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北京市清华附中212届高三数学考前适应性训练试题 理


清华附中高 09 级适应性练习 理科数学
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题 列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

x ? ( x 2 ? x)i 1.若复数 z ? ( x ? R )为纯虚数,则 x 等 i
于( A.0 ) B.1 C.-1 D.0 或 1

2.已知某个几何体的三视图如下图,根据图中标出的尺 寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( )

5 3 cm 2 C. 3 cm3
A.

B.

3 3 cm 2

D.2 cm3 )

?e x , x ? 0, 1 3.已知函数 f ( x) ? ? 则 f [ f ( )] =( e ?ln x, x ? 0, 1 A. B. e e 1 C.D. ? e e
A. n ? 5 ? B. n ? 6 ?

4.如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应 为( ) C. n ? 7 ? D. n ? 8 ? 5.已知正项数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , a 2 ? 2 , 2an 2 ? an ?12 ? an ?12 (n ? 2) ,则 a6 等于( A.16 B.8 C. 2 2 D.4



6.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B 为“取 到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于( A. 1 4 B. 1 8 C. 2 5 ) D. 1 2 )

7.已知正实数 a , b 满足不等式 ab ? 1 ? a ? b ,则函数 f ( x) ? loga ? x ? b ? 的图象可能为(

-1-

8.已知点 A ? ?1,0? 、 B ?1,0 ? , P ? x0 , y0 ? 是直线 y ? x ? 2 上任意一点,以 A、B 为焦点的椭 圆过点 P.记椭圆离心率 e 关于 x0 的函数为 e ? x0 ? ,那么下列结论正确的是 ( A. e 与 x0 一一对应 C.函数 e ? x0 ? 无最小值,有最大值 B.函数 e ? x0 ? 是增函数 D.函数 e ? x0 ? 有最小值,无最大值 )

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

9.某校高中部有三个年级,其中高三有学生 1000 人,现采用分层抽样法抽取一个容量为

185 的样本,已知在高一年级抽取了 75 人,高二年级抽取了 60 人,则高中部共有学生____人.
10 . 如 图, PC 切 圆 O 于 点 C ,割 线 PAB 经 过 圆 O , 弦
B O
·

C

E D

A

P

CD ? AB 于 点 E , 已 知 圆 O 的 半 径 为 3 , PA ? 2 , 则 PC ? ______ OE ? __________.

? 11 . 曲 线 ? ? 4 c o s 关于直线 ? ?



?
4

对称的曲线的极坐标方程

12.如图,矩形 OABC 内的阴影部分是由曲线 f ? x ? ? sin x x ? ? 0, ? ?

及直线 x ? a a ? ? 0, ? ? 与 x 轴围成,向矩形 OABC 内随机投掷一点,

?

?

?

?

1 ,则 a 的值是 . 4 ? y?x ? 13.已知不等式组 ? y ? ? x 表示的平面区域 S 的面积为 4 ,点 P( x, y) ? S ,则 z ? 2 x ? y 的 ? x?a ?
若落在阴影部分的概率为 最大值为 . 14 . 若 点 集 A ? ( x, y) | x2 ? y 2 ≤1 , B ? ?( x, y) | ?1≤ x ≤1, ?1≤ y ≤1? , 则 点 集

Q ? ?( x, y) | x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 ,( x1 , y1 ) ? A,( x2 , y2 ) ? B? 所表示的区域的面积为___________ .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15. (本小题满分 13 分)函数 f ( x) ? 2 ? sin ? 2 x ?

P ? ?( x, y) |? 1 x

?

? x

1 ,? y 1

? y

1

1 ,1 x ? 表 A 的 区 域 的 面 积 为 _____ ; 点 集 ( 所 ) 示 , ? y

?

? ?

??

2 ? ? 2 sin x , x ? R 6?

-2-

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ) ?ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a, b, c ,若 f ( ) ? 1, b ? 1, c ? 记

B 2

3 ,求 a 的值.

16. (本题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 侧面 PAD 是正三角形, 且垂直于底面 ABCD, 底面 ABC 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,M 为 PC 的中点. (Ⅰ)求证:PA//平面 BDM; (Ⅱ)在 AD 上确定一点 O ? ,使得面 PO ?B ? 面 PBC ,并加以证明; (III)求直线 AC 与平面 ADM 所成角的正弦值.

