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高中数学-第三章测考试试题6-新人教A版选修2-2

高中数学-第三章测考试试题 6-新人教 A 版选修 2-2

高中新课标数学选修(2-2)第三章测试题

一、选择题 1. a ? 0 是复数 z ? a ? bi(a,b?R) 为纯虚数的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不是充分也不必要条件

答案:B

2.若 z1 ? 2 ? i , z2 ? 3 ? ai(a ? R) , z1 ? z2 的和所对应的点在实轴上,则 a 为( )

A.3

B.2

C.1

D. ?1

答案:D

3.复数 z ? (a2 ? 2a) ? (a2 ? a ? 2)i 对应的点在虚轴上,则( A. a ? 2 或 a ? 1 B. a ? 2 且 a ? 1 C. a ? 0

) D. a ? 2 或 a ? 0

答案:D

4.设 z1 , z2 为复数,则下列四个结论中正确的是( ) A.若 z12 ? z22 ? 0 ,则 z12 ? ?z22 B. z1 ? z2 ? (z1 ? z2 )2 ? 4z1z2 C. z12 ? z22 ? 0 ? z1 ? z2 ? 0 D. z1 ? z1 是纯虚数或零

答案:D

5.设 z ? (2t2 ? 5t ? 3) ? (t2 ? ?2t ? 2)i , t ?R ,则下列命题中正确的是( )
A. z 的对应点 Z 在第一象限 B. z 的对应点 Z 在第四象限 C. z 不是纯虚数 D. z 是虚数
答案:D

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6.若1? i 是实系数方程 x2 ? bx ? c ? 0 的一个根,则方程的另一个根为( )

A.1? i B. ?1? i

C. ?1? i

D. i

答案:A

7.已知复数 z1 ? cos? ? i , z2 ? sin? ? i ,则 z1· z2 的最大值为( )

A. 3 2

B. 2

C. 6 2

D.3

答案:A

8.已知 m?R ,若 (m ? mi)6 ? ?64i ,则 m 等于( )

A. ?2

B. ? 2

C. ? 2

D.4

答案:B

9.在复平面内,复数 ? ? ? 1 ? 3 i 对应的向量为 OA ,复数 ?2 对应的向量为 OB .那么向 22
量 AB 对应的复数是( )

A.1

B. ?1

C. 3i D. ? 3i

答案:D

10.在下列命题中,正确命题的个数为( ) ①两个复数不能比较大小; ② z1,z2,z3 ?C ,若 (z1 ? z2 )2 ? (z2 ? z1)2 ? 0 ,则 z1 ? z3 ;
③若 (x2 ?1) ? (x2 ? 3x ? 2)i 是纯虚数,则实数 x ? ?1;

④ z 是虚数的一个充要条件是 z ? z ?R ; ⑤若 a,b 是两个相等的实数,则 (a ? b) ? (a ? b)i 是纯虚数;

⑥ z ?R 的一个充要条件是 z ? z .

A.0

B.1

C.2

D.3

答案:B

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11.复数 a ? bi(a,b ?R) 等于它共轭复数的倒数的充要条件是(

A. (a ? b)2 ? 1

B. a2 ? b2 ? 1

C. a2 ? b2 ? 1

) D. (a ? b)2 ? 1

答案:B

12.复数 z 满足条件: 2z ?1 ? z ? i ,那么 z 对应的点的轨迹是( )

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

答案:A

二、填空题 13.若复数 z ? cos? ? sin?·i 所对应的点在第四象限,则? 为第

象限角.

答案:一

14.复数 z ? 3 ? i 与它的共轭复数 z 对应的两个向量的夹角为



答案: 60°

15.已知 z ? 2 ? i ,则 z3 ? 4z2 ? 5z ? 2 ?



答案:2

16.定义运算 a b ? ad ? bc ,则符合条件 2 ?1 ? 3 ? 2i 的复数 z ?



cc

z zi

答案: 7 ? 4 i 55
三、解答题 17.已知复数 (x ? 2) ? yi(x,y ?R) 的模为 3 ,求 y 的最大值.
x
解:∵ x ? 2 ? yi ? 3 , ∴(x ? 2)2 ? y2 ? 3 ,故 (x,y) 在以 C(2,0) 为圆心,
3 为半径的圆上, y 表示圆上的点 (x,y) 与原点连线的斜率. x

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高中数学-第三章测考试试题 6-新人教 A 版选修 2-2 如图,由平面几何知识,易知 y 的最大值为 3 .
x

18.已知 z ?1? i,a,b 为实数. (1)若 ? ? z2 ? 3z ? 4 ,求 ? ; (2)若 z2 ? az ? b ? 1? i ,求 a , b 的值.
z2 ? z ?1

解:(1) ? ? (1? i)2 ? 3(1? i) ? 4 ? ?1? i ,

∴? ? 2;

(2)由条件,得 (a ? b) ? (a ? 2)i ? 1? i , i
∴(a ? b) ? (a ? 2)i ?1? i ,

∴ ???aa

? ?

b 2

? ?

