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《第三章导数小结测试》


第三章导数小结练习
姓名_____________班级_______________得分________________ 一、选择题 1.若 f(x)=sinα -cosx,则 f′(α )等于( A、sinα B、cosα ) B、 (log 2 x) ' ?
1 x ln 2

) D、2sinα

C、sinα +cosα

2.下列求导运算正确的是( A、 ( x ?
1 1 )? ? 1 ? 3 2 x x

C、 ( x 2 cos x) ' =-2x sinx 3. .若 f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 lim
h ?0

D、 (3 x ) ' ? 3 x log3 e
f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) =( ) h C. ?9 D. ?12

A. ?3

B. ?6

4.函数 y = mx2m- n 的导数为 y ' ? 4 x 3 ,则( A、m = 1, n = 2 B、m =-1,n = 2

) D、m = 1, n = -2

C、m = -1,n = -2 )

5. 函数 y = x3 + x 的递增区间是( A、 (0,??) B、 (??,1)

C、 (??,??)

D、 (1,??) )

6.函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x) 在这点取极值的( A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、必要非充分条件 ) D、0

7.函数 y = x4 - 4 x + 3 在区间[ -2,3 ]上的最小值为( A、 72 B、 36 C、 12

8.曲线 f ( x) = x3 + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1,则 p0 点的坐标为( A、( 1 , 0 ) B、( 2 , 8 ) C、( 1 , 0 )和(-1, -4) )



D、( 2 , 8 )和 (-1, -4)

9.函数 y = x3 - 3x2 - 9x (- 2 < x < 2)有( A、极大值 5,极小值-27 C、极大值 5,无极小值

B、极大值 5,极小值-11 D、极小值-27,无极大值 )
10 3

10.f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)=4,则 a 的值等于( A、
19 3

B、

16 3

C、

13 3

D、

11.曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 1 在点 (1,?1) 处的切线方程为( A. y ? ?3x ? 2 B. y ? 3x ? 4 C. y ? ?4 x ? 3
1

) D. y ? 4 x ? 5

12、 f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数, 若 f(x),g(x)满足 f′(x)=g′(x),则 f(x)与 g(x) 满足( ) A、f(x)=g(x) 二、填空题 13、函数 y=
sin x 的导数为_________________; x

B、f(x)-g(x)为常数函数

C、f(x)=g(x)=0

D、f(x)+g(x)为常数函数

14、 曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________; 15、 函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1,f (1)) 处的切线方程是 y ? 16、函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是
1 x?2, 则 f1 ( ) ?1 ( f )? 2

?



.

17 、已知函数 f ( x) ? x3 ? 12 x ? 8在区间 [? 3, 3]上的最大值与最小值分别为 M , m ,则 M ?m ? . 3 18.已知函数 f(x)=x +ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是________. 三、解答题 19 、已知曲线 y=x2-1 在 x ? x0 点处的切线与曲线 y=1-x3 在 x ? x0 点处的切线互相平 行,求 x0 的值.

20、已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 通过点(1,1),且在(2,-1)处的切线的斜率为 1,求 抛物线的解析式.

2

21、如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形, 制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?

22、已知函数 y ? ax3 ? bx2 ,当 x=1 时,有极大值 3. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值.

3

23、求函数 y = x3 + x2 - 5x - 5 的单调区间.

24、已知 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点(0,1),且在 x=1 处的切线方程是 y=x-2。 (1) 求 y ? f ( x) 的解析式; (2)求 y ? f ( x) 的单调递增区间。

4

题号 1 答案

2

3 B

4

5

6

7

8

9

10

11 A

12

?1 ? 3/4pai12、3 13、 ? , ?? ? ?e ?

