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(新课程)高中数学 2.2.3《待定系数法》学案2 新人教B版必修1


2.2.3 待定系数法 学 案
【预习达标】 1.用待 定系数法解题时,关键步骤是什么? 2.二次函数的解析式有哪些形式? 【课前达标】 1.基本知识填空: (1)、一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可以把所求的函数写为一 般形式,其中______________________,然后再根据题设条件求出这些待定系数,这种通过 ____________求___________来确定_____________的方法,叫待定系数法。 ( 2 ) 、 正 比 例 函 数 的 一 般 形 式 为 _____________________, 一 次 函 数 的 一 般 形 式 为 ____ _______________________,二次函数的一般形式为__________________________. 2.正比例函数的图象经过(1,4)点,则此函数的解析式为__ ______________ 3.二次函数的图象的顶点坐标为 (1, 2), 且过(0 ,0)点, 则函数解析式为_____________ 参考答案: 2. y ? 4 x 3. y ? ?2( x ? 1)2 ? 2 【典 例解析】 例 1.已知 f (x) 是一次函数,且 f [(x)] ? 4 x ? 3 ,求 f (x) 。

例 2.已知二次函数的图象过点(1,4),且与 x 轴的交点为(-1,0)和(3,0),求函数 的解析式。 [

例 3.已知

a , b 为 常 数 , 若 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ? 10x ? 24, 则

5a ? b ? ______;
参考答案: 例 1.解:设 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) ,? f [ f ( x)] ? k (kx ? b) ? b
2 即 k x ? kb ? b ? 4 x ? 3

? k2 ? 4 ?k ? 2 ?k ? ?2 ?? ,解得 ? 或? ?kb ? b ? 3 ? b ? 1 ?b ? ?3

? f ( x) ? 2x ? 1或f ( x) ? ?2 x ? 3

1

评析:已知函数是一次函数,故设出一般形式,再求相应的系数 例 2. 解法一:设函数的解析式为 y ? ax2 ? bx ? c ,将三个点的坐标代入,得

? 4 ? a?b?c ? ? 0 ? a ? b ? c ,解得 a ? ?1, b ? 3, c ? 3 ?0 ? 9a ? 3b ? c ?

? f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3
解法二 : 设函数的解析式为 y ? a( x ? 1)(x ? 3) ,将(1,4)代入 a ? ?1

? f ( x) ? ?( x ? 1)(x ? 3) ? ? x 2 ? 2x ? 3
评析: 已知二次函数与 x 轴的交点 ( x1, 0), ( x2 ,0) ,可设函数解析式为 y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 例 3. ?

?a ? 1 ?a ? ?1 或? ,所以 5a ? b ? 2 ?b ? 3 ?b ? ?7

【达标测试】 一、 选择题 1、已知 2 x 2 ? x ? 3 ? ( x ? 1)(ax ? b) ,则 a, b 的值分别为 (A)2,3(B)3 ,2 (C)-2,3 (D) -3,2u ( )

2、已知二次函数 f ( x) ? ? x ? 2(m ? 1) x ? 2m ? m ,如果它的图象关于 y 轴对称,则 m
2 2

的值为 (A)1 二、填空题:

( (B)0 (C)2 (D) -1



3、直线 y ? x ? 2 与抛物线 y ? x ? 2 x 的交点坐标为_______________________.
2

4、若抛物线 y ? x ? 6 x ? c 的顶点在 x 轴上,那么 c 的值为___________ ______.
2

三、解答题: 5、已知二次函数满足 f (3x ? 1) ? 9 x ? 6 x ? 5 ,求 f (x)
2

6、设 f (x) 为定义在实数集上的偶函数,当 x ? ?1 时,图象为经过点(-2,0) ,斜率为 1 的射线,又 ? 1 ? x ? 1 时图象是顶点为(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线,求函 数的表达式。

2

参考答案: 1. A; 2. A; 3. (1,3).(?2, 0) 4. 9; 5. 令3x ? 1 ? t ,? x ?

t ?1 t ?1 2 t ?1 ,? f (t ) ? 9( ) ?6? ? 5 ? t 2 ? 4t ? 8 3 3 3

所以。 f ( x) ? x2 ? 4x ? 8 6.设 f ( x) ? x ? b( x ? ?1) ,将(-2,0)代入可求 b ? 2 ,故 f ( x) ? x ? 2 因为函数为偶函数,故当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x ? 2 当 ? 1 ? x ? 1 时,设 f ( x) ? ax2 ? 2 ,将点(-1,1)代入可求 a ? ?1

? x ? 2( x ? ?1) ? 2 所以 f ( x ) ? ?? x ? 2( ?1 ? x ? 1) ? ? x ? 2( x ? 1) ?

3


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