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10级《中学数学新课标及教材剖析》复习题目及答案


10 级《中学数学新课标及教材剖析》复习题目 1.试述基础教育课程改革的具体目标是什么。 答:它的具体改革目标是:一、改革过分注重课程传承知识的倾向,强调课程要促进每个学 生身心发展,培养终身学习的愿望和能力。1、新课程不是不学书本知识,而是改变过去过 于注重书本知识的状况。2、新课程是通过自己的实践体验,领悟而获得的知识。3、在解决 问题的过程与方法中获取知识与技能。二、改革过分强调学科独立性,课程门类过多,缺乏 整合的倾向,加强课程结构的综合性,弹性与多样性。1、突出了学生能动学习的重要性和 学习主人的根本地位。2、突出课程三维目标整合发展的功能。3、强调课程多元化的价值取 向。4、强调课程是动态发展的整体。三、改革强调学科体系严密性,过分注重经典内容的 倾向,加强课程内容与现代社会科技发展及学生生活之间的联系。1、新的分科课程以学生 发展为本。2、课程改革继承了传统分科课程有价值的知识与技能的同时,增加了学生生活 和社会生活。3、课程改革强调教育为本学科教学服务。四、改革教材忽视地域与文化差异, 脱离社会发展,科技发展与学生身心发展规律的倾向,深化教材多样化的改革,提高教材的 科学性和适应性。五、改革教学过程中过分注重接受,记忆,模仿学习的倾向,倡导学生主 动参与,交流,合作,探究等多种学习活动,改进学习方式,促进学生真正成为学习的主人。 1、以项目探究为线索,以小组活动为基本形式。2、以个体活动与整体活动的转换统帅合作 探究的多元互动。3、注重开放的探究过程,强调个性探究的体验建构。六、改革评价考试 过分偏重知识记忆,强调选拔与甄别功能的倾向,建立评价指标多元,评价方式多样,既关 注结果,更加重视过程的评价体系。七、改革过于集中的课程管理政策,建立国家、地方、 学校三级课程管理政策,提高课程适应性。 2.试述高中数学新课程十大基本理念。 答:1.构建共同基础,提供发展平台 高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础

性,它包括两方面的含义:第一,在义务教育阶段之后,为学生适应现代生活和未来发展提 供更高水平的数学基础,使他们获得更高的数学素养;第二,为学生进一步学习提供必要的 数学准备。 2 提供多样课程,适应个性选择 生在数学上得到不同的发展 3 倡导积极主动、勇于探索的学习方式 学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、 高中数学课程应具有多样性与选择性,使不同的学

模仿和练习,高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学 的方式

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注重提高学生的数学思维能力

高中数学课程应注意提高学生的数学思维能

力,这是数学教育的基本目标之一 5.发展学生的数学应用意识 20 世纪下半叶以来,数学应用的巨大发展是数学发

展的显著特征之一。当今知识经济时代,数学正在从幕后走向台前,数学和计算机技术的结 合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值,同时,也为数学发展开拓了广阔的前景 6. 与时俱进地认识"双基" 我国的数学教学具有重视基础知识教学、 基本技能训练 和能力培养的传统,新世纪的高中数学课程应发扬这种传统。与此同时,随着时代的发展, 特别是数学的广泛应用、 计算机技术和现代信息技术的发展, 数学课程设置和实施应重新审 视基础知识、基本技能和能力的内涵,形成符合时代要求的新的"双基"。 7.强调本质,注意适度形式化 形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中,

学习形式化的表达是一项基本要求, 但是不能只限于形式化的表达, 要强调对数学本质的认 识,否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里 8.体现数学的文化价值 数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映

数学的历史、应用和发展趋势,数学对推动社会发展的作用,数学的社会需求,社会发展对 数学发展的推动作用,数学科学的思想体系,数学的美学价值,数学家的创新精神 9. 注重信息技术与数学课程的整合 现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内

容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡实现信息技术与课程 内容的有机整合(如,把算法融入到数学课程的各个相关部分) ,整合的基本原则是有利于 学生认识数学的本质 10.建立合理、科学的评价体系 评价体制等方面 3.高中数学课程要求教师如何培养学生的应用意识? 答:1.导入生活化,创设合理情境导入新课 2.教学过程生活化,暴露知识的发生、发展过程,让学生体验数学的思维历 3.例题生活化,培养学生的数学应用意识 4.练习生活化,加强应用题教学,增强学生的数学应用能力二、课外活动是培养学生数学 应用意识的必要补充三、树立学生的信心有利于应用意识的培养 现代社会对人的发展的要求引起评价体系的深刻

变化,高中数学课程应建立合理、科学的评价体系,包括评价理念、评价内容、评价形式和

4.高中数学课程要求教师如何培养学生的应用意识?

1 教学设计中渗透数学应用的意识 数学应用,并不仅仅是在例题、习题和考试题目中增加几道应用题,或是在每本教材中增 加两节,而应该在整个教学设计中根据实际的教学内容适时适量地贯穿应用的意识。 2 在日常的教学中渗透重要数学思想和解题工具 (1)方程与不等式——解决数学问题的重要途径 (2) 导数——解决数学问题的有效工具 3 利用数学知识解决实际问题 (1)应用数学结论 (2)应用数学方法 4 开展数学知识应用竞赛 定期开展数学知识应用竞赛活动,这是培养学生数学应用意识的好形式.竞赛的内容可以制 作教具、模型、实地测量、讲解实物、计算解决实际问题等等

5.以实际的教学案例分析说明高中数学新课程的教学观。 答:1.寻求个人理解的知识建构。课程教学必须建构知识与人之间的一种整体的意义关联, 使之对个人的成长和发展产生意义。新课程首先确立了新的知识观,积极倡导学生“主动参 与、乐于探究、勤于思考” ,以培养学生“获取新知识”“分析和解决问题”能力,充分表 、 明新课程不再视知识为确定的、 独立于认识者的一个目标, 而是视其为一种探索的行动或创 造的过程。因此,教师的重要职责应当是创设宽松的学习环境,以有利于学生主动建构对数 学的理解。具体的做法可以是:通过选取合适的学习素材,设计有效的数学活动过程去组织 数学教学,向学生提供充分从事数学活动的机会,引导他们在自主探究、合作交流的过程中 理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法、获得广泛的数学活动经验;在学生需 要的时候,提供必要的帮助,以平等合作的身份成为学生学习数学的合作者。课例《指数函 数的定义和性质》可设计如下: ①教师呈现问题情境。在本节的问题 2 中时间 t 和碳 14 含量 P 的对应关系 P=(1/2) 和问题 1 中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1.073x 能否构 成函数?这两个函数有什么共同特征? ②师生讨论。教师组织学生思考、分组讨论,然后 归纳概括共同特征。 ③给出指数函数定义。 ④继续创设问题情境。能否类比前面讨论函数 性质时的思路,提出研究指数函数的方法吗? ⑤学生积极回忆,独立思考,提出研究指数 函数性质的基本思路。教师适时介入,给予指导。 ⑥按照基本思路,学生独立画图,观察 图像总结性质,并相互交流。教师课堂巡视,个别辅导。 2.关注学生作为“整体的人”的发展。人类个体的存在是一个整体性的存在。个体存在的完

