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计算机仿真技术 第二章 系统建模的基本方法与模型处理技术 5


2.5.3 离散相似法 离散相似法是将连续模型处理成与之等效的离散模 型的一种方法,具体地说,就是设计一个离散系统模 型,使其中的信息流与给定的连续系统的信息流相似 ,或者说,它是依据给定的连续系统的数学模型,通 过具体的离散化方法,构造一个离散化模型,使之与 连续系统等效。 由于连续系统可由传递函数(频域)及状态方程( 时域)两种形式描述,相应地,离散相似法也有两种 形式:一种是传递函数的离散化处理,得到离散传递 函数;另一种是连续的状态方程的离散处理,得到离 散化状态方程。下面分别介绍这两种方法。
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1. Z域离散相似法 u(t) y(t)

G(z)

G(s)

u(t) u*(t)

~ u (t )
Gh (s)
G(s)

~ * (t ) y
~ (t ) y

(a)连续系统模型

(b)系统离散化模型

假设有一个连续系统如图(a)所示,在连续的输入信号u(t) 的后面再加一个以T为周期的采样开关,得一离散信号u*(t), 然后再加一个信号重构器,其传递函数为Gh(s),使离散信号 ~ ~ u (t ) 最后将连续信号u (t ) 加到 u*(t)再恢复为连续信号 y 原来的连续系统上,其输出为 ~ (t ) 上述过程如图(b)所示。 ~ ? (t ) 也就能足 ~ y 显然,只要 u (t ) 能足够精确的表示u(t), 那么, 够精确地表示y(t)。 故(b)所示的离散模型也就能够足够精 电力电子与电力传动实验室 确地表示图(a)所示的连续系统。 Bring Ideas Together Lab of PEED

由Z变换的理论知,从u*(t)到
用下式来表示

~ ? (t ) 之间离散传递函数G(z)可以 y

Y ( z) G( z) ? ? Z [Gh ( s)G ( s)] U ( z) 我们将典型信号的拉式变换和Z变换列于下表

f(t)

f*(t)

F(s)

F(z)

? (t )

[1,0,0…]
[0,1,0…] [1,1,1…]

1

1
z-1 z/(z-1)

? (t ? T )
u(t )
t

e?Ts
s-1

n

s-2
1 /(s ? ? )

z/(z-1)2
z /( z ? e ??T )
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e??t

e ??nT

利用Z域离散相似法时,信号重构器是一个重要的环节,它 是将离散信号恢复为连续信号的环节,信号重构器的种类 有很多,其中常用的有零阶信号重构器(也称零阶保持 器),一阶信号重构器和三角信号重构器等。其中零阶信 号重构器结构简单,应用广泛。这里主要介绍零阶重构器。 零阶信号重构器,是将离散信号在两个采样点之间保持 不变,因此是使离散信号恢复为一个阶梯状的连续信号。 如下图,其单位脉冲响应是一个幅值为1持续时间为T的矩 形脉冲如由右下图所示,并可表示为两个阶越函数之和。

g h (t ) ? u (t ) ? u (t ? T )
对单位脉冲响应取拉式氏变换,可得零阶信号重构器的传递 函数 1 e ?Ts 1 ? e ?Ts

Gh ( s ) ? ? ? s s

s

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fh(t)

f(t)

gh(t)

1

T

t

0

T

t

通过零阶信号重构器后的信号fh(t)

零阶信号重构器的单位脉冲响应

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k ,并采用零阶保持器,即 Gh ( s) ? 1 ? e 例1:如果取 G(s) ? s?a s

?Ts

,求与之对应的离散相似系统。 ?1 ? eTs k ? ? k ? z ?1 ? k ? Ts G( z) ? Z ? ? ? Z ?(1 ? e ) ? ? z Z ? s( s ? a) ? s( s ? a) ? ? ? ? ? s s ? a?
z ?1 ? k ? 1 1 ?? k z ? 1 ? z z ? Z? ? ? ? ?? ? ? z a ? s s ? a ?? a z ? z ? 1 z ? e ? aT ?