17. (本小题满分 14 分)某中学在高二开设了 A,B,C,D 共 4 门选修课,每个学生必须且只 需选修 1 门选修课,对于该年级的甲、乙、丙 3 名学生。 (Ⅰ)求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率; (Ⅱ)求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率; (III)求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望.

18. (本小题满分 13 分)函数 f ( x) ? ln x ?

a?x ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . x

(I)若曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线 与直线 y ?

1 x ? 1 垂直,求 a 的值; 2 1 , 2

(II)若函数 f ( x ) 在区间[1,2]上的最小值为 求 a 的值.

x2 y2 19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A , 两个焦点为 F1 、 a b

F2 , ?AF1 F2 为正三角形且周长为 6.
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知圆 O : x ? y ? R ,若直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 M ,且直线 l 与圆 O 相
2 2 2

切于点 N ;求 | MN | 的最大值.

-3-

20. (本小题共13分)将 1,2,3,?, n 这 n 个数随机排成一列,得到的一列数 a1 , a2 ,?, an 称为

1,2,3,?, n 的一个排列.
定义 ? (a1 , a2 ,?, an ) ? | a1 ? a2 | ? | a2 ? a3 | ?? | an?1 ? an | 为排列 a1 , a2 ,?, an 的波动强 度. (Ⅰ)当 n ? 3 时,写出排列 a1 , a2 , a3 的所有可能情况及所对应的波动强度; (Ⅱ)当 n ? 10 时,求 ? (a1 , a2 ,?, a10 ) 的最大值,给出对应的一个排列; (Ⅲ)当 n ? 10 时,在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整,若要求每次调整时波 动强度不增加,问对任意排列 a1 , a2 ,?, a10 ,是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为 9;若可以,给出调整方案,若不可以,请给出一个反例并加以说明.

适应性练习参考答案
一、选择题 (1)B (5)D 二、填空题 (2)B (6)A (3)A (7)B (4)B (8)C

9. 3700 10. 4,

9 5

11. ? ? 4sin ? 12.

2? 3

13. 6 14. π ; 12 ? π 三、解答题

-4-

15. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 2 ? sin ? 2 x ? (Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期;

? ?

??

2 ? ? 2 sin x , x ? R 6?

(Ⅱ) ?ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a, b, c ,若 f ( ) ? 1, b ? 1, c ? 记 解(Ⅰ) f ( x) ? 2 ? sin( 2 x ?

?
6

B 2

3 ,求 a 的值。

) ? 2 sin 2 x ? ? ? cos 2 x sin ) ? (1 ? cos 2 x) 6 6

? 2 ? (sin 2 x cos

? 1 ? cos 2 x ? (

3 1 sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

?

1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 1 2 2

? cos(2 x ?

?
3

) ?1

所以函数 f (x) 的最小正周期为 ? 。 (Ⅱ)由 f ( ) ? 1 得 cos( B ? 又因为 0 ? B ? ? ,所以 所以 B ?

B 2

?
3

) ? 1 ? 1 ,即 cos( B ?

?
3

)?0

?

?
3

?

?
2

3

? B?
.

?

,即 B ?

?
6

4 ? ? 3 3

因为 b ? 1, c ?

3

所以 由 正 弦 定 理

b c ,得 ? sin B sin C

sin C ?

3 2

故C ? 当C ?

?

?

2 或 ? 3 3 时,A ?

?

3 2 2? ? ? 当C ? 时,A ? ,又B ? ,从而a ? b ? 1 3 6 6 故 a 的值为 1 或 2.
16. (本题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 侧面 PAD 是正三角形, 且垂直于底面 ABCD, 底面 ABC 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,M 为 PC 的中点.
-5-

,从而a ? b 2 ? c 2 ? 2

(Ⅰ)求证:PA//平面 BDM; (Ⅱ)在 AD 上确定一点 O ? ,使得面 PO ?B ? 面 PBC ,并加以证明; (III)求直线 AC 与平面 ADM 所成角的正弦值. 【解析】 (1)证明:如图连接 AC、OM,因为 ABCD 为菱形,所以点 O 为 AC 的中点,又 M 为 PC 的中点,所以 在 ?PAC 中, PA // OM , OM ? 平面 BDM 所以 PA//平面 BDM; (Ⅱ)当 O ? 为 AD 中点时

z

BC ? PO ? BC ? O ?B
故 BC ? 面 PO ?B 从而面 PO ?B ? 面 PBC ;

