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高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案2-2


第2章
一、选择题

第2节

b 1. 若函数 y=ax 与 y=- 在(0, +∞)上都是减函数, 则 y=ax2+bx 在(0, +∞)上是( x A. 增函数 C. 先增后减 答案:B b 解析:∵y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数, x b ∴a<0,b<0,∴y=ax2+bx 的对称轴方程 x=- <0, 2a ∴y=ax2+bx 在(0,+∞)上为减函数. 2. 下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是( A. y=sin x 1 C. y=( )x 2 答案:A π π 解析:∵y=sin x 在[- , ]上是增函数, 2 2 ∴y=sin x 在(0,1)上是增函数. 3. 函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是( 3 A. (-∞, ] 2 3 C. (-1, ] 2 答案:D 3 B. [ ,+∞) 2 3 D. [ ,4) 2 ) B. y=-log2x 1 D. y=x- 2 ) B. 减函数 D. 先减后增

)

3 25 3 解析:函数 f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-(x- )2+ 的减区间为[ , 2 4 2 4), 3 ∵e>1,∴函数 f(x)的单调减区间为[ ,4). 2
?-x+3a, x<0, ? 4. (2010· 安庆一模)函数 f(x)=? x (a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数,则 a ? ?a , x≥0

的取值范围是( A. (0,1)

) 1 B. [ ,1) 3

1 C. (0, ] 3 答案:B

2 D. (0, ] 3

解析:据单调性定义,f(x)为减函数应满足:
? ?0<a<1, 1 ? 即 ≤a<1. 0 3 ?3a≥a , ?

5. (2010· 湖北调研)用 min{a,b,c}表示 a、b、c 三个数中的最小值,设 f(x)=min{2x,x +2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大值为( A. 7 C. 5 答案:B 解析:在同一坐标系下,画出函数 y=2x,y=x+2,y=10-x 的图象,结合它们的图象 确定出函数 y=f(x)的图象,通过观察函数 y=f(x)的图象易得出 f(x)的最大值是 6,选 B. 6. 设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x∈(0,1)时,f(x)=log1(1-x),则函
2

)

B. 6 D. 4

数 f(x)在(1,2)上(

)

A. 是增函数,且 f(x)<0 B. 是增函数,且 f(x)>0 C. 是减函数,且 f(x)<0 D. 是减函数,且 f(x)>0 答案:D 解析:∵f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,且 x∈(0,1)时,f(x)=log1(1-x)为增函
2

数且 f(x)>0,∴函数 f(x)在(2,3)上也为增函数且 f(x)>0,而直线 x=2 为函数的对称轴,则函 数 f(x)在(1,2)上是减函数且 f(x)>0,故选 D. 二、填空题 7. 函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是________. 3 答案:[0, ] 2 解析:y=-(x-3)|x|
?-x2+3x ?x>0?, ? =? 2 ? ?x -3x ?x≤0?.

3 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0, ]. 2 1 1 8. 若在区间[ ,2]上,函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=x+ 在同一点取得相同的最小值, 2 x

则 f(x)在该区间上的最大值是________. 答案:3 1 解析:对于 g(x)=x+ 在 x=1 时,g(x)的最小值为 2, x 则 f(x)在 x=1 时取最小值 2, 4q-p2 p ∴- =1, =2. 2 4 ∴p=-2,q=3. ∴f(x)=x2-2x+3, ∴f(x)在该区间上的最大值为 3. 9. (2010· 汕尾一模 ) 若函数 f(x) = ________. 答案:(-1,0] 4?1-x2? 解析:∵f′(x)= 2 ,令 f′(x)>0,得-1<x<1,∴f(x)的增区间为(-1,1). ?x +1?2 又∵f(x)在(m,2m+1)上单调递增,
? ?m≥-1, ∴? ∴-1≤m≤0. ?2m+1≤1, ?

4x 在区间 (m,2m + 1) 上是单调递增函数,则 m ∈ x +1
2

∵区间(m,2m+1)中 2m+1>m,∴m>-1. 综上,-1<m≤0. 三、解答题 x 10. (2010· 青岛调研)已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. (1)证明:任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= = x1 x2 - x1+2 x2+2

2?x1-x2? . ?x1+2??x2+2?

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解:任取 1<x1<x2,则

f(x1)-f(x2)=

a?x2-x1? x1 x2 - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述知 0<a≤1. 11. (2010· 南昌调研)设函数 f(x)=tx2+2t2x+t-1(t∈R,t>0). (1)求 f(x)的最小值 s(t); (2)若 s(t)<-2t+m 对 t∈(0,2)时恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(t∈R,t>0), ∴当 x=-t 时,f(x)取得最小值 f(-t)=-t3+t-1. 即 s(t)=-t3+t-1. (2)令 h(t)=s(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m. 由 h′(t)=-3t2+3=0,得 t=1 或 t=-1(舍去). 则有 t h′(t) h(t) ∴h(t)在(0,2)内有最大值 1-m, ∴s(t)<-2t+m 对 t∈(0,2)时恒成立等价于 h(t)<0 恒成立,即 1-m<0,∴m>1. 12. (2010· 广东一模)定义在 D 上的函数 f(x),如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M>0, 都有|f(x)|≤M 成立, 则称 f(x)是 D 上的有界函数, 其中 M 称为函数 f(x)的上界. 已知函数 f(x) 1-m· 2x = . 1+m· 2x (1)当 m=1 时,求函数 f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数 f(x)在(-∞,0)上是否为 有界函数,请说明理由; (2)若函数 f(x)在[0,1]上是以 3 为上界的有界函数,求实数 m 的取值范围. 1-2x 2 解:(1)当 m=1 时,f(x)= = -1. 1+2x 1+2x ∵x<0,∴0<2x<1, ∴f(x)∈(0,1),满足|f(x)|≤1. ∴f(x)在(-∞,0)上为有界函数. (2)若 f(x)在[0,1]上是以 3 为上界的有界函数,则有|f(x)|≤3 在[0,1]上恒成立. 1-m· 2x ∴-3≤f(x)≤3,即-3≤ ≤3, 1+m· 2x (0,1) + 增 1 0 极大值 (1,2) - 减

1-m· 2 -3≤0, ? ?1+m· 2 ∴? 1-m· 2 +3≥0. ?1+m· ? 2
x x x

x

? ? 化简得:? m· 2 +4 ≥0, ? ? 1+m· 2
x+1 x

m· 2x 2+2 ≥0, 1+m· 2x


?m<-2 或m≥-2 即? 2 1 ?m≤-2 或m>-2 .
x x x

1

x+1,

1

上面不等式组对一切 x∈[0,1]都成立,

?m<-1或m≥-4, 故? 1 ?m≤-2或m>-2,

1

1 ∴m≤-2 或 m≥- . 4


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