整性不是多种学科知识杂烩的结果,亦不是条分缕析的理性思维的还原。 “整体的人”的发 展意味着智力与人格的协调发展。 新课程努力改革既有课程过于注重知识传授的倾向, 把统 整学生的知识学习与精神建构作为具体改革目标之一, 力图通过制定国家课程标准的形式代 替一直沿用的教学大纲。把“过程与方法”作为与“知识与技能”“情感态度与价值观”同 、 等重要的目标维度,承认学习过程的价值,注重在过程中把知识融入个体的整体经验,转化 为“精神的力量”和“生活的智慧” 。如《函数的概念》教学目标: ①通过丰富实例的引入, 使学生建立起函数概念的背景,体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要模型。 ②能用 集合与对应的语言来刻画函数,了解构成函数的三要素。 ③通过从实际问题中抽象函数概 念的活动,发展数学应用意识,感受数学价值,培养学生抽象概括能力。 3.回归学生的生活世界。 教育是发生在师生之间的真实生活世界中的社会活动, 课程教学应 该在学生的生活世界中关注教育意义的建构, 在现实生活中关注师生之间的对话与理解, 追 寻富有意义的、充满人性的教育。新课程强调要“加强课程内容与学生生活以及现代社会和 科技发展的联系,关注学生的学习兴趣和经验” ,认为课程不再是单一的、理论化的、体系 化的书本知识, 而是向学生呈现人类群体的生活经验, 并把它们纳入到学生的生活世界加以 组织,赋予课程以生活意义和生命价值,致力于拓展学生视野,提高学生生活质量、生活品 味、生活格调。例如新课程的一个亮点:教材中开辟了“观察和猜想,阅读与思考,探究与 发现,信息技术应用”等拓展性栏目,其内容的选择和组织就是围绕学生的生活世界加以展 开的。另外,新课程还注重学科知识体系的重建,凸现课程综合化的趋势,努力软化学科界 线,展开跨学科的对话,强调综合性,加强选择性并确定平衡性。因此新课程从结构上也倡 导了一种回归生活世界的教育, 所体现的不是分科的学科知识, 而是综合的跨学科的知识和 学问。注重社会生活,关照学生的经验和个体差异性,保证每位学生全面、均衡、和谐的发 展。新课程秉持全新的课程改革理念,对广大教师和教育工作者提出了更高更新的要求。教 师自身的理论素养和实践能力是决定课改成败的关键。因此,作为一线教师,必须迅速走进 新课程,理解新课程,确立一种崭新的教育观念,改进原来习以为常的教学方法,教学行为 和教学手段,重新认识和确立自己的角色,改变课堂专业生活方式,提升新课程意识,提高 教师专业水平。

6.简述四川省高中数学新课程教学的常见策略。 答: 目前我省不少区域或学校在进行新课程理念实验,这些研究在国内都比较前沿而且 具有较强的指导性和实用性,这里简要介绍四种具有四川特色的教学模式. (1)数学阅读任务教学 (2)三阶式导学 (3)三段式教学法 (4)DJP 教学模式 (5)自主学习与数学研究性学习实践活动 ? (1)数学阅读任务教学 ? 实验区域:成都、绵阳、泸州、达州等. ? 理论支撑:波利亚《怎样解题》 ,建构主义,信息加工理论,认知心理学 ? 教学策略:构建数学阅读任务教学框架体系,按照认知水平将数学阅读任务分为不 同的水平层次,并落实在教与学的过程中 ? (2)三阶式导学 ? 实验区域:成都高新实验中学 ? ?

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理论支撑:加涅的学习理论,认知心理学. 所谓“三阶”是指学生学习过程中认知发展的三个阶段: ①体验与感悟——课前自主学习; ②生成与内化——课堂互动参与; ③反馈与强化——课后及时训练. 《三阶式导学案》倡导先学后教、及时训练、循 环归纳、螺旋上升。 做到点点清、天天清、段段清。 (3)三段式教学法 实验区域:棠湖中学 理论支撑:以激发学习内动力为前提,以强化组织教学为保证,以优化教学程序为 重点, 以激活课堂互动为关键, 以落实学习环节为抓手, 以迁移知识能力为目的。 其 教学理念为:效益在每一个课时,希望在每一个学生,成功在每一个环节。其教学 策略为:从学困生抓起。 学生的学习过程分为课前、课中、课后三段 (4)DJP 教学模式 实验区域:成都市龙泉区 理论支撑: (自主实验研究) DJP 教学是指学生利用学案的引导和帮助, 在自主学习、 探究学习内容,建构知识意义的基础上,通过与同伴的交流、讲解和师生的评析过 程,获得对知识的深入理解、数学思想方法的体验与感悟数学活动经验的积累,最 终达到学会学习、学会交流、学会思考、学会评价的教与学活动。DJP 教学的基本 理念是:先学后教,以教促学;先思后启,以启促思;先讲后评,以评促化。DJP 教学的基本模式有以下五个环节:示案导学-交流讨论-精讲评析-练习巩固-反 思拓展。 成都市实验外国语学校高 2011 级(4)班数学研究性学习实践活动 班级简况:高 2011 级(4)班是成都市实验外国语学校由两个直升班选择文科的学 生构成,现有学生人数 50 人,其中男生 6 人,女生 44 人。 教师实践感言: 罗素说:“当学生超越老师的时候,就是学生毕业的时候”。一年的研究性教学实 践后,学生由畏惧数学、被动学习数学变化为自觉走进数学、研究数学、欣赏数学、 享受数学,老师不仅传道、授业、解惑,还要当好学生的“学生”、评价学生、欣 赏学生。 ,

