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汕头市2013届高三名师调研(数学理)


汕头市 2010 届高三名师调研
(数学理)
参考公式: 三角函数的和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式

其中 c?、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A={x|a-1≤x≤a+2},B={x| 3<x<5},则能使 A ? B 成立的实数 a 的取值范围 是 ( ) A.{a|3<a≤4} B.{a|3≤a≤4} C.{a|3<a<4} D. ?

2 2.函数 y= 的定义域是(- ? ,1) ? [2,5),则其值域是 ( ) x ?1 1 A.(- ? ,0) ? ( ,2] B.(- ? ,2] 2 1 C.(- ? , ) ? [2,+ ? ) D.(0,+ ? ) 2 2? 3.极坐标系中,点 A(1, )到圆 ? =2cos ? 上动点的距离的最大值为 3
A. 3 -1 B. 3 +1 C.2 D.1

(

)

4.夹在两个平行平面之间的球、圆柱、圆锥在这两个平面上的射影都是等圆,则它们的体 积之比为( ) A.2:3:1 B.3:2:1 C.3:6:2 D.6:8:3 5.以下命题正确的是 ( ) A.α ,β 都是第一象限角,若 cosα >cos β ,则 sinα >sinβ B.α , β 都是第二象限角,若 sinα >sin β ,则 tgα >tgβ C.α ,β 都是第三象限角,若 cosα >cosβ ,则 sinα >sinβ D.α ,β 都是第四象限角,若 sinα >sinβ ,则 tgα >tgβ

?,? 6. 已知直线 l,m,平面 ? 和 ? ,且 l ? m ?,给出下列三个命题
m m ①若 l? ,则 ? / / ? ;②若 ? / / ? ,则 l? ;③若 ?? ? ,则 l / /m。其中正确命题的
个数是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 )

7. 如图,在正方体 A D 1 1 1 1 B ? BD C AC 中,二面角 D A ? 的余弦值是( 1? C D
1

D1
A.

C1 B1

6 3 3 3

B. ?

6 3 3 3

A1

C. ?

D.

D A B

C

8. 定义在 R 上的函数 y?f( ?)的图像如图所示,它在定义域上是减函数,给出如下 x 1 命题: ① f (0 ?1;② f (? ) ?1 ;③若 x?0 ,则 f (x) ?0;④若 x?0 ,则 f (x)?0。其 ) 1 中正确的命题是( A. ②③ C. ②④ ) B. ①④ D. ①③
y

1 1 x -1 0

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 9 .某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项 运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 10.若 x ? 0 ,则 x ? 11.在 (1 ?
2

2 的最小值为 x
(用数字作答).

x )4 的展开式中, x 的系数为


12. 复数 i ?1+i ? 的实部是

13. 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点, 若在该圆周上随机取 一点 B,则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为 。 14. 若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线, 则实数 a 的
2

取值范围是 15. 五位同学围成一圈依序循环报数,规定: ①第一位同学首次报出的数为 1.第二位同学首次报出的数也为 1, 之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和; ②若报出的是为 3 的倍数,则报该数的同学需拍手一次, 当第 30 个数被报出时,五位同学拍手的总次数为 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (16)如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已 知 AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深 BE ? 200m , 于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值。

(17)如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 ? (Ⅰ)证明:AB⊥PC (Ⅱ)若 PC ? 4 ,且平面 PAC ⊥平面 PBC , 求三棱锥 P ? ABC 体积。

2

18. (本小题满分 12 分) 已知长方体 AC1 中,棱 AB=BC=3,棱 BB1=4,连结 B1C,过 B 点作 B1C 的垂线交 CC1 于 E,交 B1C 于 F. (1)求证 A1C⊥平面 EBD; (2)求点 A 到平面 A1B1C 的距离; (3)求平面 A1B1C 与平面 BDE 所成角的度数; (4)求 ED 与平面 A1B1C1 所成角的大小;

19. (本小题满分 12 分) 某公司欲建连成片的网球场数座, 128 万元购买土地 10000 平方米, 用 该球场每座的建 设面积为 1000 平方米,球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关,当该 球场建 x 个时,每平方米的平均建设费用用 f(x)表示,且 f(n)=f(m)(1+

n?m )(其中 n> 20

m,n∈N),又知建五座球场时,每平方米的平均建设费用为 400 元,为了使该球场每平方米
的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和),公司应建几个球场?

20. (本小题满分 12 分) 2 已知定点 Q(6,0)和抛物线 y =8x 上的两个动点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,其中 A、B 的横坐标 x1、x2 满足 x1≠x2,且 x1+x2=4. (I)证明线段 AB 的垂直平分线过定点 Q; (Ⅱ)当 A、B 两点的距离为何值时,△AQB 的面积最大?

