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课时作业29 数系的扩充与复数的引入


课时作业 29

数系的扩充与复数的引入

时间:45 分钟 分值:100 分 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.若复数 z=(a2+2a-3)+(a+3)i 为纯虚数(i 为虚数单位),则 实数 a 的值是( A.-3 C.3 或-1 ) B.-3 或 1 D.1

解析:若复数 z 为纯虚数,则需满足 a2+2a-3=0 且 a+3≠0, 解得 a=1.不要忽视虚部不等于零的条件. 答案:D 2.(2013· 北京卷)在复平面内,复数(2-i)2 对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

解析:(2-i)2=4-4i+i2=3-4i,对应复平面内点的坐标为(3, -4)位于第四象限. 答案:D 3. (2013· 新课标全国卷Ⅱ)设复数 z 满足(1-i)z=2i, 则 z=( A.-1+i C.1+i B.-1-i D.1-i )

2i?1+i? 2i 解析:由题意得 z= = =-1+i.故选 A. 1-i ?1-i??1+i? 答案:A 4. (2013· 安徽卷)设 i 是虚数单位,z 是复数 z 的共轭复数. 若 z· z i+2=2z,则 z=( )

A.1+i C.-1+i

B.1-i D.-1-i

解析:令 z=a+bi,则 z =a-bi,代入 z· z i+2=2z 得:(a2+ b2)i+2=2a+2bi 得 a2+b2=2b;2a=2,解得 a=1,b=1,则 z=1 +i.故选 A. 答案:A 5.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( A.-4 C.4 ) 4 B.-5 4 D.5 5 = 3-4i

解析: |4 + 3i| = 42+32 = 5 ,所以 (3 - 4i)z = 5 即 z = 5?3+4i? 3 4 4 =5+5i,所以 z 的虚部为5.故选 D. ?3-4i??3+4i? 答案:D

7+i π 5π 6.设复数 z= -isinθ,其中 i 为虚数单位,θ∈[-6, 6 ], 3+4i 则|z|的取值范围是( A.[1, 3] 13 C.[ 2 , 5] ) B.[1, 5] 5 D.[ 2 , 5]

7+i ?7+i??3-4i? 解析:z= -isinθ= -isinθ 25 3+4i =1-(sinθ+1)i,|z|= 1+?sinθ+1?2, π 5π 1 5 ∵θ∈[-6, 6 ],∴-2≤sinθ≤1,|z|∈[ 2 , 5].

答案:D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7 .设复数 z = 2 - i ,若 z· (a + i) 为纯虚数,则实数 a 的值为 ________. 解析:∵ z· (a+ i)= (2-i)(a+i)= 2a+ 1+ (2-a)i 为纯虚数,∴
? ?2a+1=0, 1 ? ∴a=-2. ? ?2-a≠0,

1 答案:-2 8.(2013· 天津卷)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i)(1+i)= bi,则 a+bi=________. 解析:(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,由复数的运算法则可得
?a-1=0 ?a=1, ? ? ? 解得? 所以 a+bi=1+2i. ?a+1=b ? ? ?b=2,

答案:1+2i

?1+x ?x∈R? 9.已知定义在复数集 C 上的函数满足 f(x)=? x ?|1+i|?x?R?
则 f(f(1-i))等于________. 1-i -2i 解析:由已知得 f(1-i)=| |=| 2 |=|-i|=1, 1+i ∴f(1)=1+13=2,即 f(f(1-i))=2. 答案:2

3



三、解答题(共 55 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤或 证明过程) 10.(15 分)计算:(1) ?-1+i??2+i? ; i3

?1+2i?2+3?1-i? (2) ; 2+i 1-i 1+i (3) ; 2+ ?1+i? ?1-i?2 1- 3i (4) . ? 3+i?2 ?-1+i??2+i? -3+i 解:(1) = =-1-3i. i3 -i ?1+2i?2+3?1-i? -3+4i+3-3i i (2) = = 2+i 2+i 2+i = i?2-i? 1 2 5 =5+5i.

1-i 1+i 1-i 1+i (3) = + 2+ ?1+i? ?1-i?2 2i -2i = 1+i -1+i + 2 =-1. -2

1- 3i ? 3+i??-i? -i (4) 2= 2 = ? 3+i? ? 3+i? 3+i = ?-i?? 3-i? 1 3 =- - 4 4 4 i. 3 2 +(10-a2)i,z2= +(2a-5)i,求 z a+5 1-a

11.(20 分)复数 z1=
1+z2 是实数,求实数

a 的值.

? 3 2 ? 3 2 解: z 1+z2= +(a2-10)i+ +(2a-5)i=?a+5+1-a?+ a+5 1-a ? ?

[(a2-10)+(2a-5)]i=

a-13 +(a2+2a-15)i. ?a+5??a-1?

∵ z 1+z2 是实数,∴a2+2a-15=0.解得 a=-5 或 a=3. ∵分母 a+5≠0,∴a≠-5,故 a=3.

——创新应用—— 12.(20 分)设复数 z=-3cosθ+2isinθ. 4 (1)当 θ=3π 时,求|z|的值; θ 2cos22-1

(2)若复数 z 所对应的点在直线 x+3y=0 上, 求 4 解:(1)∵θ=3π, 4 4 3 ∴z=-3cos3π+2isin3π=2- 3i, ∴|z|= 3 21 ?2?2+?- 3?2= 2 .

π 的值. 2sin?θ+4?

(2)由条件得-3cosθ+3×2sinθ=0, 1 ∴tanθ=2, cosθ 1 2 原式= = =3. sinθ+cosθ tanθ+1


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