7.请你谈谈新课程中教师的教学行为将发生哪些变化? 答:新课程要求教师提高素质、更新观念、转变角色,必然也要求教师的教学行为产生 相应的变化。 一、在对待师生关系上,新课程强调尊重、赞赏 “为了每一位学生的发展”是新课程的核心理念。为了实现这一理念,教师必须尊重每 一位学生做人的尊严和价值, 尤其要尊重以下六种学生:①尊重智力发育迟缓的学生;②尊重 学业成绩不良的学生;③尊重被孤立和拒绝的学生;④尊重有过错的学生;⑤尊重有严重缺点 和缺陷的学生;⑥尊重和自己意见不一致的学生。 尊重学生同时意味着不伤害学生的自尊心:①不体罚学生;②不辱骂学生;③不大声训斥 学生;④不冷落学生;⑤不羞辱、嘲笑学生;⑥不随意当众批评学生。

教师不仅要尊重每一位学生,还要学会赞赏每一位学生:①赞赏每一位学生的独特性、 兴趣、 爱好、 专长;②赞赏每一位学生所取得的哪怕是极其微小的成绩;③赞赏每一位学生所 付出的努力和所表现出来的善意;④赞赏每一位学生对教科书的质疑和对自己的超越。 二、在对待教学关系上,新课程强调帮助、引导 教怎样促进学呢?教的职责在于帮助:①帮助学生检视和反思自我,明了自己想要学习什 么和获得什么, 确立能够达成的目标;②帮助学生寻找、 搜集和利用学习资源;③帮助学生设 计恰当的学习活动和形成有效的学习方式;④帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会 价值;⑤帮助学生营造和维持学习过程中积极的心理氛围;⑥帮助学生对学习过程和结果进 行评价,并促进评价的内在化;⑦帮助学生发现自己的潜能和性向。教的本质在于引导,引 导的特点是含而不露,指而不明,开而不达,引而不发;引导的内容不仅包括方法和思维, 同时也包括价值和做人。引导可以表现为一种启迪:当学生迷路的时候,教师不是轻易告诉 方向, 而是引导他怎样去辨明方向;引导可以表现为一种激励:当学生登山畏惧了的时候, 教 师不是拖着他走,而是唤起他内在的精神动力,鼓励他不断向上攀登。 三、在对待自我上,新课程强调反思 反思是教师以自己的职业活动为思考对象,对自己在职业中所做出的行为以及由此所产 生的结果进行审视和分析的过程。教学反思被认为是“教师专业发展和自我成长的核心因 素”。新课程非常强调教师的教学反思,按教学的进程,教学反思分为教学前、教学中、教 学后三个阶段。在教学前进行反思,这种反思能使教学成为一种自觉的实践;在教学中进行 反思,即及时、自动地在行动过程中反思,这种反思能使教学高质高效地进行;教学后的反 思———有批判地在行动结束后进行反思, 这种反思能使教学经验理论化。 教学反思会促使 教师形成自我反思的意识和自我监控的能力。 四、在对待与其他教育者的关系上,新课程强调合作 在教育教学过程中,教师除了面对学生外,还要与周围其他教师发生联系,要与学生家 长进行沟通与配合。课程的综合化趋势特别需要教师之间的合作,不同年级、不同学科的教 师要相互配合,齐心协力地培养学生。每个教师不仅要教好自己的学科,还要主动关心和积 极配合其他教师的教学,从而使各学科、各年级的教学有机融合、相互促进。教师之间一定 要相互尊重、相互学习、团结互助,这不仅具有教学的意义,而且还具有教育的功能。 家庭教育的重要性是不言而喻的,教师必须处理好与家长的关系,加强与家长的联系与 合作,共同促进学生的健康成长。首先,要尊重学生家长,虚心倾听学生家长的教育意见; 其次,要与学生家长保持经常的、密切的联系;再次,要在教育要求与方法上与家长保持一 致。

8.请从宏观层面和操作层面简述新课程实施界面上有什么显著变化? 答:宏观层面 ? 课程目标 ? 课程结构 ? 课程内容 ? 课程实施 ? 课程评价 ? 课程管理 操作层面 ? 课程结构变化 ? 必修课程选修课程并行 ,学生可以自主选课

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学生学业认定方式变化 以学分制认定 评价方式的变化 发展性评价、多元化评价

9.从若干方面论述教师知识结构对于高中数学课程标准的适应性问题。 答:新课标对教师的知识结构提出了新的要求,系列 3、4 的选修课程涉及大量的以往高中 数学课程中没有的知识。对称与群,欧拉公式与必曲面分类,三等分角与数域扩充,初等数 论与密码,球面几何,矩阵与变换,统筹法与图论,等等。这些知识虽然都是大学数学专业 能够覆盖的, 但是如何在中学阶段、 在中学生的知识背景和理解能力的条件之下实施课程教 学, 这是非常值得研究和探讨的问题。 越是复杂高深的知识在知识背景比较浅近的人群之内 传播,对于教师本人在知识理解和讲授方法方面的要求越高。从这个意义上说,对中学生讲 授高等数学比在大学对数学专业的学生讲授高等数学,教师所面临的困难更大。 另外,新 课程的教学法提倡启发式、 探究式教学, 这样的教学方式也对教师的知识和能力提出了更高 的要求。 我们认为教学中的探究与真正的数学研究没有本质的区别, 我们难以想象完全缺乏 研究能力的教师能够启发学生进行探究性学习 10.评价学生在数学建模中的表现时,评价内容应关注哪几个方面? 答:评价内容应关注以下几个方面: 创新性——问题的提出和解决的方案有新意。 现实性——问题来源于学生的现实。 真实性——确实是学生本人参与制作的,数据是真实的。 合理性——建模过程中使用的数学方法得当,求解过程合乎常理。 有效性——建模的结果有一定的实际意义。 11.你能否理解代数中的模式直观,以实例说明。 答: 模式直观是一种比图形直观更为广泛的直观思维途径。 模式直观并不是如许多人所想象 的那样, “直观”离不开几何图形。模式直观是一种在大多数场合不能利用几何图形并借助 于视觉形象所产生的对于事物之间逻辑关系的一种直接的、 形象的推断和理解。 有时模式直 观表现为人们对复杂过程所发生的程序或秩序的理所当然的了解和理解。在上面的证法 2 中我们把 “从 n 个元素的集合中取 m 个元素的过程分解为两种绝然不同的取法程序, 其中一 种在所取的 m 个元素中不含固定元素 a,另中一种在所取的 m 个元素中含固定元素 a,这样 合在一起就是从 n 个元素的集合中取 m 个元素的所有可能的情形” 。证法 2 的合理性建立在 这种“程序分划”的模式直观之上。

m m m 一个非常典型的模式直观的实例是关于组合公式 Cn ? Cn?1 ? Cn??1 (m,n ? 2)的证 1

明。 证法 1:
m m C n ?1 ? C n ??1 ? 1

(n ? 1) ? (n ? m) (n ? 1) ? (n ? m ? 1) ? m! (m ? 1)! n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) m ? ? Cn m!

