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景圣中学高2012级第期中考试题

景圣中学高 2012 级第期中考试题
全卷 150 分 时间 120 分钟时间: 命题范围:集合与函数 数列 命题人:莫启建 审题人:兰红全

第一卷

一 选择题 (每小题 5 分)
1(2010 湖北理数)1.若 i 为虚数单位,图中复平面 内点 Z 表示 复数 Z,则表示复数

z 的点是 1? i

A.E B.F C.G D.H 1. 【答案】 D 【解析】观察图形可知 z ? 3 ? i ,则 H(2,-1) ,故 D 正确.

z 3?i ? ? 2 ? i ,即对应点 1? i 1? i

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 1) 的反 2(2010 全国卷 2 理数) (2).函数 y ? 2
函数是 (A)

y ? e2 x?1 ? 1( x ? 0)

(B) y ? e2 x?1 ? 1( x ? 0) (D) y ? e2 x?1 ? 1( x ? R)

(C) y ? e2 x?1 ?1( x ? R) 【答案】D

【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得 ,即 ∴在反函数中 ,故选 D. ,又 ;

3

(2010 天津理数) 设集合 A= ?x || x ? a |? 1, x ? R? , B ? ?x || x ? b |? 2, x ? R?. 若 A ? B,

则实数 a,b 必满足 (A) | a ? b |? 3 (C) | a ? b |? 3 【答案】D 【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法与几何与结合之间的关系,属于中等题。 A={x|a-1<x<a+1},B={x|x<b-2 或 x>b+2} (B) | a ? b |? 3 (D) | a ? b |? 3

因为 A ? B,所以 a+1 ? b-2 或 a-1 ? b+2,即 a-b ? - 3 或 a-b ? 3,即|a-b| ? 3 【温馨提示】处理几何之间的子集、交、并运算时一般利用数轴求解。

4(2009 江西卷理)函数 y ?
A. (?4, ? 1) 答案:C 【解析】由 ? B. (?4, 1)

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为

C. (?1, 1)

D. (?1,1]

?x ?1 ? 0

? x ? ?1 ?? ? ?1 ? x ? 1.故选 C ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ??4 ? x ? 1 ?
) D.3

? x 2 +2x-3,x ? 0 5(2010 福建理数) 函数 (x)= ? 的零点个数为 ( f ?-2+ ln x,x>0
A.0 【答案】C B.1 C.2

【解析】当 x ? 0 时,令 x ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? ?3 ;
2

当 x ? 0 时,令 ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? 100 ,所以已知函数有两个零点,选 C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法,考查了分类讨论的数学思想。

6 (2009 安徽卷理) 已知 ?an ? 为等差数列, 1 + a3 + a5 =105, 2 ? a4 ? a6 =99, Sn 表示 ?an ? 以 a a
的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是 (A)21 (B)20 (C)19 (D) 18 [解析]:由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a4 ? a 6 =99 得 3a4 ? 99 即

? an ? 0 得 n ? 20 ,选 B a4 ? 33 ,∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n ,由 ? ? an ?1 ? 0

7(2009 宁夏海南卷理)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值
设 f(x)=min{, x+2,10-x} (x ? 0),则 f(x)的最大值为 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 解析:选 C

? x 2 ? 4 x, 8(2009 天津卷理)已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x ,
的取值范围是( c) A (??, ?1) ? (2, ??) B (?1, 2)

x?0 x?0
C (?2,1)

若 f (2 ? a ) ? f (a), 则实数 a
2

D (??, ?2) ? (1, ??)

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
2 解析:由题知 f ( x ) 在 R 上是增函数,由题得 2 ? a ? a ,解得 ? 2 ? a ? 1 ,故选择 C。

9

设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则
a b

1 1 ? 的最小值为 a b

A

8

B 4

C 1

D

1 4

【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了 变通能力。
a b 【解析】因为 3 ? 3 ? 3 ,所以 a ? b ? 1 ,

b a 1 1 1 1 1 b a b a 当且仅当 ? 即 a ? b ? 时 ? ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4, a b 2 a b a b a b a b
“=”成立,故选择 C

10(2009 辽宁卷理)若 x1 满足 2x+ 2 x =5, x2 满足 2x+2 log2 (x-1)=5, x1 + x2 =
(A)

5 2

(B)3
1

(C)

7 2

(D)4 ① ②

【解析】由题意 2 x1 ? 2 x ? 5
2 x2 ? 2log 2 ( x2 ? 1) ? 5
1

所以 2x ? 5 ? 2 x1 , x1 ? log 2 (5 ? 2 x1 ) 即 2 x1 ? 2log 2 (5 ? 2 x1 ) 令 2x1=7-2t,代入上式得 7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1) ∴5-2t=2log2(t-1)与②式比较得 t=x2 于是 2x1=7-2x2 【答案】C

第二卷 二 填空题 (每小题 5 分) 11 ( 2009 全 国 卷 Ⅰ 理 ) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 S9 ? 72 , 则

a2 ? a4 ? a9 =



解: ??an ? 是等差数列,由 S9 ? 72 ,得? S9 ? 9a5 , a5 ? 8

? a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24 .
12 已知集合 A ? {x || x ? a |? 1}, B ? {x | x2 ? 5x ? 4 ? 0} ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取 值范围是 。(2,3)

12 若 f(x)为偶函数,且在 ? ??,0? 上单调递减,则 f(3+2x- x )的单调增区
2

间为

。 [?1,1], ?3, ???

13(2009 辽宁卷理)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ?
1 【解析】∵Sn=na1+ n(n-1)d 2 ∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4
w.w.w. k.s.5.u.c.o .m

【答案】

1 3

14

(2010 江苏卷)

? 2 已知函数 f ( x) ? ? x ? 1, x ? 0 ,则满足不等式 f (1 ? x2 ) ? f (2 x) 的 x x?0 ?1,

的 范围是__▲___。
2 ? [解析] 考查分段函数的单调性。 ?1 ? x ? 2 x ? x ? (?1, 2 ? 1) ? 2

?1 ? x ? 0 ?

?1 ?x, x ? 0 ? 15 ( 2009 北 京 理 ) 若 函 数 f ( x) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? 3 ?
____________. 【 答案】 ? ?3,1?

则 不 等 式 | f ( x ) |?

1 的解集为 3

【解析】 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、 基本运算的考 查.

?x ? 0 1 ? (1)由 | f ( x) |? ? ? 1 1 ? ?3 ? x ? 0 . 3 ? ? ?x 3
?x ? 0 ?x ? 0 1 ? ? x x (2)由 | f ( x) |? ? ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1 . 3 ?? ? ? ? ? 3 ?? 3 ? 3 ?3? ? ? ? 1 ∴不等式 | f ( x ) |? 的解集为 ?x | ?3 ? x ? 1 ,∴应填 ? ?3,1? . ? 3 解答题(16——18 每小题 13 分,19——21 每小题 12 分)
已知 f(x)是一次函数,f(1)=-1, f-1(1)=2



16(本小题 13 分)

⑴求 f-1(2008) ⑵求使不等式 x2 +f(x)+a≥0 恒成立的实数 a 的取值范围 解: 设 f(x)=ax+b ∵ f(1)=-1, f-1(1)=2

?a ? b ? ?1 ∴? ? 2a ? b ? 1
∴f(x)=2x-3 1 3 ∴f-1(x)= x ? 2 2 ∴ 立 (1)、 (2) 、

?a?2 ∴? ?b ? ?3

3 2011 = 2 2 2 不等式 x +f(x)+a≥0 恒成立,即 x2++2x+a-3≥0 恒成

f (2008)=1004+

-1

∴ ? =4-4(a-3)≤0 ∴a≥4 17(本小题 12 分) 定义在 R 上的函数 y=f(x) ,f(x)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对 任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a) ·f(b) ①求 f(0) ②求证:f(x)是 R 上的增函数; ③若 f(x)f(2x - x2 )>1,求 x 的取值范围。 解: ① ∵对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a) ·f(b) 令 a=b=0,有 f(0)=f(0) ·f(0) ,且 x∈R,f(x)≠0 ∴f(0)=1 ② ∵对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a) ·f(b) 令 b=-a,有 f(0)= f(a) ·f(-a) ∴f(-a)=
1 且当 x>0 时,f(x)>1 f (a)

∴x∈R,有 f(x)>0 任意 x1<x2 ,x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1
1 >1, f ( x1 )

又∵f(x2-x1)=f(x2) ·f(-x1)= f(x2) · 且 x∈R,有 f(x)>0 ∴f(x2)>f(x1) ,即 f(x)是 R 上的增函数

③ ∵f(x)是 R 上的增函数,且对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b) =f(a)(b) · ∴ f(x)f(2x-x2)>1,有 f(x+(2x-x2) )>f(0) 2 2 ∴ x+(2x-x )>0,即 x -3x<0 ∴ 0<x<3,即 x 的取值范围为(0,3)

18 (本小题满分 12 分)(2008 年宁夏)
(

已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (1) 求 {an } 的通项 an ; (2) 求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值。 解(Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) S n ? na1 ?

? a1 ? d ? 1 ,解出 a1 ? 3 , d ? ?2 . ? a1 ? 4d ? ?5

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2

所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 .

19(2009 全国卷Ⅰ理) (本小题满分 12 分) ............. (注意:在试题卷上作答无效)
在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn 分析: (I)由已知有

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 * (n? N ) n ?1 2

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ? (II)由(I)知 an ? 2n ?

n , 2n ?1

? Sn = ? (2k ?
k ?1 n

n

n n k k ) ? ? (2k ) ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1 2 n



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ?
k ?1

k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k ?1 2

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2

评析:09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求

前 n 项和, 一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。 具有让考生和 一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人 在有意识降低难度和求变的良苦用心。

20(2009 全国卷Ⅱ理) (本小题满分 12 分)
设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 解: I) a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 , a1 ? 2 ? a1 ? 2 ( 由 有 a 4 , 由 Sn?1 ? 4an ? 2 ,. ..①

a2 ? 3 1 ? 2? 5? b1 a? 2a1 3 a , ? 2 ?

则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 ...② ..

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又?bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

a 1 3 ? 数列 { n } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 4 2 a 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 n 2 2 4 4 4
评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn?1的关系即可 . 第(II)问中由(I)易得 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,这个递推式明显是一个构造新数列的模 型: an?1 ? pan ? qn ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除以 q
n ?1



总体来说,09 年高考理科数学全国 I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新 数列(全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法) ,一改往年的将数列结合不等式 放缩法问题作为押轴题的命题模式。 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本方法 基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

21(本小题共 12 分)
已知函数 f ( x) ?

2x ? b ,求导函数 f ?( x ) ,并确定 f ( x ) 的单调区间. ( x ? 1)2

解: f ?( x) ?

2( x ? 1)2 ? (2 x ? b)?2( x ? 1) ( x ? 1)4

?

?2 x ? 2b ? 2 ( x ? 1)3 2[ x ? (b ? 1)] . ( x ? 1)3

??

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? b ? 1 . 当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??,b ? 1)

b ?1
0

(b ?11) ,

(1 ? ?) ,

?

?

?

当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??, 1)

(1,b ?1)

b ?1
0

(b ? 1, ?) ?

?

?

?

, 所以,当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 在 (??,b ? 1) 上单调递减,在 (b ? 11) 上单调递增,
, 在 (1 ? ?) 上单调递减. 1) , , 当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 在 (??, 上单调递减,在 (1 b ? 1) 上单调递增,在 (b ? 1 ? ?) 上
单调递减. 当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ( x ) ? 上单调递减.

2 1) , ,所以函数 f ( x ) 在 (??, 上单调递减,在 (1 ? ?) x ?1


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