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;

3π π (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( , 0) ,求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的取值范围. 5 4
【答案】 (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? ?

π ? ? cos 2? x ? 3sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? . 6 π 由直线 x ? π 是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 sin(2? π ? ) ? ?1 , 6
所以 2? π ?

π π k 1 ? kπ ? (k ? Z) ,即 ? ? ? (k ?Z) . 6 2 2 3

5 1 又 ? ? ( , 1) , k ? Z ,所以 k ? 1 ,故 ? ? . 6 2
所以 f ( x) 的最小正周期是

6π . 5

【2011 年高考试题】 一、选择题: 1.(2011 年 高 考 安 徽 卷 理 科 9) 已 知 函 数 f ( x) ? si n( 2? ? , 其 中 ? 为 实 数 , 若 x )

? ? f ( x) ? f ( )对 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增区间是 2 6
(A) ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ?

(B) ? k? , k? ?

? ?

??
2? ?

(k ? Z )

(C) ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

(D) ? k? ?

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ?

2.(2011 年高考辽宁卷理科 4)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,asin AsinB+bcos2A= 2a 则 (A) 2 3

b ?( ) a
(B) 2 2 (C)

3

(D) 2

答案: D 解析: 由正弦定理得, 2AsinB+sinBcos2A= 2 sinA, sinB sin 即 (sin2A+cos2A) 2 sinA, = 故 sinB= 2 sinA,所以

b ? 2; a

( 3.(2011 年高考辽宁卷理科 7)设 sin
(A)

?

7 9

(B)

1 +?) ,则 sin 2? ? ( ) = 4 3 1 1 7 ? (C) (D) 9 9 9

?

答案: A 解析: sin 2? ? ? cos ? 2? ?

? ?

??

?? 1 7 2? ? ? 2sin ?? ? ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? . 2? 4? 9 9 ?
?
2
,-

4.(2011 年 高 考 浙 江 卷 理 科 6) 若 0<?<

?

? 1 <?<0 , cos( ? ? ) ? , 2 4 3

? ? ? 3 ,则 cos(? ? ) ? cos( ? ) ? 2 4 2 3
(A)

3 3

(B) ?

3 3

(C)

5 3 9

(D) ?

6 9

二、填空题: 1.(2011 年高考辽宁卷理科 16)已知函数 f(x)=Atan( ? x+ ? ) ? >0, ? < ( (x)的部分图像如下图,则 f(

π ) ,y=f 2

π )=____________. 24

答案: 3

a ? A tn ? ? ? 3? ? ? ? 解析: 函数 f(x)的周期是 2 ? 由 ? ? ? ,故 ? ? ? 2 , ? ? a ? 8 8? 2 ? A tn ? 2
得? ?

?? 1 ,
? 3? ? 2 ? ?? ? 0 ? , ? ? 8 ?

?

?? ?? ? ? ? ?? ? , A ? 1 .所以 f ( x) ? tan ? 2 x ? ? ,故 f ? ? ? tan ? 2 ? ? ? ? 3 . 4 4? ? 24 ? ? 24 4 ? ?

2.(2011 年高考安徽卷理科 14)已知 ?ABC 的一个内角为 120o,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面积为_______________

6.(2011 年高考安徽卷江苏 7)已知 tan( x ?

?
4

) ? 2, 则

tan x 的值为__________ tan 2 x

4 【答案】 9
【解析】因为 tan 2(x ?

?
4

)?

2 tan(x ?

?
4

)

) 4 3 ? tan x ? 1 1 tan x ? 2 ,所以解得 tan x ? ,所以 所以 tan 2x ? ? ,又因为 tan( x ? ) ? 的值 4 4 1 ? tan x 3 tan 2 x 4 为 . 9
三、解答题: 1. (2011 年高考山东卷理科 17)(本小题满分 12 分)

1 ? tan2 (x ?

?

?

2? 2 4 ? ? ? ,而 tan(2 x ? ) =-cot2x, 2 1? 2 3 2

在三角形 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A 1 若 cosB= , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 4


3. (2011 年高考天津卷理科 15)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? tan(2 x ?