21. (本小题满分 14 分) 2 设 f(x)=ax +bx+c(a>b>c),f(1)=0,g(x)=ax+b. (1)求证:函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有两个交点; (2)设 f(x)与 g(x)的图象交点 A、B 在 x 轴上的射影为 A1、B1,求|A1B1|的取值范围; (3)求证:当 x≤- 3 时,恒有 f(x)>g(x).

3

参考答案
一、选择题 1——8 B A B 二、填空题 9、 12 13 、 10、 A D B D B

2 2
14 、

11、6

12、 -1 或是 .

2 3

? ??,0?

?a | a ? 0?

15、 7 次 三、解答题 (16) 解: 作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ?1202 ? 130 ,
EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 . ... 分 ...6
在 ?DEF 中,由余弦定理,

cos ?DEF ?

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 ? ? . 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

... ...12 分

(17)解: (Ⅰ)因为 ?PAB 是等边三角形, ?PAC ? ?PBC ? 90? , 所以 Rt ?PBC ? Rt ?PAC ,可得 AC ? BC 。 如图,取 AB 中点 D ,连结 PD , CD , 则 PD ? AB , CD ? AB , 所以 AB ? 平面 PDC , 所以 AB ? PC 。 ... 分 ...6 (Ⅱ)作 BE ? PC ,垂足为 E ,连结 AE . 因为 Rt ?PBC ? Rt ?PAC , 所以 AE ? PC , AE ? BE . 由已知,平面 PAC ? 平面 PBC ,故 ?AEB ? 90? .

... 分 ...8

因为 Rt ?AEB ? Rt ?PEB ,所以 ?AEB, ?PEB, ?CEB 都是等腰直角三角形。 由已知 PC ? 4 ,得 AE ? BE ? 2 , ?AEB 的面积 S ? 2 . 因为 PC ? 平面 AEB , 所以三角锥 P ? ABC 的体积

1 8 V ? ? S ? PC ? 3 3

....12 分 ...

18. 本小题主要考查空间线面关系和锥体体积的计算,考查逻辑思维能力、空间想象能力 和运算能力。 解:(1)连结 AC,则 AC ? BD ,又 AC 是 A1C 在平面 ABCD 内的射影

4

∴ A1C ? BD ; 又∵ A1 B1 ? 面B1C1CB ,且 A1C 在平面 B1C1CB 内的射影 B1C ? BE , ∴ A1C ? BE ,又∵ BD ? BE ? B ∴ A1C ? 面EBD ……………… 3 分 (2) 容易证明 BF⊥平面 A1B1C, ∴所求距离即为 BF=12/5 ……………… 6 分 (3) 同上∵BF⊥平面 A1B1C, ,而 BF 在平面 BDE 上, ∴平面 A1B1C⊥平面 BDE……………… 8 分 (4)连结 DF,A1D,∵ EF ? B1C , EF ? A1C ,∴ EF ? 面A1 B1C ,∴∠EDF 即为 ED 与平面 A1B1C 所成的角 6 分 由条件 AB ? BC ? 3 ,BB1 ? 4 , 可知 B1C ? 5 ,BF ?

12 , 5

B1 F ?

16 9 27 9 FC FC , CF ? , EF ? · BF ? , EC ? · BB1 ? 20 5 5 4 B1 F B1 F

∴ ED ?

EC 2 ? CD 2 ?

15 4

∴ sin EDF ?

EF 9 ? ED 25

∴ED 与平面 A1B1C 所成角为 arcsin

9 ………………12 分 25

19.本小题主要考查求运用所学知识解决实际问题的能力。

128?104 1280 .解:设建成 x 个球场,则每平方米的购地费用为 = ……………2 分 x 1000x
x?5 x?5 )=400(1+ ) ……………… 6 分 20 20 64 1280 从而每平方米的综合费用为 y=f(x)+ =20(x+ )+300≥20.2 64 +300=620(元) , x x
由题意知 f(5)=400, f(x)=f(5)(1+ 当且仅当 x=8 时等号成立 ……………… 10 分 故当建成 8 座球场时,每平方米的综合费用最省. ……………… 12 分 20.本小题主要考查直线与圆锥曲线的有关知识,以及综合运用数学知识解决问题的能力。 解: (I)设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ), 则 x0 ? x1 ? x2 ? 2, y 0 ? y1 ? y 2 .
2 2

k AB ?