? aT ? k 1? e ?? a z ? e ? aT ?

z ?1 ? 位移因子 z Y ( z ) k 1 ? e ? aT 由传递函数 G( z) ? ? U ( z ) a z ? e ?aT k ? aT y(n ? 1) ? e y(n) ? (1 ? e ?aT )u (n) 得 a 电力电子与电力传动实验室
?Ts ?1
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Z ? ? e ?? 1? z 1

利用上述方法可以求出各种线性定常系统的z域离散 相似模型,不过应该注意,采用不同的信号重构器得到的 离散模型是不一样的,究竟采用什么类型的重构器,这要 看所研究的具体问题而定。 综上,采用z域离散相似方法对连续系统进行离散化 的主要步骤可以归纳如下: ① 首先画出连续系统的结构图; ② 然后在适当的地方加入虚拟的采样开关,选择合适的 信号重构器; ③ 并将所引进的信号重构器传递函数与连续系统的传递 函数串联,通过z变换求得系统的脉冲传递函数;最 后 通过z逆变换求得差分方程; ④根据差分方程编制仿真程序。
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典型环节的离散相似模型 a) 积分环节 1 ? e ?Ts 系统的传递函数为 G( s) ? 1 / s 采用零阶保持器 Gh ( s) ? s 解:系统的离散化传递函数为
?1 ? e ?Ts 1 ? 1 ?Ts ? ?1 G( z) ? Z ? ? ? Z? 2 ? 2 e ? s? s ?s ? ? s

由z变换的线性性质和移位定理得
G( z ) ? Tz 1 Tz T ? ? ( z ? 1) 2 z ( z ? 1) 2 z ? 1

或者

?1 ? e ?Ts 1 ? z ? 1 ? 1 1 ? G( z) ? Z ? Z? ?? ? s s? z ?s s? ? z ? 1 Tz T ? ? z ( z ? 1) 2 z ? 1
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? 1) ? y(n) ? Tu (n) 进行z逆变换,得到系统的差分模型 y(n电力电子与电力传动实验室

b) 一阶环节(适用于超前—滞后,惯性环节等) 解:连续系统的传递函数为
G( s) ? C ? Ds A ? Bs

如果采用零阶保持器,得脉冲传递函数为
?1 ? e ?Ts C ? Ds ? z ? 1 ? 1 C ? Ds ? G( z) ? Z ? Z? ?? ? A ? Bs ? z ? s A ? Bs ? ? s ? ? z ?1 ? D ? z ?1 ? D C 1 C 1 Z? ? ? Z? ? z A ? Bs s ( A ? Bs) ? z B A / B ? s B s( A / B ? s) ? ? ? ? ?

? z ?1 ? D 1 CB (1 ? e ? aT ) z ?1 ? ? ? ? ? aT ?1 z ? B 1? e z B A (1 ? z ?1 )(1 ? e ? aT z ?1 ) ? DA( z ? 1) ? BC (1 ? e ? aT ) ? AB( z ? e ? aT )

其中 ? ? A/ B
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进行z 反变换得到差分方程为
y (n ? 1) ? e
? aT

D BC ? DA ? BCe? aT y (n) ? u (n ? 1) ? u ( n) B AB

若取

P?e

? aT

BC ? DA ? BCe? aT , Q ? D / B, R ? AB



y(n ? 1) ? Py(n) ? Qu (n ? 1) ? Ru(n)

2. 时域离散相似法原理 如果系统的数学模型以状态方程来描述,则同样可以 应用离散相似法的原理,对它进行离散化处理,求得离 散化状态方程组(差分方程组),然后编制程序来进行 仿真。 状态方程 差分方程组
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设系统的状态方程和输出方程为
? X (t ) ? AX (t ) ? Bu (t ) y (t ) ? CX (t ) ? Du (t )

(1)

现在问题的实质是求解上述的微分方程,首先将状态方程写成
? X (t ) ? AX (t ) ? Bu(t )

(2)

对上式两边左乘 e ? At 得 d ? At ? At ? e [ X(t ) ? AX(t )] ? [e X(t )] ? e ? At Bu (t ) dt 对上式由 0 ? t 进行积分得

(3)

?e
化简为
e
? At

? A?