证法 2:在 n 个元素中固定一个元 a,那么从 n 个元中取 m 个元可分为两种情形。一定
m m m 不取 a,共有 Cn?1 种取法;一定取 a,共有 Cn??1 种取法,加起来共 C n 个取法。 1 m 容易看出证法 1 依赖于组合符号 C n 的定义及烦琐的数字计算,是一种对发现公式本身

丝毫无助的纯验证法。而证法 2 直观形象,通过这种途径我们不但能够证明公式,而且这是 一种发现公式的真正途径。可是,令人不可思议的是,传统的教学观点甚至认为证法 2 不能 算作逻辑证明, 不少旧教材仅仅把证法 1 作为该公式的证明, 而把证法 2 作为对公式的一种 “直观理解” 。现在我们暂时不对这些有分歧的观点做出过多的判断和评论,关于证法 2 是 否是真正的数学证明这个问题,读完下文之后读者一定能够自行判断。 12.高中数学新课程设置的原则是什么? 答: 必修课程内容确定的原则是: 满足未来公民的基本数学需求, 为学生进一步的学习提 供必要的数学准备。 选修课程内容确定的原则是:满足学生的兴趣和对未来发展的需求,为学生进一步学 习、获得较高数学修养奠定基础。其中, 系列 1 是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的,系列 2 则是为那些 希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。系列 1,系列 2 内容是选修系列课程中的基 础性内容。 系列 3 和系列 4 是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的,所涉 及的内容反映了某些重要的数学思想,有助于学生进一步打好数学基础,提高应用意识,有 利于学生终身的发展,有利于扩展学生的数学视野,有利于提高学生对数学的科学价值、应 用价值、文化价值的认识。其中的专题将随着课程的发展逐步予以扩充,学生可根据自己的 兴趣、志向进行选择。根据系列 3 内容的特点,系列 3 不作为高校选拔考试的内容,对这部 分内容学习的评价适宜采用定量与定性相结合的方式, 由学校进行评价, 评价结果可作为高 校录取的参考。 13.为什么必修 5 个模块按照 1、4、5、2、3 顺序更合理?

答:近年不少新课程实验区的相关学校,多数地区新课程数学必修 5 个模块按照 1-4-5-2-3 的顺序开设。理由如下: 一、通过研究,我们认为高中数学新课程必修与选修IA(即必修模块之数学1——数学5及选 修系列1(文)和选修系列2(理))的主干知识由函数主线、几何主线、概率与统计 主线和算法主线这四条主线构成。 二、 新课程数学必修5个模块按照1-4-5-2-3的开设顺序更符合学生的认知水平和规律, 更有 利于学生主动构建知识体系,降低学生的学习成本。 三、虽然新课程数学必修5个模块按照1-2-3-4-5或1-2-4-5-3等顺序开设也有合理性,但多 年教学一线的经验表明,对优生而言可能无所谓,但对大面积中等生而言,数学1的 函数知识学习后接着学习数学2的几何,再学数学4和数学5的函数相关知识时,又要 费很大的力气去复习数学1的函数基础。在高中普遍扩招的前提下,学生学习能力的 普遍下降是有目共睹的事实,因此顺序学习函数、几何、算法、统计与概率是降低教 学成本、提高教学质量的有效选择之一。 14.试述高中数学新课程的框架和内容结构的特点。 答:与以往的高中数学课程相比,新课标之下的数学课程突出课程内容的基础性与选择性。 《高中数学课程标准》要求,高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性,它包括 两个方面的含义:第一,在义务教育阶段之后,为学生适应现代生活和未来发展提供更高水 平的数学基础, 使他们获得更高的数学素养; 第二, 为学生进一步学习提供必要的数学准备。 高中数学课程由必修系列课程和选修系列课程组成, 必修系列课程是为了满足所有学生的共 同数学需求; 选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求, 它仍然是学生发展所需要的基 础性数学课程。 高中数学课程应具有多样性与选择性, 使不同的学生在数学上得到不同的发 展。高中数学课程应为学生提供选择和发展的空间,为学生提供多层次、多种类的选择,以 促使学生的个性发展和对未来人生规划的思考。 学生可以在教师的指导下进行自主选择, 必 要时还可以进行适当的转换、调整。同时,高中数学课程也应给学校和教师留有一定的选择 空间,他们可以根据学生的基本需求和自身条件,制订课程发展计划,不断地丰富和完善供 学生选择的课程。高中数学课程分必修课与选修课。必修课程由 5 个模块组成。选修课程分 4 个系列:系列 1、2 是必选课。其中系列 1 是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的 学生设立的;系列 2 是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生设立的。系列 3、4 是任 选课, 是为对于数学兴趣高并希望进一步学习更多数学知识的学生而设立的, 内容反映的某 一方面重要的数学思想,有助于学生进一步打好数学基础、提高数学素养、提高应用意识, 有利于扩展数学视野,更多地了解数学的价值。 设置了数学探究、数学建摸、数学文化的 内容。此类内容不设专门章节,而是渗透到各章节、各模块内容中。但是建议在高中阶段至 少要安排学生进行一次比较完整的数学探究活动、一次数学建摸活动。 “数学文化”是一个 抽象的概念,它通过具体的数学内容教学、通过解决数学问题的方法、途径,使学生在更加 深入地理解数学本质的基础上逐渐地产生某些普遍性的数学观念、 形成一种可以指导更广泛 范围内的思想模式与行为规范。这部分内容的教学,对于教师有更高的要求。 ●必修课程分 5 个模块, 选修系列 1、 也由模块组成。 2 每个模块 2 学分, 教学时数 36 学时。 选修系列 3、4 由若干专题组成,每个专题 1 学分,教学时数 18 学时。 ●开课时间顺序:设想的开课时间顺序是上表中从下到上,大致在高一年级开设必修数学 1 —5;高二年级开设选修 N-1,N-2;高二年级开设选修 N-3—N-10。学校可以根据自身情形 调整课程开设的顺序与数量。

