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9.6两个平面的垂直判定和性质


二 面 角

一、教材的地位与作用
二面角是我们日常生活中经常见到的、很普 通的一个图形。“二面角”是新编教材《数学》 第二册(下B)中9.7的内容,它是在学生学过空 间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后, 又要重点研究的一种空间的角,它是为了研究两 个平面的垂直而提出的一个概念,也是学生进一 步研究多面体和旋转体的基础。因此,它起着承 上启下的作用。通过本节课的学习也可以培养学 生的空间想象能力和逻辑思维能力,为培养学生 的创新意识和创新能力提供了一个良好的契机。

二、教学目标
(1)知识目标:使学生掌握二面角的概念,二面角 的平面角的定义、作法以及这些知识的初步应用。 (2)能力目标:通过概念教学,提高学生逻辑思维 能力、知识迁移能力,渗透等价转化的思想方法;通 过图形结构分析,掌握作图方法,培养学生的空间想 象能力和研究现实现象的能力。 (3)德育目标:通过对实际问题的分析、探究,激 发学生的学习兴趣,体现由具体到抽象的思想并让学 生明白:数学和生活是密不可分的。 (4)情感目标:在平等的教学氛围中,通过学生之 间、师生之间的交流、合作和评价,拉近学生之间、 师生之间的情感距离。

三、重点、难点及关键
重点:二面角的平面角的定义及其作法 难点:二面角的平面角的作法

关键:求作二面角的平面角

四、新课讲解 基本概念:

1、半平面:一个平面内的一条 直线,把这个平面分成两部分, 其中的每一部分都叫做半平面。
D E C

A

F

B

A a B β

2、二面角:从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
记为:二面角α-AB-β

α
α

或者二面角α-a-β 或者二面角C-AB-D
α
B

α B a A β
A a

C
B

β

a A

D
β

E
O D

C

α

F
α C

β

3、二面角的平面角: 以二面角的棱上的任 意一点为端点,在两 个面内分别作垂直于 棱的两条射线,这两 条射线所成的角叫做 二面角的平面角。
0

∠COD= 90

B A a O D

4、直二面角:平面 角是直角的二面角叫 做直二面角。

β

例1.山坡的倾斜度(坡面与水平面所成的二 面角的度数)是60 ? ,山坡上有一条直道CD, 30 ? 它和坡脚的水平线AB的夹角是 ,沿这条 山路上山,行走100米后升高多少米?

α D
A
30 ?

D β
60 ?
H B

C

B

A

C

G

解:如图所示,DH垂直于过AB的水平平面,垂 足为H,线段DH的长度就是所求的高度。 在平面ABH内,过点H作HG⊥BC,垂足是G, 连接GD。由三垂线定理GD⊥BC.
因此,∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH 的二面角的平面角,∠DGH= 60 ?

D
100m A
0

30

0

60
G

H B

DH=DGsin600 =CDsin300sin600 =100sin300sin600 ≈43.3(米) 答:沿直道前进100米, 升高约43.3米

C

例2:如图所示,DB、EC都垂直于正 ? ABC 所在 的平面,且EC=BC=2BD,求平面ADE与平面 ABC所成二面角的大小。
解:延长ED交CB于F,连AF,则平面ABC∩平面ADE=AF,
EC ? ABC ? ? ? BD ? ABC ? ? BC ? BF ? ? BC ? AB ? BF EC ? 2 BD ? CB ? AB ? AC ? ?

E

D

C A

B

∴∠CAF=900, 由 三 垂 线 定 理 AE⊥AF ∴∠EAC 为 二 面 角 EAF-C 的 平 面 角 。 在 直 角 三 角 形 ACE中,AC=EC, ∴∠EAC=450 F 因此平面ABC与平面 ADE所成的角为450.

练习
1、一个平面垂直于二 面角的棱,它和二面角 的两个面的交线所成的 角就是二面角的平面角。 为什么? 答:因为二面角的棱垂 直于这个平面,所以它 就垂直于两条交线

K Q M

2、在300二面角的一个面内有一点,它到另 一个面的距离是10cm,求它到棱的距离。
解:如图所示,过点A作AH⊥β,垂足为H, 由题意AH=10cm. 过点H作HO⊥EF,垂足为O,连OA, 则OA⊥EF,OA就是点A到棱EF的距离。 所 以 ∠ AOH 就 是二面角αEF-β的一个 平 面 角 , ∠AOH=300 , OA=20cm.

α β
H

A F E
O

五、小结
1、半平面:一个平面内的一条直线,把这个 平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半 平面。 2、二面角:从一条直线出发的两个半平 面所组成的图形 3、二面角的平面角:以二面角的棱上的 任意一点为端点,在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线,这两条射线所成的角

六、作业

P46 习题9.7

4、5


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