X (? ) ? ? e ? A? Bu(? )d?
t 0 0

?

t

(4) (5)
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X (t ) ? X (0) ? ? e? A? Bu(? )d?
0
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t

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因此上式两边再左乘

,且有 e At

e ? At ? At ? I
(6)

X(t ) ? e At X (0) ? ? e A(t ?? ) Bu(? )d? ? φ (t ) X(0) ? ?φ (t ? ? )Bu (? )d?
0 t

其中 φ (t ) ? e At 为了得到叠代的差分方程 ,根据式(6),可以得到
X( k T ) ? e
AkT

X(0) ? ? e A(kT ?? ) Bu (? )d? 。
0

kT

(7) (8)

( k ?1)T

X(( k ? 1)T ) ? e

A(k ?1)T

X ( 0) ?

e A((k ?1)T ?? ) Bu (? )d? ?
0

然后根据X(kT)和X[(k+1)T]的关系,进一步变换得到
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X[( k ? 1)T ] ? e AT X (k T) ? e A(k ?1)T X(0) ? e AT e AkT X (0)
( k ?1)T

? ?

?
0

e

A((k ?1)T ?? )

Bu (? )d? ? e

kT AT

e A(kT ?? ) Bu (? )d? ?
0

( k ?1)T

e A((k ?1)T ?? ) Bu (? )d? ?
( k ?1)T [A(k ?1)T ?? ]

kT

X(( k ? 1)T ) ? e AT X(k T) ?

?e

Bu (? )d?

(9)

kt

并考虑B是常数阵 ,利用离散相似法信号重构器采用零阶保持 器 u(t)在相邻的采样点之间保持不变,即当 kT ? ? ? (k ? 1)T 时, u(t ) ? u(kT),可得
( k ?1)T

? T A(T ?t) ? A[(k ?1)T ?? ] ??e Bu (? )d? ? ? k T ? t ? Bdt ?u (k T) ?e ? kT 0 ? ?
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则 令 可得

? T A(T ? t) ? AT ??e X [( k ? 1)T ] ? e X ( k T) ? ? Bdt ?u (k T) ? ?0 ?

(10)

F (T ) ? φ(T ) ? e AT

G (t ) ? ? e A(T ? t) Bdt
0

T

X [(k ? 1)T ] ? F (T ) X (kT) ? G(T )u(kT)

(11)

以上便是一个离散化的状态方程,它是采用零阶保持器得 到的,若采用其它类型的保持器,则得到的状态方程的形式 会发生改变。 的计算是离散化的关键,对于它求解的方法主 在上式中 e At 要有 (1)根据矩阵指数的定义求解
e
At ? A2 2 Ak k ? I ? At ? t ?? ? ? ?t 2 ! k ? 0 k!

已知A,用乘法和加法即可求出

e At

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(2)用拉氏变换法求解

由定义知 e At
取拉氏变换

? A2 2 Ak k ? I ? At ? t ?? ? ? ?t 2 ! k ? 0 k!

1 A A2 L[e ] ? ? 2 ? 3 ? ? s s s
At

仿标量情况
1 a a2 L[e ] ? ? 2 ? 3 ? ? ? ( s ? a) ?1 s s s
at

所以

L[e At ] ? ( sI ? A) ?1
因此有

e At ? L?1[( sI ? A) ?1 ]

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例 用离散相似法求出下面系统的差分方程

首先写出系统的状态方程
? X ? AX ? Bu

u

k s

x1

1 x2 s ?1

y

系统的输出方程为 其中
?0 0 ? A?? 1 ? 1? ? ?

y ? CX
?k? B?? ? ?0? ? ?


C ? ?0 1?



因为

0 ? ?s sI ? A ? ? ,所以有 ? 1 s ? 1? ? ?

? 1 ? s ?1 ( sI ? A) ? ? 1 ? ? s( s ? 1) ?
0 ? e ?T ? ?

? 0 ? 1 ? ? s ? 1? ?



? 1 F(T ) ? L [( sI ? A) ] ? ? 1 ? e ?T ?
?1 ?1

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1 0 ??K ? ? G (T ) ? ? F (T ? ? ) Bd? ? ? ? 0 0 1 ? e ?(T ?? ) e ?(T ?? ) ? ?0 ? ? ?? ? T ?K ? ?kT ? ?? ? d? ? ? ? ? 0 K (1 ? e ?(T ?? ) ) k (T ? 1 ? e ?T )? ? ? ?
T T

所以离散的状态方程为
X (k ? 1) ? F (T ) X (k ) ? G(T )u(k )

差分方程组为
? x1 (k ? 1) ? x1 (k ) ? k Tu(k ) ? x2 (k ? 1) ? (1 ? e ?T ) x1 (k ) ? e ?T x2 (k ) ? k (T ? 1 ? e ?T )u (k ) ?
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