15.简述高中数学课程标准在课程目标上的新变化。 答:基础教育课程改革的具体目标: (1)改变课程过于注重知识传授的倾向,强调形成积极主动的学习态度,使获得基础 知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。 (2)改变课程结构过于强调学科本位、科目过多和缺乏整合的现状,整体设置九年 一贯的课程门类和课时比例,并设置综合课程,以适应不同地区和学生发展的需求,体现课 程结构的均衡性、综合性和选择性。 (3)改变课程内容“繁、难、偏、旧”和过于注重书本知识的现状,加强课程内容与 学生生活以及现代社会和科技发展的联系, 关注学生的学习兴趣和经验, 精选终身学习必备 的基础知识和技能。 (4)改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状,倡导学生主动参 与、乐于探究、勤于动手,培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解 决问题的能力以及交流与合作的能力。 (5)改变课程评价过分强调甄别与选拔的功能,发挥评价促进学生发展、教师提高 和改进教学实践的功能。 (6)改变课程管理过于集中的状况,实行国家、地方、学校三级课程管理,增强课程 对地方、学校及学生的适应性。 ? 1.高中数学课程的总体目标 ? 使学生在九年义务教育数学课程的基础上,进一步获得作为未来公民所需要的数学 素养,以满足个人发展与社会进步的需要 ? 2.具体目标 ? (1) 获得必要的数学基础知识和基本技能, 理解基本的数学概念、 数学结论的本质, 了解概念、结论等产生的背景,体会其中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后 续学习中的作用。通过自主学习、探究活动等不同形式的学习方式体验数学发现和 创造的历程。 ? (2)提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。 ? (3)提高数学地提出、分析和解决问题(包括实际应用问题)的能力,数学表达和 交流的能力,发展独立获取数学知识的能力。 ? (4)发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思 考和做出判断。 ? (5)提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和科学 态度。 ? (6)具有一定的数学视野,逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值,形成 批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学的美学意义,从而进一步树立 辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。 16、选择中学数学课程中的某一具体内容,以此内容完成一项探究性教学设计,并对 你的教学设计进行简单的点评分析。 答:高中数学《抛物线性质的探究》教学设计 一、课题:抛物线性质的探究 二、教学对象:高三

三、教学环境:多媒体教室 四、设计思想: 圆锥曲线这一章是解析几何的重头戏,也是高三复习中的重点,如何做好这一章的复 习? 高三学生通过前二年的学习, 已形成初步的知识体系, 掌握了一定的分析问题和解决问 题的能力, 具有较强的创新精神和探究能力, 在实践中, 我大胆改革传统的"知识概括,典例 讲解,小结与练习”三步曲,利用几何画板积极实行探究性学习,激发学生**思考和创新的 意识,让学生有创新的机会,充分体验成功的喜悦,开发了学生的自我潜能。 五、教法设计: 启发式和探究性教学 六、教学目标: 在探究性学习中培养学生的创新精神和探究能力 七、教学重点与难点分析: 1.重点 观察、实践、归纳、猜想和证明的探究过程 2.难点 如何引导学生进行合理的探究? 八、教学过程设计与分析: 1.温故 在计算机上,让学生自己解决下面问题: 设抛物线的轴和它的准线交于 E 点,经过焦点垂直于轴的直线交抛物线于 P、Q 两点, 求证:EP⊥EQ(出自人教版《平面解析几何》课本) 师:提问 生:如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为 y2 = 2px( p > 0) 易求出 P、Q、E 三点坐标,由 kPE ·kEQ = -1,知 EP⊥EQ. 2.思新

师:完全正确,下面我们来进一步研究这个问题 (怎样研究? 按照波利亚对"一般化”的解释,所谓一般化习题条件就是指"从条件的 一个给定集合过渡到考虑包含这个给定集合的另一个集合”它是引发数学问题猜想的 重要方法之一)。 我们把条件"垂直于轴的直线”转化为"不垂直于轴的直线”,请大家画几个图形,观 察结论"EP⊥EQ”的变化,如下图: 师:结论"EP⊥EQ”还成立吗? 生(观察后):不成立。 师:图 2,图 3 有什么共同特征呢? 生:探究?(给一定时间) 生:(有学生发现)好象直线 EF 平分∠PEQ 师: 直线 EF 真的平分∠PEQ 吗?我们不妨利用几何画板来测量∠PEF 和∠QEF 的大小 (与 学生一起完成)再拖动 PQ,很快有重大发现。(把画板引入中学数学教学,学生主动参与讨 论,做‘数学实验',参与教学活动,他们已不再是知识的被动接受者,而是知识的主动探索者, 问题的研究者) 3.归纳发现并证明: 设抛物线 y2 = 2px(p > 0)的轴和抛物线的准线交于 E 点,过焦点 F 的直线交抛物线于 P、 Q 两点,求证:EF 平分∠PEQ. 师生共同完成证明 4 第一次表扬 以励再"探” 数学问题中,每一个从特殊到一般的成功过渡都是一个不小的收获,×××同学善于 观 察,大胆猜测,富有创新。 师:这个问题还可以发展吗?(新一轮的"探究”开始) 5.猜想,再次将条件一般化 回顾证明过程,"经过焦点 F 的直线”这个条件起到了重要作用,这个条件谈化为"经

过抛物线轴上一点 M 的直线”,直线 EM 还平分∠PEQ 吗?利用几何画板画几个图形, 让学生自己探究,相互交流讨论. 教师逐步引导学生并发现: 只要直线 l 和点 M 与原点距离相等有直线 EM 平分∠PEQ 真是这样吗?《画板》先演示 6.归纳发现并证明 直线 PQ 过抛物线 y2 = 2px(p>0)轴上一点 M(m,0)(m > 0)交抛物线于 P、 Q 两点,直线 l:x = - m 交 x 轴于 E 点,求证:直线 EM 平分∠PEQ. 师生共同完成证明。 7.第二次表扬以励再"探” 我们从课本中的一个习题,通过《画板》不断地演变,不断地猜想,验证和证明,探 索 出抛物线一个崭新的性质,结论固然可喜,但探究过程本身给我们的启发更深刻,那 就是创新是无止境的,最明显的问题就是:在椭圆和双曲线中仍成立吗? 8.课堂小结 附录:CAI 教学结构图 开始 ↓ ↓ 归纳并证明 温故 ↓ ↓ 激发兴趣——→思新 ↓ CAI 辅助学生探究 —— 教师引导 ↓ 利用 CAI 再探 —— 教师引导 ↓ 再次得出重大发现 —— 老师评价表扬 ↓ 证明与小结 得出重大发现—→ 判定,评价,表扬

16.下面列举 5 个长期困扰中小学学生和教师的数学问题,请选择其中两个加以分析 研究,讨论如何在数学课程中更加恰当地解决此类问题,以教师教学中的探究引导学生进 行数学问题的探究与思考。 (1)为什么 1.2+1.3=2.5 而 (2)为什么“负负得正”? (3)为什么 0.999??<1 不正确? (4)算术运算中为什么“先做乘除而后做加减” ? (5)虚数单位 i= ? 1 还是 i= ? 1)为什么 1.2+1.3=2.5 而

1 1 2 ? ? ? 2 3 5

?1 ?