1,解得 1,

?a ??b

? ?

?1, 2.

19.已知 z1 ? x2 ? x2 ? 1i , z2 ? (x2 ? a)i ,对于任意 x?R ,均有 z1 ? z2 成立,试求实数 a 的取值范围.

解:∵ z1 ? z2 , ∴x4 ? x2 ?1 ? (x2 ? a)2 ,

∴(1? 2a)x2 ? (1? a2 ) ? 0 对 x?R 恒成立.

当1? 2a ? 0,即 a ? 1 时,不等式成立; 2

当1?

2a

?

0

时,

?1 ? 2a ? 0, ???4(1 ? 2a)(1

?

a2

)

?

0

?

?1

?

a

?

1 2

综上,

a

?

? ??

?1,1 2

? ??



20.已知 ? ? z ? i(z ?C) , z ? 2 是纯虚数,又 ? ? 1 2 ? ? ? 1 2 ? 16 ,求 ? . z?2

4/6

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解:设 z ? a ? bi(a,b?R)

∴z?2 z?2

?

(a ? 2) ? bi (a ? 2) ? bi

?

(a2 ? b2 ? 4) ? 4bi (a ? 2)2 ? b2



∵ z ? 2 为纯虚数, z?2



?a ??b

2 ? b2 ? 0.

?

4

?

0,

∴ ? ? 1 2 ? ? ? 1 2 ? (a ? 1) ? (b ? 1)i 2 ? (a ?1) ? (b ? 1)i 2

? (a ? 1)2 ? (b ? 1)2 ? (a ?1)2 ? (b ?1)2

? 2(a2 ? b2 ) ? 4b ? 4
? 8 ? 4b ? 4 ?12 ? 4b . ∴12 ? 4b ?16 .∴b ?1.
把 b ?1代入 a2 ? b2 ? 4 ,解得 a ? ? 3 .

∴z ? ? 3 ?i .

∴? ? ? 3 ? 2i .

21.复数 z ? (1? i)3(a ? bi) 且 z ? 4 ,z 对应的点在第一象限内,若复数 0,z,z 对应的点是正 1?i
三角形的三个顶点,求实数 a , b 的值.

解: z ? (1? i)2· (1? i) (a ? bi) ? 2·i ·i (a ? bi) ? ?2a ? 2bi , 1?i

由 z ? 4 ,得 a2 ? b2 ? 4 .



∵复数 0, z , z 对应的点是正三角形的三个顶点, ∴z ? z?z ,

把 z ? ?2a ? 2bi 代入化简,得 b ? 1.



又∵Z 点在第一象限内,∴a ? 0 , b ? 0 .

由①②,得

??a ? ??b

? ?

? 3, ?1.

5/6

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故所求 a ? ? 3 , b ? ?1.

22.设 z 是虚数 ? ? z ? 1 是实数,且 ?1? ? ? 2 . z
(1)求 z 的值及 z 的实部的取值范围. (2)设 ? ? 1? z ,求证: ? 为纯虚数;
1? z (3)求 ? ? ? 2 的最小值.

(1)解:设 z ? a ? bi,a,b?R,b ? 0 ,

则 ? ? a ? bi ? 1 a ? bi

?

? ??

a

?

a2

a ?

b2

? ??

?

? ??

b

?

a2

b ?

b2

? ??

i



因为 ? 是实数, b ? 0 ,所以 a2 ? b2 ? 1,即 z ? 1 .

于是 ? ? 2a ,即 ?1? 2a ? 2 , ? 1 ? a ? 1. 2

所以

z

的实部的取值范围是

? ??

?

12,1???



(2)证明:

?

?

1? 1?

z z

?

1? 1?

a a

? bi ? bi

?

1? a2 (1 ?

? b2 ? 2bi a)2 ? b2

?

?

bi a ?1



因为

a

?

? ??

?

12,1???



b

?

0

,所以

?

为纯虚数;

(3)解:? ? ?2 ? 2a ? b2 (a ? 1)2

1? a2 ? 2a ?
(a ? 1)2

?

2a

?

a a

?1 ?1

?

2a

?1?

2 a ?1

?

2 ???(a

? 1)

?

a

1? ? 1??

?

3

因为

a

?

? ??

?

12,1???

,所以

a

?1

?

0



故 ? ? ?2 ≥ 2· 2 (a ?1·) 1 ? 3 4 ? 3 ?1.
a ?1

当 a ?1 ? 1 ,即 a ? 0 时, ? ? ? 2 取得最小值 1. a ?1

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