当前位置:首页 >> 数学 >>

空间向量与空间角


数学-选修2-1

自 主 学 习. 基 础 知 识

第 3 课时

空间向量与空间角

易 误 警 示 . 规 范 指 导

合 作 探 究. 重 难 疑 点

课 时 作 业

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

[ 学习目标]

1.理解直线与平面所成角的概念. (重点)

2.会用

向量法求线线、线面、面面夹角.(重点、难点) 夹角与所求线线角、面面角的关系.(易错点)

3.正确区分向量

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

空间角的向量求法 角的分类 两异面直线 l1 与 l2 所成的角 θ 向量求法 设 l1 与 l2 的方向向量为 a,b, 则 cos θ=________=________ 范围
? π? ?0, ? 2? ?

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
设 l 的方向向量为 a,平面 α 的 法向量为 n, 则 sin θ=________ =________ 设平面 α, β 的法向量为 n1, n2, [0,π] |n1· n2| 则|cos θ|=________=|n |· |n |
1 2

直线 l 与平面 α 所成 的角 θ 二面角 α-l-β 的平 面角 θ

? π? ?0, ? 2? ?

|a· b| |a· n| 【答案】 |cos?a,b?| |cos?a,n?| |a||b| |a||n| |cos?n1,n2?|
服/务/教/师 免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

1.如图 3222,空间正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分别 是 CD, CC1 的中点, 则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是( )

图 3222
服/务/教/师 免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

π A.6 π C.3

π B.4 π D.2

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
【解析】 以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线为坐标轴建
? ? ? 1 1? → → 系,则A1M=?-1,2,-1?,DN=?0,1,2?, ? ? ? ?

→ → A M · DN 1 → → cos〈A1M,DN〉= =0. → → |A1M||DN| π → → ∴〈A1M,DN〉=2.
【答案】 D

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

2.已知向量 m,n 分别是直线 l 与平面 α 的方向向量、法向 3 量,若 cos〈m,n〉=- 2 ,则 l 与 α 所成的角为( A.30° C.150° B.60° D.120° )

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

【解析】 设 l 与 α 所成的角为 θ,则 sin θ=|cos〈m,n〉| 3 = 2 ,∴θ=60° ,应选 B.
【答案】 B

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

3.已知平面 α 的一个法向量 n=(-2,-2,1),点 A(-1,3,0) 在平面 α 内,则点 P(-2,1,4)到 α 的距离为( A.10 8 C.3 B.3 10 D. 3 )

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

→ 【解析】 因为PA=(1,2,-4),所以点 P 到平面 α 的距离 d → |PA· n| |1×?-2?+2×?-2?+?-4?×1| 10 = |n| = =3. 4+4+1
【答案】 D

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

4.已知平面 α 的法向量 u=(1,0,-1),平面 β 的法向量 v= (0,-1,1),则平面 α 与 β 所成的二面角的大小为________.
【解析】 -1 1 2 cos〈u,v〉= =-2,∴〈u,v〉=3π, 2· 2

π 而所成的二面角可锐可钝,故也可以是3.

π 2 【答案】 3或3π

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

预习完成后, 请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

求异面直线所成的角
如图 3223,在三棱锥 VABC 中,顶点 C 在空间直 角坐标系的原点处,顶点 A,B,V 分别在 x 轴、y 轴、z 轴上,D 是线段 AB 的中点,且 AC=BC=2,∠VDC=θ.

图 3223 π 当 θ=3时,求异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值.
免/费/馈/赠

服/务/教/师

返回菜单

数学-选修2-1

【思路探究】

确定A、C、V、 → 与VD → → 求向量AC D的坐标

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
【解】由于 AC=BC=2,D 是 AB 的中点, 所以 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D(1,1,0). π 当 θ=3时,在 Rt△VCD 中,CD= 2,∴V(0,0, 6), → =(-2,0,0),VD → =(1,1,- 6), ∴AC →· → -2 AC VD 2 → → ∴cos〈AC,VD〉= = =- 4 . → → |AC||VD| 2×2 2 2 ∴异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为 4 .
服/务/教/师 免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

1.几何法求异面直线的夹角时,需要通过作平行线将异面直 线的夹角转化为平面角,再解三角形来求解,过程相当复杂;用向 量法求异面直线的夹角, 可以避免复杂的几何作图和论证过程, 只 需对相应向量运算即可. 2.由于两异面直线夹角 θ
? π? 的范围是?0,2?,而两向量夹角 ? ?