1 1 2 ? ? ? 2 3 5

答: 因为数学教学过程中存在心理学方面的问题。 至少在不少幼童心里存在这样的直接想法: 1.2+1.3=2.5,说明加法总是将同类的对象相加,为什么分数的加法违背大多数加法法则, 不是把分子与分子、 分母与分母这种同类东西相加, 而是另外使用一套非常难以想象的复杂 法则呢? 我们不能把这样的问题看得过分简单, 可以强调分数加法自有一套法则, 但是初学者心 里难以将这样复杂而违背常规的法则转化为自己心里的直观形象。 下面是对于“通分”法则的解释:首先观察带分数的减法。

如果将小数看成十进制分数,那么

是 27-进位制的分数,同样

是 14-进位制

的分数,而

是 7-进位制的分数。小数加减法只有当进位制相同时才能进行。在这样的

理解之下,分数运算与小数运算具有统一的法则。而“为什么 1.2+1.3 = 2.5 而

?”的问题就迎刃而解了。 “通分”就是把不同进位制的分数化为相同进位制的

分数, 然后再进行运算。 古埃及人十分重视

, 这类分数, 把此类分数称为“分数单位”,

实际上分数的运算是又“分数单位”决定的,“分数单位”也是分数的“位值”,自然地, 不同位值的两个数无法简单地进行运算。 上面的解释表面上看起来好象不涉及心理学问题, 但是“位值制”概念是比较直观的概

念,例如:

(苹果)+

(香蕉)难以进行简单的运算,其主要的困难就在于被加的对象

没有等同的“位值”。对于初学者来说,普通概念是他接受专业概念与专业法则的基础。 因此,简单地重复法则无法使学生摸去“心里的错误”。

教师纠正错误的第一步是让学生先做下面的问题:

教师心里必须明白,在各种各样的分数中

有举足轻重的作用,特别是儿童,在儿童

心目中分数是抽象的,但是 分数的教学有极大的帮助。

是个例外,

是一个最富有形象的分数。注意到这一点会对

所以,小学生学习分数,第一步学的不应该是

,而应该是

。虽然从表面

上看起来这两个分数加法运算没有太大的区别, 但这仅仅是成年人的想法, 儿童没有这样的 心理。

只要有每次吃半个苹果经历的儿童都不难接受

的运算法则,但是



一样难。

第二步还到不了做

的地步,应该通过适当的反复,尝试反复做



,

这类问题,通过同分母(不是一般的同分母运算,而是同分母的单位分数运算)的运算让学

生首先注意到的不是抽象的分数运算法则,而是单位分数(即

)的重要概念。



相仿,单位分数在分数中处于独特的地位。单位分数的运算基本上接近整数的运算,

在儿童的心目中“形象”比较清晰。

几何形象也许是帮助儿童解决

心理困惑的工具。

下面我们摘录一段著名的美国数学家 David Mumford(1937—,哈佛大学教授,1974 获菲尔兹奖, 1995—1999 任国际数学家联盟主席) 讨论大学微积分课程改革的一篇论文 (载 美国数学会刊物 Notices of AMS,1997 第 44 卷)中对数学课程中“公理证明”与“图形直 观”的看法和意见,Mumford 说: “通常图形是促进交流的办法,在小学里,当你接受 1/(1/n)=n 时,你可能像我一样困 惑。当然,现代教科书中程度不同地摆弄公理的办法去‘证明’这一公式,但是用下面的对 比图形不是一样清楚吗。 (参见下图)”

总共 6 块饼,每人 2 块,可以分给几个人? 6/2=3.结论:6 包含 3 个 2

总共 1 块饼,包含几个 1/4 块? 结论:1 包含 4 个 1/4,因此 1/(1/4)=4 Mumford 评论:“介绍一个实例,观察一个图形,导出一个解释,难道不比去介绍形式 化证明更好吗。” 2)为什么“负负得正”? 答: “有理数负负得正法则”教学设计” 在初中数学课堂教学中,与教科书中呈现有理数乘法法则的基本模式相对应,“负负得 正法则”的教案设计方式通常有“变号法则模式”、 “运动模式”以及“合情推理模式”三 种基本模式, 而且, 分别对应于当前使用率最高的三套初中数学课程标准实验教科书的相应 版本: 设计方式之一:变号模式 首先,将本节课的教学目标拟定为:培养学生观察、归纳、猜想、验证的能力和质疑的 意识;理解并初步掌握有理数乘法法则及其运算律,会正确运算。? 其次,将教学环节拟定为如下三个环节: ①导入: 根据乘法的意义, 由“正数乘法 2+2+2+2=2×4=8”引入被乘数是负数的乘法, 进而提出问题: (-2)×(-4) 、2×(-4)意义何在?得数是多少? ②新授内容:

探究:先给出一组式子: 4×2=8; 3×2=6; 2×2=4;1×2=2.即正×正=正。 然后,让学生按照规律继续往下写,得出: (-4)×2=-8; (-3)×2=-6; (-2)×2=-4; (-1)×2=-2. 即负×正=负。 对比两个方阵,得出规律: 两数相乘,若其中一个数变成它的相反数,则它的积也变成原来积的相反数。? 建

立模型:在默认有理数乘法满足乘法交换律的前提下,利用上述规律,推出“负×负、正× 负、正×0、负×0、0×正、0×负”等几种类型的算式,并结合上面的两个方阵,让学生观 察、对比、归纳,得出有理数乘法法则。 ③巩固、强化:出示练习,在此基础上得出乘法运算律在有理数范围内同样适用。 设计方式之二:合情推理模式 首先,将本节课的教学目标拟定为:经历有理数乘法法则的推导过程,会运用有理数乘 法法则进行运算;掌握有理数乘法的交换律。 其中, 法则的推导过程是教学的重点, 而其中“负有理数乘负有理数”则是教学的难点。 在导入新课的环节中, 教师通过让学生回忆小学学过的四种类型的乘法, 即“正有理数 乘正有理数,正有理数乘 0,0 乘 0,0 乘正有理数”,从而引导学生讨论引进有理数之后还 应该学习哪些类型的乘法,即“负有理数乘负有理数,负有理数乘 0,0 乘负有理数,正有 理数乘负有理数, 负有理数乘正有理数”。 当学生归纳发现还有以上四种类型的乘法需要研 究时,教师很巧妙地引出学习有理数乘法法则的重要意义。 在“合情推理的过程”教学环节, 任课教师认为, 这个环节主要是学生在教师的引导下 寻求有理数乘法的规律,主要解决“正有理数乘负有理数,0 乘负有理数,负有理数乘负有 理数,负有理数乘正有理数”等问题。因而,教师通过逐步分析四种新类型的有理数乘法, 再加上小学学过的四种类型, 也就是把有理数乘法的所有类型都进行了梳理, 这就为下一步 归纳总结有理数乘法法则的规律做好铺垫。 在“总结规律”的环节中, 进行完八种类型的乘法推理之后, 顺理成章地得出需要寻找 一种更加简便的法则, 以便于指导今后的运算, 进而引导学生自己总结出有理数乘法的法则, 总结出“确定积的符号与积的绝对值”的要点。 在“例题讲解、 巩固练习”阶段, 教师没有给学生讲解“乘积为 1 的两个有理数互为倒 数”这一小规律,而是把乘法交换律加入到有理数的乘法法则这节课中来。