?
4

), ,

(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域与最小正周期; (Ⅱ)设 ? ? ? 0,

? ? ?? ? ,若 f ( 2 ) ? 2 cos 2? , 求 ? 的大小. ? 4?

(Ⅱ)由 f ( ) ? 2 cos 2? , 得 tan(? ?

?

?
4

2

) ? 2cos 2? , 即

sin(? ? ) 4 ? 2(cos 2 ? ? sin 2 ? ) , ? cos(? ? ) 4 sin ? ? cos ? ? 2(cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ,因为 sin? ? cos? ? 0,所以 整理得: cos ? ? sin ?

?

可得 (cos ? ? sin ? ) ?
2

1 1 ? ?? ? ?? ,解得 sin 2? ? ,由 ? ? ? 0, ? 得 2? ? ? 0, ? ,所以 2 2 ? 4? ? 2?

2? ?

?
6

,? ?

? . 12
C 2

4. (2011 年高考江西卷理科 17)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 sinC+cosC=1-sin (1)求 sinC 的值 (2)若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值

5. (2011 年高考湖南卷理科 17) (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边 分别为 a,b,c ,且满足 c sin A ? a cos C .

?? ? 求角 C 的大小; ??? ? 求
解:

?? ? 3 sin A ? cos? B ? ? 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. 4? ?

?? ? 由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C
A ? ? ,所以 sin A ? 0 .从而 sin C ? cos C .又 cos C ? 0 ,所以 tan C ? 1 ,

因为 0 ? 则C

?

? 4
3? ?? ? ? A ,于是 3 sin A ? cos? B ? ? = 3 sin A ? cos?? ? A? 4 4? ?

??? ? 由 ?? ? 知, B ?

=

?? ? 3 sin A ? cos A = 2 sin? A ? ? 6? ?
A? 3? ? ? 11? ? ? ? ,所以 ? A ? ? .从而当 A ? ? ,即 A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3

因为 0 ?

?? ? 2 sin? A ? ? 取最大值 2. 6? ?
综上所述,

? 5? ?? ? 3 sin A ? cos? B ? ? 的最大值 2,此时 A ? , B ? . 3 12 4? ?

6. (2011 年高考广东卷理科 16)(本小题满分 12 分)

1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ), x ? R 3 6 已知函数

(1)求

f(

5? ) 4 的值;

? 10 6 ? ?? ? , ? ? ?0, ? , f (3? ? ) ? , f (3 ? ?2 ?) ? , 2 13 5 求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2? (2)设

故 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

3 12 5 4 56 ? ? ? ? . 5 13 13 5 65

7. (2011 年高考湖北卷理科 16)(本小题满分 10 分)

设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a , b, c ,已知. a ? 1, b ? 2, cos C ? (Ⅰ) 求△ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos(A—C.)

1 4

8.(2011 年高考陕西卷理科 18)(本小题满分 12 分)叙述并证明余弦定理 【解析】 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹 角的余弦的两倍积。或 a ? b ? c ? 2bc cos A , b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 2 2

2

2

2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
证法一 ,如图 a ? BC ? BC ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB)
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? AC ? 2 AC ? AB ? AB

??? 2 ? ??? ??? ? ? ??? 2 ? ? AC ? 2 AC ? AB cos A ? AB

? b2 ? 2bc cos A ? c2 即 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A
同理可证 b ? a ? c ? 2ac cos B , c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2
2 2 2

证法二:已知 ? ABC中A, B, C所对边分别为a, b, c, 以A为原点,

AB所在直线为x轴 建立直角坐标系,则 C (b cos A, b sin A), B(a,0),

? a 2 ? BC ? (b cos A ? c) 2 ? (b sin A) 2
2

? b2 cos2 A ? 2bc cos A ? c2 ? b2 sin 2 A ? b2 ? c2 ? 2bc cos A

同理可证 b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B, c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C 9.(2011 年高考重庆卷理科 16)(本小题满分 13 分) 设 a ? R, f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos 2 ?