α

的范围是[0,π] ,故应有 cos θ=|cos α|,求解时要特别注意.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,已知 DA=DC=4,DD1=3,求 异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

【解】以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x

轴、 y 轴、 z 轴, 建立空间直角坐标系, 如图, 则 A1(4,0,3), B(4,4,0), B1(4,4,3),C(0,4,0),

→ → 得A B = (0,4 ,- 3) , B 1 1C=(-4,0,-3).
返回菜单

服/务/教/师

免/费/馈/赠

数学-选修2-1

→ → A B · B 9 1 1C → → 设A1B与B1C的夹角为 θ,则 cos θ= =25, → → |A1B||B1C| 9 → → 故A1B与B1C的夹角的余弦值为25, 9 即异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为25.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
求线面角
1 AB⊥AC,PA=AC=2AB,N 为 AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别 为 PB,BC 的中点.

如图 3224 所示,三棱锥 PABC 中,PA⊥平面 ABC,

图 3224 (1)证明:CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.
服/务/教/师 免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

【思路探究】

(1)怎样建立坐标系?

→ → (2)向量CM与SN满足什么关系时有 CM⊥SN 成立? → (3)SN的坐标是多少?平面 CMN 的一个法向量怎么求? → 与平面 CMN 的法向量的夹角就是 SN 与平面 CMN 所成的 SN 角吗?

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

【解】设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系(如图).

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0), 1 又 AN=4AB,M、S 分别为 PB、BC 的中点,
?1 ? ? ? 1? ? 1 ∴N?2,0,0?,M?1,0,2?,S?1,2,0?, ? ? ? ? ? ?

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

? ? 1? → ? 1 1 → (1)CM=?1,-1,2?,SN=?-2,-2,0?, ? ? ? ? ? 1? ? 1 1 → → ? ?- ,- ,0?=0, ∴CM· SN=?1,-1,2?· 2 2 ? ?? ?

因此 CM⊥SN.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
? 1 → ? (2)NC=?-2,1,0?,设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向 ? ?

→· →· 量,∴CM a=0,NC a=0. 1 ? ?x-y+2z=0, 则? ?-1x+y=0. ? 2
? ?x=2y, ∴? ? ?z=-2y.

取 y=1,得 a=(2,1,-2).
返回菜单

服/务/教/师

免/费/馈/赠

数学-选修2-1

1 -1-2 2 → 因为 cos?a,SN?= =- 2 . 2 3× 2 3 → ∴〈a,SN〉=4π. 3 π π 所以 SN 与平面 CMN 所成角为4π-2=4.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

→ 1.本题中直线的方向向量SN与平面的法向量 a 的夹角并不是 → ,a〉|. 所求线面角 θ,它们的关系是 sin θ=|cos〈SN

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
2. 若直线 l 与平面 α 的夹角为 θ, 利用法向量计算 θ 的步骤如 下:

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

设在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB=AC=AA1=2,∠BAC= 90° ,E,F 依次为 C1C,BC 的中点.试求 A1B 与平面 AEF 的夹角 的正弦值.

图 3225
服/务/教/师 免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
【解】以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

→ 则 A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0),所以A 1B= → =(0,2,1),AF → =(1,1,0). (2,0,-2),AE

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
设平面 AEF 的一个法向量为 n=(a,b,c), → =0, ? ? ?n· AE ?2b+c=0, 由? 得? ? → ?a+b=0, ? n · AF = 0 , ? 令 a=1 可得 n=(1,-1,2). 设 A1B 与平面 AEF 的夹角为 θ, → | n · A 3 1B| → 所以 sinθ=|cos〈n,A1B〉|= = 6 ,即 A1B 与平面 AEF → |n||A B|
1

3 的夹角的正弦值为 6 .
服/务/教/师 免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1 求二面角
如图 3226,直三棱柱 ABCA1B1C1 中,D,E 分别是 2 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= 2 AB.

图 3226 (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 DA1CE 的正弦值.
服/务/教/师 免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

【思路探究】

(1)能否运用线面平行的判定定理求解?(2)如

何建立空间直角坐标系,能确定面 DA1C 和面 A1CE 的法向量,进 而利用公式求出二面角的正弦值?