17.高中数学新课程保留了现行课程的主干内容,并对部分原有内容的定位和要求有 了变化,同时增加了部分新内容,请简述其目的。 答:一是强调基础性,强调数学的本质和对数学整体的认识; 二是考虑如何更贴近学生的认知规律,促进学生的自主探索与学习; 三是希望能更贴近生活,感受数学的价值; 四是对现实教学情况的反思。相对于传统数学教学大纲(2002 年《大纲》 ),新课程 标准在内容表述及范畴、能力要求、关注方向与维度、教学时数以及教学内容等方 面有较大的变化,具体如下. 1. 内容表述及范畴的变化 ? ? ? ?

现行数学教学大纲

新课程标准

教学关注点 课程体系 知识发展方式 内容的表述方式

关注教师的教学行为 从知识的角度考虑 基本上是直线型递进

既关注教师的教学、更关注学生的学习 从学生认知的角度考虑 螺旋式递进,突出几何直观

更多地体现了原则性、规 更多地体现了指导性、启发性、弹性。 定性、刚性 分必修和选修且有案例。 课程内容关注学 只有教学内容的确定和安 生的经验, 增强课程内容与社会生活的联 排以及教学要求等条文。 系。 算法思想渗透整个高中数学新课程

学习关注点 隐型主线

2.能力要求的变化 在数学思维、解决问题的能力以及数学意识培养等方面,逐步培养学生具备空间想象、推理 论证、运算求解、抽象概括、数据处理等五项基本能力。具有数学地提出、分析、解决问题 的能力,数学表达与交流的能力,独立获取数学知识的能力 ,发展数学应用意识和创新意 识,并将其上升为数学意识。 3.关注方向与维度的变化 现行数学教学大纲 新课程标准 更多地关注学生通过课程内容的学习在 知识与技能、过程与方法、情感态度价 值观等方面的发展. 在情感、态度、价 值观等方面,新课程提出:激发学生学 习数学的兴趣、信心、锲而不舍的钻研 精神;具有一定的数学视野,对数学有 较为全面的认识,逐步形成批判性的思 维习惯;初步认识数学的应用价值、科 学价值和人文价值,崇尚数学具有的理 性精神和科学态度,欣赏数学的美学魅 力,树立辩证唯物主义世界观。

更多地关注学生在 数学学科的知识、 技能方面应该达到 的要求。

4.教学时数的变化 现行数学教学大纲 新课程标准

按照 2002 年《大纲 》文科方向或直接 就业学生最低要求 : (必修+选修Ⅰ) 共需 324 课时;理科 方向学生最低要求 : (必修+选修Ⅱ) 共需 368 课时。 ? 5.教学内容的变化 (1)新增的数学内容 课 程

毕业最低要求:只要完成必修课系列 :数学 1—数学 5 的修习,共需 180 课时 参加高考最低课时要求:文理科都是 7 个模块、14 个学分,共 252 个课时,分 别占原来课时量的 78%和 68%. (全国平均:文科 15.2 学分 272 课时,理科 16 学分 288 课时,四川“减负”到位了! )

教学内容 算法初步(含程序框图) 推理与证明 框图(流程图、结构图) 推理与证明 数学史选讲 信息安全与密码 球面上的几何 对称与群 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 教学内容 对称与群 欧拉公式与 闭曲面分类 三等分角与数 域扩充 几何证明选讲 矩阵与变换 数列与差分 坐标系与参数 方程 不等式选讲 初等数论初步 优选法与试验 设计初步 统筹法与图论 初步 风险与决策 开关电路与布 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

课时数 12 10 6 8 18 18 18 18 课时 数 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

数学 3(必修) 选修 1—2(选修 IA) 选修 1—2 (选修 IA) 选修 2—2 (选修 IA) 选修 3—1 选修 3—2 选修 3—3 选修 3—4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 课 程

选修 3—4 选修 3—5 选修 3—6 选修 4—1 选修 4—2 选修 4—3 选修 4—4 选修 4—5 选修 4—6 选修 4—7 选修 4—8 选修 4—9 选修 4—10

尔代数 ? (2)删减的数学内容 原大纲的“极限”内容被删减, 但该内容中的“数学归纳法与数学归纳法举例”被安排在选 修 2—2“推理与证明”、选修 4—5“不等式选讲”中。 ? 18.对下面两个有关函数概念教学的案例进行对比分析,通过分析说明自己对于《高 中数学课程标准》有关教学理念的理解。 案例 1 (1)已知 f(x)=(m-1)x2+(1-lgm)x+1 是偶函数,求 f(10)、f(-3.1)、f(2)的 大小顺序。 (2)已知 f(x)=ax2+bx+c(a<0)对任意 x 都有 f(2-x)= f(2+x),求解不等式 f[lg (x2+x+

1 5 )]<f[lg(2x2-x+ )]。 (摘自高中数学竞赛辅导书《金牌之路》 ,2000 年出版。 ) 2 8 1 案例 2 如图 1,一个圆台形物体的上底面积是下底面积的 ,如果该物体放置在桌面 4

上,下底面与桌面接触,则物体对桌面的压强是 200 帕。若把物体翻转过来,上底面朝下与 桌面接触,问物体对桌面的压强是多少?(案例 2 选自人教版 2002 年“九年义务制教育三 年制初中教科书” 《代数》第三册)

图 1 圆台形物体 答:案例 3.2 分析 我们认为实例 B 作为函数概念教学的内容,这是一个构思很好的实例, 它好在以下三个方面: 1)函数概念存在于问题背景之中 题目条件中没有明显地给出函数关系, 但是要求学生首先判断所要求的变量“桌面压强 y” 应是“接触面积 x”的函数。 2)体积—质量—压强;代数—几何—物理 强调了不同学科知识的联系,这些联系是让学生在“做数学”的过程中所亲历和感受到的。 利用几何中求体积的知识, 学生能够发现当物体的重量 (此时的重量实际上是由体积决定的) 不变时,“桌面压强 y”与“接触面积 x”成反比,因此 y 是 x 的反比例函数。 3)问题可以进一步扩展 本题可以进一步作扩充:问“桌面压强 y”作为“接触面积 x”的函数,与物体的形状是否 相关,也就是说如果物体并不是规则的圆台时,本题的结论是否还成立。这样的问题可以进 一步启发学生对函数的本质有更加深入的认识。 4)把案例 1 与案例 2 对比不难看到:函数教学中两种理念、两种结果。 案例 1 中的函数都是一些人工制造出来的很不自然的函数, 烦琐迭加使得形式非常困难, 但 是实质上没有丝毫的创造性,新课程摈弃这样“繁而不难、缺乏启发性”的练习题。

而案例 2 中的函数概念生动形象, 与学生的实际生活有一定的关系, 解题过程既要求一定的 想象力, 又要求对函数概念有正确的理解。 新课程要求这样贴近学生生活与知识面的学习内 容。 ●作为数学模型的函数 函数教学的一个非常重要的方面是让学生体会函数能够作为反映现实世界客观规律的数学 模型。 《高中数学课程标准》在函数的教学建议中要求:“在函数应用的教学中,教师要引 导学生不断地体验函数是描述客观世界的变化规律的基本数学模型, 体验指数函数、 对数函 数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用”。

利用多项式根与系数的关系可以证明:若

x ? x1 , x2 , ? , xn

是多项式

1 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ? 0 的根,则

1 1 1 ? ??? ? ?a1 。利用这个 x1 x2 xn
sin x ,则方程 f ( x) ? 0 有根 x

结果,欧拉采用下面方法求自然数倒数的平方和: f ( x) ?

x x 2 x3 ? ? ? 那么这种常数 x ? ? , (2? ) , (3? ) , ?。 现在级数展开 f ( x) ? 1 ? ? 3! 5! 7!
2 2 2

项为 1 的多项式同样也有“根的倒数和等于一次项系数的相反数” 因此有 ,

1

?2

?

1 (2? ) 2

?

1 (3? ) 2

?? ?

1 1 1 1 1 ?2 于是得 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 。 试解释欧拉上述 6 6 2 3 4 5

方法在数学发现中的意义和作用。 答: 证明: 如果 x

? x1 , x2 , ? , xn

是多项式 1 ? a1 x ? a2 x

2

? ? ? an x n ? 0 的

根,注意到每 x i ≠0,那么存在因式分解

1 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ? (1 ?

x x x )(1 ? )?(1 ? ) x1 x2 xn 1 1 1 ? ??? ? ?a1 。 x1 x2 xn

且由根与系数的关系,容易知道:

解答提示:数学史著作中评价欧拉采用非常直观的方法研究数学问题,求无穷级数和

1

?

2

?

1 (2? )
2

?

1 (3? )
2

?? ?

1 的方法是典型的直观方法,将一个具有无限多个零点的函 6

数 与 多 项 式 函 数 进 行 类 比 , 十 分 简 单 而 直 观 的 方 法 求 出 无 穷 级 数

1

?

2

?

1 (2? )
2

?

1 (3? )
2

?? ?

1 的和,虽然这样的方法缺乏理论证明的严密性,但是对于 6

发现如此难以求和的无限级数的和来说不失为一种非常有效的思考方法。 实际上严格的证明 对于一个学习过无穷级数收敛性理论的学生来说并不存在太多的困难。 19.用教学实例说明直观几何在中学几何课程中的地位和作用。 答:几何的直观性是一个有目共睹的事实,由于几何的直观性,使得几何在数学中(即使在 数学家正在研究的高深的数学中)具有非常重要的地位。下面我们引用当代伟大的数学家 Michael Atiyah(1929—,英国皇家学会会员,法国科学院、美国科学院、瑞典科学院外籍 院士,菲尔兹奖获得者)的话:现代数学与传统数学的差别更多地是在方式上而不是在实质 上。 本世纪的数学在很大程度上是在与实质上具有的几何困难作斗争, 这些困难是由于研究 高维问题而产生的。 集合直观仍然是领悟数学的最有效的渠道, 应当在各级学校尽可能广泛 地利用几何思想。 现在各国中学几何课程中都加入了直观几何的内容。 学生能够在直观几何课中遇到引人 入胜的难题,例如,种种迷人的折纸与拼图游戏,观察和实验是直观几何的主要内容。学生 能够通过生动的、富有想象力的活动,发展自己的空间想象力;通过实实在在的动手操作, 了解什么是几何变换;通过折叠、拼合建立关于对称的直观概念。观察、实验、操作、想象 等认知活动在直观几何中以形形色色、丰富多彩的方式表现出来。中学几何教学中有些“概 念、习题”用直观的方法进行讲解、指导,能很好地帮助学生理解知识、掌握知识并顺利地 解决具体问题。 我在教学中,对某些“概念”的教学,常常就运用运动的观点做一些小实验来激发学 生的求知欲,提高学生学习数学的兴趣,帮助学生对“概念”的加深理解。如: 讲解“三角形 3 个内角的和等于 180°”这一知识时,我开始做了一个小实验: 用橡皮筋构成△ABC,使顶点 B、C 固定,顶点 A 可以移动(如图) 。当顶点 A 来回运动 时就可以得到不同的三角形。 这时,我便问学生:这些三角形的内角和是多少度呢? 学生在讨论中发现:当顶点 A 越靠近 BC, ∠BAC 越接近 180°, ∠ABC 与∠ACB 越来越小,接近 0°, 而当顶点 A 落到 BC 上时,这时∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°。 于是,我让学生猜想,一般情形下,△ABC 的内角和确实是 180°吗?
C A1 A2 A B

接着,课上学生又积极地探索了几种不同的方法证实这一结论。整个一节课,学生思维 积极,学习气氛非常浓厚,对这一知识的理解也比较深刻。 几何图形是帮助我们进行数学想象的最有效的工具。 本来, 数学中的概念都是非常抽象 的概念,而真正抽象的对象是难以思考的,直观的几何图形是我们最容易利用的数学形象。 因此, 直观几何不但能够帮助初学者掌握基础知识, 也能够帮助人们进行真正的数学研究与 数学创造。 直观几何并不仅仅停留在直观操作的层面, 经过教师的细心引导, 直观几何中也可以包 含丰富多彩的、严格的逻辑推理。


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