? ?? ? ? x ? 满足 f (? ) ? f (0),求函数 3 ?2 ?

? ? 11? ? f ( x) 在 ? , 上的最大值和最小值 ? 4 24 ? ?

10. (2011 年高考四川卷理科 17)(本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ? x ?

? ?

7? 4

3? ? ? ? ? cos ? x ? 4 ? ?

? ?, x ? R ?

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和最小值; ( Ⅱ ) 已 知 cos ? ? ? ? ? ?

4 4 ? , cos ? ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ? , 求 证 : 5 5 2

? f ( ? )?

2

?2 ? 0.

解析: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? sin x ?

? ? 2 2? 2? 2 ? cos x ? ? ? ? 2 ? ? cos x ? ? ? 2 ? ? sin x ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ?

?? ? ? 2 ? sin x ? cos x ? ? 2sin ? x ? ? , 4? ?
∴ f ? x ? 的最小正周期是 2? ,当 x ? 即 x ? 2 k? ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

?k ? ?? ,

?
4

? k ? ? ? 时,函数取得最小值-2.

11.(2011 年高考全国卷理科 17) (本小题满分 l0 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90° ,a+c= 2 b,求 C. 【解析】 :由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C , 由 a ? c ? 2b得2R sin A ? 2R sin C ? 2 ? 2R sin B ,即 sin A ? sin C ? 2 sin B A+B+C=1800 ,? B ? [180 ? ( A ? C)] ,?sin A ? sin C ? 2 sin[1800 ? ( A ? C)]
0

即?sin A ? sin C ? 2 sin( A ? C) ,由 A-C=900 得 A=900+C

?sin(900 ? c) ? sin c ? 2 sin(900 ? 2c)
即 cos c ? sin c ? 2 2 sin(450 ? c)cos(450 ? c)

2 2 sin(c ? 450 ) ? 2 2 sin(450 ? c)cos(450 ? c) ? cos(450 ? c) ?
0 0 ?4 5 ? c ? 6 0

1 2

?c ? 105

12.(2011 年高考安徽卷江苏 15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

?

13.(2011 年高考北京卷理科 15)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期: (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

?
6

) ?1 。

? ? ?? 上的最大值和最小值。 , ? 6 4? ?

解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ?1

? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1
? 3 sin 2x ? cos2x
? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

【2010 年高考试题】 (2010 浙江理数) (9)设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不 . 存在零点的是 (A) ? ?4, ?2? (B) ? ?2,0? (C) ?0, 2? (D) ? 2, 4?

解析:将 f ?x ? 的零点转化为函数 g ?x ? ? 4 sin?2 x ? 1?与h?x ? ? x 的交点,数形结合可 知答案选 A。 答案:A (2010 浙江理数) (4)设 0<x< (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

?
2

1 1 ,则“ x sin x< ”是“ x sin x< ”的
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2

( 2010 全 国 卷 2 理 数 ) 7 ) 为 了 得 到 函 数 y ? sin(2 x ? (

?
3

) 的图像,只需把函数

y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图像

? 个长度单位 4 ? (C)向左平移 个长度单位 2
(A)向左平移

? 个长度单位 4 ? (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移

【答案】B 【解析】 y ? sin(2 x ?

?
6

) = sin 2( x ?

y ? sin(2 x ?

? ? 个长度单位得到 y ? sin(2 x ? ) 的图像,故选 B. 6 3 4 ? 4? (2010 辽宁理数) (5)设 ? >0,函数 y=sin( ? x+ )+2 的图像向右平移 个单位后与原 3 3

?

) , y ? sin(2 x ? ) = ? sin 2( x ? ) ,所以将 12 3 6

?

?

?

) 的图像向右平移

图像重合,则 ? 的最小值是 (A)

2 3

(B)

4 3

(C)

3 2

(D)3

(2010 江西理数)17.(本小题满分 12 分)

?? ? ?? ? f ? x ? ? ?1 ? cot x ? sin 2 x ? m sin ? x ? ? sin ? x ? ? 4? ? 4 ?。 ? 已知函数
f ? x?
? ? 3? ? ? 8 ,4 ? ? 上的取值范围; 在区间 ?
3 5 ,求 m 的值。

(1) 当 m=0 时,求

(2) 当 tan a ? 2 时,

f ?a? ?

