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高考数学(理)一轮复习讲练测:专题8.7 立体几何中的向量方法(Ⅰ)-证明平行与垂直(讲)答案解析


高考数学讲练测【新课标版】 【讲】 【课前小测摸底细】 1.【人教 A 版选修 2-1P101 练习 2 改编】已知 l∥α,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 α 1 ? 的法向量为? ?1,2,2?,则 m=________. 【答案】-8 2. 【改编自大纲卷】 如图, 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上, ?ACB ? 900 , BC ? 1, AC ? CC1 ? 2 . (I)证明: AC1 ? A1 B ; C1 A1 B1 D A C B 【答案】 AC1 ? A1 B 【解析】 z A1 C1 B1 C D x A B y 3. 【高考数学(理)二轮复习】如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是∠ABC 为 直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当 AF =________时,CF⊥平面 B1DF. 【答案】a 或 2a 【解析】法一:由已知得 B1D⊥平面 AC1, 又 CF? 平面 AC1,∴B1D⊥CF, 故若 CF⊥平面 B1DF,则必有 CF⊥DF. 设 AF=x(0<x<3a),则 CF2=x2+4a2, DF2=a2+(3a-x)2,又 CD2=a2+9a2=10a2, ∴10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2, 解得 x=a 或 2a. 法二:分别以 BA、BC、BB1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 B-xyz, 则 B(0,0,0),B1(0,0,3a),设 F( 2 a,0,m),D ? ? 2 ? 2 2 a,0), ? 2 a, 2 a,3a ? ? ,C(0, ? ? ???? ? ? 2 ? ??? ? ? ???? 2 CF =( 2 a,- 2 a,m), B1 D = ? , B1 F =( 2 a,0,m-3a), a , a , 0 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? B1 D =0, CF · B1 F =0, ∵CF⊥面 B1DF,∴CF⊥B1F, CF ⊥ B1 D ,即 CF · 可得 2a2+m(m-3a)=0,解得 m=a 或 2a. 4. 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,G 为△ BC1D 的重心, (1) 试证:A1、G、C 三点共线; (2) 试证:A1C⊥平面 BC1D; 【答案】 (1)A1、G、C 三点共线; (2)A1C⊥平面 BC1D. 5.【改编自高考题】如图所示,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,A1D⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 A1A=2. (1)证明:AC⊥A1B; (2)是否在棱 A1A 上存在一点 P,使得 AP ? ? PA1 且面 AB1C1⊥面 PB1C1. 【答案】 (1)AC⊥A1B ; (2)不存在. ??? ? ???? WWW.ziyuanku.com【解析】从 DA、DC、DA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系,则 D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0, 3),B(1,1,0),D1(-1,0, 3),B1(0,1, 3),C1(-1,1, 3). (1) AC ? (?1,1, 0), A1 B ? (1,1, ?

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