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

【解】 (1)证明 连结 AC1,交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中 点. 又 D 是 AB 的中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1?平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
2 (2)由 AC=CB= 2 AB, 得 AC⊥BC.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
→ → → 以 C 为坐标原点,CA,CB,CC1的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.设 CA=2,则

→ → → D(1,1,0), E(0,2,1), A1(2,0,2), CD=(1,1,0), CE=(0,2,1), CA1=(2,0,2). 设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量, → ? ? ?n· CD=0, ?x1+y1=0, 则? 即? ? → ?2x1+2z1=0. ? CA1=0, ?n· 可取 n=(1,-1,-1).

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

同理,设 m=(x2,y2,z2)是平面 A1 CE 的法向量, → =0, ? ? ?m· CE ?2y2+z2=0, 则? 即? 可取 m=(2,1,-2). ? → =0, ?2x2+2z2=0. ? CA ?m · 1 n· m 3 6 从而 cos〈n,m〉=|n||m|= 3 ,故 sin〈n,m〉= 3 . 6 即二面角 DA1CE 的正弦值为 3 .

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

用向量法求二面角的大小, 可以避免作出二面角的平面角这一

难点, 转化为计算两半平面法向量的夹角问题, 具体求解步骤如下: (1)建立空间直角坐标系; (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量; (3)求两个法向量的夹角; (4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角; (5)确定二面角的大小.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

(2015· 沈阳高二检测)如图 3227,在空间直角坐标系 Cxyz 中, AB 是半圆 O 的直径,AC=BC=2 2,DC∥EB,DC=EB,tan∠ 1 EAB=4,求二面角 DAEB 的余弦值.

图 3227

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
1 【解】由题可知 AB=4,tan∠EAB=4,可得 CD=EB=1,∴

→ =(-2 2, D(0,0,1),E(0,2 2,1),A(2 2,0,0),B(0,2 2,0),则AB → → → 2 2,0),BE=(0,0,1),DA=(2 2,0,-1),DE=(0,2 2,0), 设平面 DAE 的法向量为 n1=(x1,y1,z1), → =0, ? ? ?n1· DE ?2 2y1=0, 则? 即? ? → ?2 2x1-z1=0. ? DA=0, ?n1·

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

∴y1=0,令 x1=1,则 z1=2 2,∴平面 DAE 的一个法向量为 n1=(1,0,2 2). 设平面 ABE 的法向量为 n2=(x2,y2,z2), → ? ? ?n2· BE=0, ?z2=0, 则? 即? ? → ?-2 2x2+2 2y2=0, ? n · AB = 0 , ? 2 ∴z2=0,令 x2=1,则 y2=1,

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

∴平面 ABE 的一个法向量为 n2=(1,1,0), 1 2 n1· n2 ∴cos〈n1,n2〉=|n ||n |= =6. 2× 9 1 2 由图可以判断二面角 DAEB 为钝角, 2 ∴二面角 DAEB 的余弦值为- 6 .

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

利用空间向量求空间角的基本思路是把空间角转化为 两个向量夹角的关系,解决方法一般有两种,即坐标法和 基向量法,当题目中有明显的线面垂直关系时,尽量建立 空间直角坐标系,用坐标法解决.需要注意的是要理清所 求角与向量夹角之间的关系,以防求错结果.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

对所求角与向量夹角的关系不理解致误 正方体 ABCDA1B1C1D1 中,求二面角 ABD1C 的大 小.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

【易错分析】用法向量的夹角判断二面角的大小时出现错误, 根据法向量的方向可知,二面角为钝角,而不是锐角.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

【防范措施】 利用法向量求二面角时, 要注意法向量的夹角 与二面角的大小关系是相等或互补, 在求出两向量的夹角后, 一定 要观察图形或判断法向量的方向来确定所求二面角与其相等还是 互补.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

【解】以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

设正方体的棱长为 1, 则 D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1).

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

→ =(1,0,1)是平面 ABD 的一个法向量, 由题意知DA 1 1 → =(0,1,1)是平面 BCD 的一个法向量. DC 1 1 →· → DC DA 1 1 1 → → 所以 cos〈DA1,DC1〉= =2, → → |DC |· |DA |
1 1

→ ,DC → 〉=60° 所以〈DA . 1 1 所以二面角 ABD1C 的大小为 120° .