(2) f ( x) ? (1 ?

cos x ? ? )sin 2 x ? m sin( x ? )sin( x ? ) sin x 4 4

1 1 [sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x] ? 2 2 2sin a cos a 2 tan a 4 3 ? ? , cos 2a ? , 当 tan ? ? 2 ,得: sin 2a ? 2 2 2 sin a ? cos a 1 ? tan a 5 5
化简得: f ( x) ? 代入上式,m=-2. (2010 北京理数)已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。
2

(Ⅰ)求 f ? ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。

(2010 四川理数) (19) (本小题满分 12 分) 1 (Ⅰ)○证明两角和的余弦公式 C? ?? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? ; 2 ○由 C? ? ? 推导两角和的正弦公式 S? ?? : sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin ? . (Ⅱ)已知△ABC 的面积 S ?

? 1 ??? ???? 3 , AB ? AC ? 3 ,且 cos B ? ,求 cosC. 5 2

解:(1)①如图,在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O,并作出角 α、β 与-β,使角 α 的始 边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于 P3;角-β 的始边为 OP1,终边交⊙O 于 P4. 则 P1(1,0),P2(cosα,sinα) P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)) 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2 展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.……………………4 分

? ? -α)=sinα,sin( -α)=cosα 2 2 ? ? sin(α+β)=cos[ -(α+β)]=cos[( -α)+(-β)] 2 2 ? ? =cos( -α)cos(-β)-sin( -α)sin(-β) 2 2
②由①易得 cos( =sinαcosβ+cosαsinβ……………………………………6 分

(2010 天津理数) (17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ? 【解析】

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2x0 的值。 5 ?4 2?

(1)解:由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ,得

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ?

?

因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?? ?? ? ? 在区间 ? , ? 上为减函数, 又 ? 在区间 ?0, ? 上为增函数, 6? ? 6? ?6 2?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?
小值为-1

?? ? ? ?? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最 ?2? ? 2?

(2010 江苏卷)17、 (本小题满分 14 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。该小组 已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值;该小组分析若干 测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大,可 以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大?

解析:本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

(1)

H H H h ,同理: AB ? , BD ? 。 ? tan ? ? AD ? tan ? AD tan ? tan ?
, 故 得

AD—AB=DB

H H h ? ? tan ? tan ? tan ?









H?

h tan ? 4 ?1.24 ? ? 124 。 tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。

(2010 江苏卷)23.(本小题满分 10 分) 已知△ABC 的三边长都是有理数。 求证 cosA 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数。 解析:本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问 题、解决问题的能力。满分 10 分。 (方法一) (1)证明:设三边长分别为 a , b, c ,cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 ,∵ a , b, c 是有理数, 2bc

b 2 ? c 2 ? a 2 是有理数,分母 2bc 为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,


b2 ? c2 ? a 2 必为有理数,∴cosA 是有理数。 2bc

(2)①当 n ? 1 时,显然 cosA 是有理数; 当 n ? 2 时,∵ cos 2 A ? 2cos 2 A ? 1 ,因为 cosA 是有理数, ∴ cos 2 A 也是有理数; ②假设当 n ? k (k ? 2) 时,结论成立,即 coskA、 cos(k ? 1) A 均是有理数。

当 n ? k ? 1 时, cos(k ? 1) A ? cos kA cos A ? sin kA sin A ,

1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? [cos(kA ? A) ? cos(kA ? A)] , 2 1 1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? cos(k ?1) A ? cos(k ? 1) A , 2 2
解得: cos(k ? 1) A ? 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A ∵cosA, cos kA , cos(k ? 1) A 均是有理数,∴ 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A 是有理数, ∴ cos(k ? 1) A 是有理数。 即当 n ? k ? 1 时,结论成立。 综上所述,对于任意正整数 n,cosnA 是有理数。


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