14、25

参考答案: 一、选择题(每题 3 分,共 36 分) 题 号 答 案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 C 6 D 7 D 8 D 9 C 10 C 11 D 12 B

二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 13、
x cos x ? sin x x2 5 5 14、增区间: (?? ,? ) ? (1,?? ) 减区间: ( ? ,1) 3 3

15、6

1 1 16、 , y ? x e e

三、解答题(每题 12 分,共 48 分) 17、解: f ?( x) ? 5x 4 ? 20x 3 ? 15x 2 ? 5x 2 ( x ? 3)(x ? 1) ,当 f ?( x) ? 0 得 x=0 或 x=-1 或 x=- 3 ;∵ 0 ? [ - 1 , 4] ,- 1 ? [ - 1 , 4] ,- 3 ? [ - 1 , 4] ,又 f(0)=1 , f( - 1)=0 ;右端点处 f(4)=1024+1280+320+1=2625;∴函数 y ? x 5 ? 5x 4 ? 5x 3 ? 1 在区间[-1,4]上的最大值为 2625,最小值为 0。 18、解:设小正方形的边长为 xcm,盒子容积为 y=f(x);则 y=f(x)=(8-2x)(5-2x)x=4x3 5 - 26x2+40x ( 0 ? x ? ) ;∵ f ?( x) ? 12x 2 ? 52x ? 40 ? 4(3x ? 10)(x ? 1) ;当 f ?( x) ? 0 得 2 10 10 5 5 5 x ? 或x ? 1;∵ ? [0, ],1 ? [0, ] ,又 f(1)=18,f(0)= f( )=0,∴小正方形边长为 1 3 3 2 2 2 3 ㎝时,盒子的容积最大,为 18 ㎝ 。 19、解: (1)则题意 f ?(1) ? 0 , f (1) ? 3 ;∵ f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ,∴ f ?(1) ? 3a ? 2b ? 0 , 又 f (1) ? a ? b ? 3 , 解 得 a ? ?6, b ? 9 ;( 2 ) 由 上 题 得 f ( x) ? ?6x 3 ? 9x 2 ,

f ?( x) ? ?18x 2 ? 18x ? ?18x( x ? 1) ;当 f ?( x) ? 0 得 x=0 或 x=1,当 f ?( x) ? 0 得 0<x<1 当
f ?( x) ? 0 得 x<0 或 x>1;∴函数 f ( x) ? ?6x 3 ? 9x 2 有极小值 f (0) ? 0 。

5

20 、 解 : ( 1 ) 由 题 f (0) ? 1, f ?(1) ? 1 , 得 c=1 ① ; 又 ∵ f ?( x) ? 4ax3 ? 2bx ∴
f ?(1) ? 4a ? 2b ? 1②;∵x=1 处的切线方程为 y=x-2 有 y=1-2=-1,切点坐标为(1,

- 1) , ∴ f (1) ? a ? b ? c ? ?1 ③ ; 由 ① ② ③ 得 a ?
f ( x) ?

5 9 ,b ? ? ,c ? 1 ; ∴ 2 2

5 4 9 2 x ? x ?1 。 ( 2 ) ∵ f ?( x) ? 10x 3 ? 9 x ? x(10x 2 ? 9) ; 当 f ?( x) ? 0 时 有 2 2

?

3 10 3 10 3 10 3 10 ∴ y ? f ( x) 的增区间为 (? ? x ? 0或x ? ,0) ? ( ,??) 10 10 10 10

13.已知曲线 y=x2-1 在 x=x0 点处的切线与曲线 y=1-x3 在 x=x0 点处的切线互 相平行,则 x0 的值为________. 解析 y=x2-1 的导数为 y′=2x,

y=1-x3 的导数为 y′=-3x2, 2 ∴由题可知 2x0=-3x2 0,∴x0=0,或 x0=- . 3 答案 2 0 或-3

14. 已知函数 f(x)=x3+ax 在 R 上有两个极值点, 则实数 a 的取值范围是________. 解析 答案 f′(x)=3x2+a,由题可知 f′(x)=0 有两个不等的根,∴a<0. (-∞,0)

6


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