O?
o

x

y

? (III)?正三角形平面PAD ? 平面ABCD, 建立如图的空间坐标系:则
A(1,0,0),D(-1,0,0), P(0,0, 3), C (?2, 3,0),M ( ?1, , ) . , ,

3 3 2 2

???? ???? ???? ? 3 3 ? AC ? (?3, 3, 0), AD ? (?2, 0, 0), DM ? (0, , ). , 2 2 ? ? ???? ? ???? ? 设平面ADM的法向量为n ? ( x, y,1),则? n ? AD ? 0且n ? DM ? 0, ???? ? AC ? n 2 ? ? x ? 0, y ? ?1; 设直线AC和平面ADM 所成角为?,则sin ? ? ???? ? ? . 4 AC ? n
17. (本小题满分 14 分)某中学在高二开设了 A,B,C,D 共 4 门选修课,每个学生必须且只 需选修 1 门选修课,对于该年级的甲、乙、丙 3 名学生。 (I)求这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率; (II)求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率; (III)求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望。 解析:(Ⅰ)3 名学生选择了 3 门不同的选修课的概率为

P1 ?

3 A4 4 ? 3 ? 2 3 ? ? 43 4 ? 4 ? 4 8

(Ⅱ) 恰有 2 门选修课这 3 名学生都没选择的概率为

P2 ?

2 2 C 4 C32 A2 2 ? 3 ? 3 ? 2 9 ? ? 4? 4? 4 16 43

(Ⅲ) 设 A 选修课被这 3 名学生选择的人数为 ? ,则 ? =0,1,2,3
-6-

33 27 ? 3 64 P( ? =0)= 4
1 3 ? C3 9 ? 3 64 P( ? =2)= 4

1 C3 32 27 ? 3 64 P( ? =1)= 4 3 C3 1 ? 3 64 P( ? =3)= 4

? 的分布列是

?
P

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64

E? ? 0 ?

27 27 9 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? 64 64 64 64 4

a?x ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . x 1 (I)若曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与直线 y ? x ? 1 垂直,,求 a 的值; 2 1 (II)若函数 f ( x ) 在区间[1,2]上的最小值为 ,求 a 的值. 2 1 ? x ? (a ? x) 1 a x ? a ? ? 2 ? 2 (x ? 0) 解: f '( x) ? ? x x2 x x x 1 (I)因为曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与直线 y ? x ? 1 垂直,, 2
18. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? 所以 f '(1) ? -2 ,即 1 ? a ? ?2, 解得a ? 3. (II)当 0 ? a ? 1 时, f '( x) ? 0 在(1,2)上恒成立, 这时 f ( x ) 在[1,2]上为增函数

? f ( x)min ? f (1) ? a ?1
当 1 ? a ? 2 时,由 f '( x) ? 0 得, x ? a ? (1, 2)

? 对于 x ? (1, a) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在[1,a]上为减函数,
对于 x ? (a, 2) 有 f '( x) ? 0, f ( x ) 在[a,2]上为增函数,

? f ( x)min ? f (a) ? ln a
当 a ? 2 时, f '( x) ? 0 在(1,2)上恒成立,
-7-

这时 f ( x ) 在[1,2]上为减函数,

? f ( x) min ? f (2) ? ln 2 ?

a ?1. 2

综上,①当 0 ? a ? 1 时, f ( x)min ? a ?1 ? 0 ②当 1 ? a ? 2 时, f ( x)min ? ln a ,令 ln a ? ③当 2 ? a 时, f ( x) min 综上, a ?

1 ,得 a ? e 2 a 1 ? ln 2 ? ? 1 ? ln 2 ? 2 2

e

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A , 两个焦点为 F1 、 a2 b2

F2 , ?AF1 F2 为正三角形且周长为 6.
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? R 2 ,若直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 M ,且直线 l 与圆 O 相 切于点 N ;求 | MN | 的最大值.

? a ? 2c ? 解: (Ⅰ)解:由题设得 ?a ? a ? 2c ? 6 ? a2 ? b2 ? c2 ?

x2 y2 ? ? 1. 4 3 (Ⅱ)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? t , |t | , t 2 ? (1 ? k 2 )r 2 ① 由直线 l 与圆 O 相切,得 r ? 2 1? k 2 2 ?x y ?1 ? ? 由? 4 ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 12 ? 0 , 3 ? y ? kx ? t ?
解得: a ? 2, b ? 3 ,故 C 的方程为 因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 ? ? (8kt) 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4t 2 ? 12) ? 0 ,
2 2 得 t ? 3 ? 4k ②,

4kt 4k ?? . 2 t 3 ? 4k 由 ON ? MN ,可得
所以 x M ? ?

1 2 4k 2 xM ? 3 ? r 2 ? ? 3 ? r 2 ------------③ 2 4 3 ? 4k 2 r ?3 12 2 2 2 由①② ? k ? ④,将④代入③得 | MN | ? 7 ? r ? 2 ? 7 ? 4 3 , 2 r 4?r
2 2 | MN |?| OM | 2 ? | ON | 2 ? x M ? y M ? r 2 ?

-8-

当且仅当 r 2 ? 2 3 ? (3,4) 所以 | MN |? 2 ? 3

20. (本小题共13分)将 1,2,3,?, n 这 n 个数随机排成一列,得到的一列数 a1 , a2 ,?, an 称为

1,2,3,?, n 的一个排列.
定义 ? (a1 , a2 ,?, an ) ? | a1 ? a2 | ? | a2 ? a3 | ?? | an?1 ? an | 为排列 a1 , a2 ,?, an 的波动强 度. (Ⅰ)当 n ? 3 时,写出排列 a1 , a2 , a3 的所有可能情况及所对应的波动强度; (Ⅱ)当 n ? 10 时,求 ? (a1 , a2 ,?, a10 ) 的最大值,并指出所对应的一个排列; (Ⅲ)当 n ? 10 时,在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整,若要求每次调整时波 动强度不增加,问对任意排列 a1 , a2 ,?, a10 ,是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为 9;若可以,给出调整方案,若不可以,请给出一个反例并加以说明. 解: (Ⅰ)n ? 3 时, 排列 a1 , a2 , a3 的所有可能为 1, 2,3 ;1,3, 2 ;2,1,3 ;2,3,1 ;3,1, 2 ;3, 2,1 .

? (1,2,3) ? 2 ; ? (1,3,2) ? 3 ; ? (2,1,3) ? 3 ;
? (2,3,1) ? 3 ; ? (3,1,2) ? 3 ; ? (3,2,1) ? 2 .
(Ⅱ) ? (a1 , a2 ,?, a10 ) ? | a1 ? a2 | ? | a2 ? a3 | ??? | a9 ? a10 | 上式转化为 ?a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ? ? a9 ? a10 , 在上述 18 个 ? 中,有 9 个选正号, 9 个选负号,其中 a1 , a10 出现一次, a2 , a3 ,?, a9 各出 现两次. 所以 ? (a1 , a2 ,?, a10 ) 可以表示为 9 个数的和减去 9 个数的和的形式, 若使 ? (a1 , a2 ,?, a10 ) 最大,应使第一个和最大,第二个和最小. 所以 ? (a1 , a2 ,?, a10 ) 最大为:

(10 ? 10 ? 9 ? 9 ? 8 ? 8 ? 7 ? 7 ? 6) ? (1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5) ? 49 .
所对应的一个排列为: 5 ,7 ,1,8 , 2 ,9 ,3 ,10 , 4 ,6 .(其他正确的排列同等给分) (Ⅲ)不可以. 例如排列 10 ,9 ,8 , 7 ,1, 2 ,3 , 4 ,5 , 6 ,除调整 1 , 2 外,其它调整都将使波动强度增加, 调整 1 , 2 波动强度不变. 所以只能将排列 10 ,9 ,8 ,7 ,1, 2 ,3 , 4 ,5 ,6 调整为排列 10 ,9 ,8 ,7 , 2 ,1,3 , 4 ,5 ,6 . 对于排列 10 ,9 ,8 , 7 , 2 ,1,3 , 4 ,5 , 6 ,仍然是除调整 2 ,1 外,其它调整都将使波动强度 增加,所以仍只能调整 1 , 2 两个数字.
-9-

如此不断循环下去,不可能经过有限次调整使其波动强度降为 9 .

- 10 -


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