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
——[ 类题尝试] ———————————————— (2013· 山东高考)如图 3228,在三棱锥 P-ABQ 中,PB⊥平 面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连 接 GH.

图 3228
服/务/教/师 免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

(1)求证:AB∥GH; (2)求二面角 DGHE 的余弦值.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

【解】 (1)证明:因为 D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,所以 EF∥AB,DC∥AB.所以 EF∥DC. 又因为 EF?平面 PCD,DC?平面 PCD, 所以 EF∥平面 PCD. 又因为 EF?平面 EFQ,平面 EFQ∩平面 PCD=GH, 所以 EF∥GH.又因为 EF∥AB,所以 AB∥GH.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
(2)在△ABQ 中,AQ=2BD,AD=DQ, 所以∠ABQ=90° .又因为 PB⊥平面 ABQ, 所以 BA,BQ,BP 两两垂直. 以点 B 为坐标原点,分别以 BA,BQ,BP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
设 BA=BP=BQ=2,

则 E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2), → =(-1,2,-1),FQ → =(0,2,-1),DP → =(-1,-1,2),CP →= 所以EQ (0,-1,2). 设平面 EFQ 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1), → =0,m· → =0, 由 m· EQ FQ
? ?-x1+2y1-z1=0, 得? ? ?2y1-z1=0,

取 y1=1,得

m=(0,1,2).
服/务/教/师 免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1
设平面 PDC 的一个法向量为 n=(x2,y2,z2), → =0,n· → =0, 由 n· DP CP
? ?-x2-y2+2z2=0, 得? ? ?-y2+2z2=0,

取 z2=1,得 n=(0,2,1).

m· n 4 所以 cos〈m,n〉=|m||n|=5. 因为二面角 DGHE 为钝角, 4 所以二面角 DGHE 的余弦值为-5.

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单

数学-选修2-1

课时作业 (二十)

点击图标进入…

服/务/教/师

免/费/馈/赠

返回菜单


赞助商链接
相关文章:
利用空间向量求空间角 教案
利用空间向量空间角 教案 - 利用空间向量空间角 备课人:龙朝芬 授课人:龙朝芬 授课时间:2016 年 11 月 28 日一、高考考纲要求: 能用向量方法解决异面...
空间向量与空间角
空间向量与空间角_数学_高中教育_教育专区。课时提升作业 (二十七) 空间向量与空间角 [来源:学#科#网 Z#X#X#K] (30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 ...
归纳与技巧:空间向量与空间角(含解析)
归纳与技巧:空间向量与空间角(含解析) - 归纳与技巧:空间向量与空间角 基础知识归纳 利用向量求空间角 1.两条异面直线所成的角的求法 设两条异面直线 a,b...
利用空间向量求空间角
利用空间向量空间角 - 利用空间向量空间角 (1)两条异面直线所成的夹角 范围:两条异面直线所成的夹角的取值范围是 0 ? ? ? ? 90? 。 向量求法:设...
利用空间向量求解空间角与距离
利用空间向量求解空间角与距离_数学_高中教育_教育专区。龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 利用空间向量求解空间角与距离 作者: 来源:《数学金刊· 高考版》...
用向量法求空间角与距离
向量法求空间角与距离 - 用向量法求空间角与距离 1.1. 向量的数量积和坐标运算 ? ? a, b 是两个非零向量,它们的夹角为 ? ,则数 | a | ? | b ...
空间向量法求空间角
空间向量法求空间角 - “空间向量法求空间角”教学设计 石家庄市第十五中学 张文芳... 空间向量法求空间角_高二数学_数学_高中教育_教育专区。“空间向量法求空间...
《空间向量的夹角和距离公式》教案及说明
空间向量的夹角和距离公式》教案及说明_数学_高中教育_教育专区。空间向量的...(2) 此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? (不考虑火炬手与小船本身的...
空间向量与角
空间向量与角 - 课 空间向量与角 题目 掌握空间向量夹角公式; 标 掌握用向量法求角的方法 重 向量求角的方法应用 点 导学流程 静心自 3、 学 难点 正确建...
用空间向量解决空间中“夹角”问题
空间向量解决空间中“夹角”问题 - 利用空间向量解决空间中的“夹角”问题 学习目标 : 1.学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法; 2...
更多相关文章: