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新建二中20122013学年度上学期高二数学(文

新建二中 2012-2013 学年度上学期高二数学(文科)周练十
命题人:罗娟 2012-12-7

一、选择题(本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.函数 y=x2cosx 的导数为( A. y′ =2xcosx+x2sinx C. y′ =x2cosx-2xsinx 2.函数 A. 3.若函数 ) C. y′ =2xcosx-x2sinx D. y′ =xcosx-x2sinx ) D. 的图象是( )

的单调递减区间是( B. C.

的图象的顶点在第四象限,则函数

4. 点 P 在曲线 A.[0, ] B. 0,

上移动, 设点 P 处切线倾斜角为 α, 则 α 的取值范围是 ( ∪[ ,π C.[ ,π D.( ,



5. 若 A : a ? R, a ? 1 , B : x 的二次方程 x2 ? (a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 的一个根大于零,另一根小于零,则 A 是 B的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6. 已知 的最小值为 ( A. ) B. C. D. ,则数列 ? C.
? 1 ? ? (n ? N *) 的前 n 项和是() ? f (n) ?

(m 为常数)在

上有最大值 3,那么此函数在



7.设函数 f ( x) ? xm ? ax 的导函数 A. B.

D. ) )

8 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点, 那么 k 的取值范围是 ( A. ( ? 15 , 15 ) B. ( 0, 15 ) C. ( ? 15 ,0 ) D. ( ? 15 ,?1 ) 9. 设 f(x)= x +ax +5x+6 在区间[1, 3]上为单调函数, 则实数 a 的取值范围为 A. [- ,+∞) ,+∞) B. (-∞ , -3 ) D. [- , ]
3 3 3 2
3

3

3



C. (-∞ ,-3]∪[-

10. 函数 f(x)在定义域 R 内可导, 若 f(x)=f(2-x),且当 x∈(-∞,1)时, (x-1) f( ),c= f(3),则 A .a<b<c B.c<a<b ( ) C.c<b<a D.b<c<a

<0,设 a=f(0),b=

二、填空题: (本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)

11. 命题“若△ ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题 是 12. 过 双 曲 线
PQ ? PR

.
x2 y2 ? ?1 上一点 P 作 x 轴的平行线交两渐线于 Q.R 两点,则 3 4

=

。 .

13. 曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是

14.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c在x ? ?2 处取得极值,并且它的图象与直线 y ? ?3x ? 3 在点 (1,0)处相切,则函数 f ( x) 的表达式为
)≥ 0 , 15. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x) , f ?(0) ? 0 , 对于任意实数 x , 有 f (x



f (1) 的最小值为 f ?(0)



三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分) 16.求函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 3x ? 1 的极值。 17. .已知函数 f ( x) ? ax3 ? (a ?1) x2 ? 48(a ? 2) x ? b 的图象关于原点成中心对称, 试判断 f ( x) 在 区间 ??4, 4? 上的单调性。
? 18.已知“ p : x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ”, “ q : 存在 a ? ? 若 ?q ,2? 使不等式 1 ? ? a ? 成立”, ? 3 a ?2 ? 是 ? p 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 1
1 3

x ?1

1

19.已知函数 f(x)= x3-2ax2+3x(x∈R). (1)若 a=1,点 P 为曲线 y=f(x)上的一个动点,求以点 P 为切点的切线斜率取最小值 时的切线方程; (2)若函数 y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求满足条件的最大整数 a. 20. 已知函数 y ? x3 ? ax(a ? R) (1)当 a ? ?1 时,求函数在 [?2,1] 上的最值; (2)讨论函数的单调性。 21.已知函数 的图像与函数 的图象相切,记

(1)求实数 b 的值及函数 F(x)的极值; (2)若关于 x 的方程 F(x)=k 恰有三个不等的实数根,求实数 k 的取值范围。

答案
一、1-10 BCABA DADCB 11. 若△ ABC 的两个内角相等,则它是等腰三角形 12. 3 13.
5

14. f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 8x ? 6

15.2

16. 解: f '( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,令 f '( x) ? 0 得 ( x ? 1)( x ? 3) ? 0, x ? ?1 或 x ? 3 ,
x
f '( x) f ( x)

(??, ?1)

?1

(?1,3)

3 0
?8

(3, ??)

+
?

0
8 3


?

+
?

1 8 ? 函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 3x ? 1 的极大值是 ,极小值是 ?8 。 3 3

17. 解::∵函数 f(x)的图象关于原点成中心对称, 则 f(x)是奇函数, 所以 a=1,b=0 于是 f(x)= x3 ? 48 x.
? f ?( x) ? 32 x ? 4∴当 8 , x ? (?4, 4) ? f ?( x) ? 0

又∵函数 f ( x) 在 ??4, 4? 上连续。所以 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数. 18. 解:对于 p : [ x ? (1 ? m)][x ? (1 ? m)] ? 0(m ? 0) ? x ? 1 ? m 或 x ? 1 ? m 对于 q : a ? 在 a ? ?1,2? 的最小值是 2,由题意 1 ?
1 a

设 B ? ?x / x ? ?2或x ? 10? ? ?q 是 ? p 必要不充分条件? p 是 q 的必要不充分条件………6 分
?B
?1 ? m ? 10 A ?? ?1 ? m ? ?2
? m ? ?3

x ?1 ? 2 ? x ? 4 ? 6 ? x ? ?2 或 x ? 10 3

又m ? 0

? ?3 ? m ? 0 …………12 分

19. 解:(1)设切线的斜率为 k,则 k=

=2x2-4x+3=2(x-1)2+1,

当 x=1 时, kmin=1. 又 f(1)= , 所以所求切线的方程为 y- =x-1, 即 3x-3y+2=0. (2) =2x2-4ax+3,要使 y=f(x)为单调递增函数, 必须满足 >0, =2x2-4ax+3>0, >0, 即对任意的 x∈

(0,+∞),恒有

∴a<

= +

,而 +



,当且仅当 x=

时,等号成立. 所以 a<



所求满足条件的 a 值为 1 20. 解: (1)当 a ? ?1, y ? x3 ? x ,则 y ' ? 3x2 ?1 ? 0 得 x ? ?
f (?2) ? ?6, f (? 3 2 3 3 2 3 )? , f( )?? , f (1) ? 0 3 9 3 9

3 3

易知 y最大= 2

3 9

, y最小= ? 6

(2)当 a ? 0, y ' ? 3x2 ? a ? 0 ,函数在 R 上单调递增 当 a ? 0, y ' ? 3x2 ? a ? 0 ,得 x ? ?
?3a 3

x
f '( x) f ( x)

(??, ?

?3a ) 3

?

?3a 3

(?

?3a ?3a , ) 3 3

?3a 3

(

?3a , ??) 3

+
?

0 极大值


?

0 极小值

+
?
?3a ?3a 。 , ) 3 3

故函数的单调增区间是 (??, ? 21. 解:(1)依题意,令

?3a 和 ?3a ) ( , ??) ,单调减区间是 (? 3 3

,得

-1 + ↗ 0 极大值 ↘ 值0 从上表可知 (2)由(1)可知函数 当 的图象与函数 处取得极小值. 7 分 作函数 的图象有三个交点时, 的图象, - 0 极小 ↗ +

关于 x 的方程


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