y2 ? y1 y ?y 8 4 ? 22 12 ? ? . y2 y1 x2 ? x1 y1 ? y2 y0 ? 8 8

? 线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? y 0 ? ? y 0 ( x ? 2). ①…………………………3 分
4

5

?x ? 6 为方程①的一个解, ?? ?y ? 0
即以(6,0)为坐标的点在线段 AB 的垂直平分线上, ∴线段 AB 的垂直平分线过定点 Q(6,0) .…………………………………………6 分 (Ⅱ)由(I)知,直线 AB 的方程为 y ? y0 ? 4 ( x ? 2).
y0

4 ? ? y ? y0 ? y ( x ? 2) 2 0 由? 消去 x,得 y 2 ? 2 y0 y ? 2 y0 ? 16 ? 0. ? 2 ? y ? 8x ? ?



依题意 y1、y2 为方程②的两个实数根,且 y1≠y2,
2 ∴ ? ? (?2 y0 ) 2 ? 4(2 y0 ? 16) ? 0. 解得-4<y0<4.……………………………………8 分

2 2 2 又 | AB |? [1 ? ( y0 ) 2 ][(2 y0 ) 2 ? 4(2 y0 ? 16)] ? 1 (16 ? y0 )(16 ? y0 ) ,

4

2

2 Q(6,0)到直线 AB 的距离 d ?| QM |? (6 ? 2) 2 ? (0 ? y 0 ) 2 ? 16 ? y 0 ,

? S ?AQB ?

1 1 1 2 2 2 | AB | ?d ? ? (16 ? y0 )(16 ? y0 ) ? 16 ? y0 …………………………………10 分 2 2 2

?

2 2 2 1 1 1 1 16 ? y0 ? 16 ? y0 ? 32 ? 2 y0 3 64 2 2 2 (16 ? y0 )(16 ? y0 )(32 ? 2 y0 ) ? ( ) ? 6. 4 2 4 2 3 9

2 2 当且仅当 16 ? y 0 ? 32 ? 2 y 0 ,即y 0 ? ? 4 3 ? (?4,4) 时取等号, 3
4 此时 | AB |? 1 16 2 ? y 0 ? 16 2 .

2

3

故当 A、B 两点的距离为 16 2 时,△AQB 的面积最大.…………………………12 分
3

21. 本小题主要考查函数的性质等有关知识,以及综合运用数学知识解决问题的能力。 2 (1)证明:由 y= f(x )= ax +bx+c y= g(x) = ax+b 2 得 ax +(b-a)x+(c-b)=0 (*) 2 Δ =(b-a) -4a (c-b) 2 ∵f(x)=ax +bx+c, f(1)=0 ∴f(1)=a+b+c=0 ………………3 分 又 a>b>c ∴3a>a+b+c>3c 即 a>0,c<0 ∴b-a<0,c-b<0,a>0 2 ∴Δ =(b-a) -4a(c-b)>0 故函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有两个交点;………………5 分 (2)解:设 A、B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) 、 , 则 x1、x2 是方程(*)的两根 故 x1+x2=-

b?a , a
6

x1x2=

c?b ,所以|A1B1|=|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 a

= (

(b ? a) 2 ? 4a(c ? b) b?a 2 c?b ) ?4 = a a a

又 a+b+c=0,故 b=-(a+c) 2 2 2 因而(b-a) -4a(c-b)=(-2a-c) -4a(a+2c)=c -4ac 故|A1B1|=

c c c 2 ? 4ac = ( ) 2 ? 4( ) a a a

c = ( ? 2) 2 ? 4 ……………… 8 分 a
∵a>b>c,a+b+c=0 ∴a>-(a+c)>c ∴-2<

1 c <- 2 a 3 ,2 3 )……………… 10 分. 2

∴|A1B1|的取值范围是(

(3)证明:不妨设 x1>x2,则由(2)知:

3 <x1-x2<2 3 ① 2 b?a b x1+x2=- =1- a a c b 由 a>b>c 得: < <1, a a b c 故 0<1- <1- ……………… 12 分 a a 1 c 又-2< <- , 2 a 3 c 故 <1- <3, 2 a 3 b 因而 0<1- ≤ 2 a 3 即 0<x1-x2≤ ② 2
由①、②得:- 3 <x2≤0, 即方程(*) ,也就是方程 f(x)-g(x)=0 的较小根的范围是(- 3 ,0]. 又 a>0,故当 x≤- 3 时,

f(x)-g(x)>0 恒成立,
即当 x≤- 3 时,恒有 f(x)>g(x) ……………… 14 分.
7


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