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高考数学(理)一轮复习讲练测:专题8.7 立体几何中的向量方法(Ⅰ)-证明平行与垂直(讲)答案解析

高考数学讲练测【新课标版】 【讲】 【课前小测摸底细】 1.【人教 A 版选修 2-1P101 练习 2 改编】已知 l∥α,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 α 1 ? 的法向量为? ?1,2,2?,则 m=________. 【答案】-8 2. 【改编自大纲卷】 如图, 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上, ?ACB ? 900 , BC ? 1, AC ? CC1 ? 2 . (I)证明: AC1 ? A1 B ; C1 A1 B1 D A C B 【答案】 AC1 ? A1 B 【解析】 z A1 C1 B1 C D x A B y 3. 【高考数学(理)二轮复习】如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是∠ABC 为 直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当 AF =________时,CF⊥平面 B1DF. 【答案】a 或 2a 【解析】法一:由已知得 B1D⊥平面 AC1, 又 CF? 平面 AC1,∴B1D⊥CF, 故若 CF⊥平面 B1DF,则必有 CF⊥DF. 设 AF=x(0<x<3a),则 CF2=x2+4a2, DF2=a2+(3a-x)2,又 CD2=a2+9a2=10a2, ∴10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2, 解得 x=a 或 2a. 法二:分别以 BA、BC、BB1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 B-xyz, 则 B(0,0,0),B1(0,0,3a),设 F( 2 a,0,m),D ? ? 2 ? 2 2 a,0), ? 2 a, 2 a,3a ? ? ,C(0, ? ? ???? ? ? 2 ? ??? ? ? ???? 2 CF =( 2 a,- 2 a,m), B1 D = ? , B1 F =( 2 a,0,m-3a), a , a , 0 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? B1 D =0, CF · B1 F =0, ∵CF⊥面 B1DF,∴CF⊥B1F, CF ⊥ B1 D ,即 CF · 可得 2a2+m(m-3a)=0,解得 m=a 或 2a. 4. 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,G 为△ BC1D 的重心, (1) 试证:A1、G、C 三点共线; (2) 试证:A1C⊥平面 BC1D; 【答案】 (1)A1、G、C 三点共线; (2)A1C⊥平面 BC1D. 5.【改编自高考题】如图所示,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,A1D⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 A1A=2. (1)证明:AC⊥A1B; (2)是否在棱 A1A 上存在一点 P,使得 AP ? ? PA1 且面 AB1C1⊥面 PB1C1. 【答案】 (1)AC⊥A1B ; (2)不存在. ??? ? ???? WWW.ziyuanku.com【解析】从 DA、DC、DA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系,则 D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0, 3),B(1,1,0),D1(-1,0, 3),B1(0,1, 3),C1(-1,1, 3). (1) AC ? (?1,1, 0), A1 B ? (1,1, ? 3) , ∴ AC ? A1 B ? 0 ,∴AC⊥A1B. (2)假设存在 ???? ???? ???? ???? 【考点深度剖析】 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点, 内容以解答题为主, 主要围绕考查空间直角 坐标系的建立、 空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题, 以多面体为载体、 证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向. 【经典例题精析】 考点 1 利用空间向量证明平行问题 【1-1】如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求证: MN∥平面 A1BD. 【答案】MN∥平面 A1BD. 【解析】证明:法一 如图所示,以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1, Ziyuanku.com 1? ?1 ? 则 M? ?0,1,2?,N?2,1,1?,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0), 1 1? → 于是MN=? ?2,0,2?, 【1-2】(1)如图所示,在长方体 OAEB-O1A1E1B1 中,|OA|=3,|OB|=4,|OO1|=2,点 P 在 棱 AA1 上,且|AP|=2|PA1|,点 S 在棱 BB1 上,且|SB1|=2|BS|,点 Q、R 分别是 O1B1、AE 的 中点,求证:PQ∥RS. 【答案】PQ∥RS 【解析】证明:方法一,如图所示,建立空间直角坐标系,则 A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2), A1(3,0,2), 【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 → ①直线的方向向量:l 是空间一直线,A,B 是直线 l 上任意两点,则称AB为直线 l 的方向向 → 量,与AB平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量. ②平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α 的法向 ?n· a=0, ? 量,则求法向量的方程组为? ?n· b=0. ? 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)? v1∥v2. ②设直线 l 的方向向量为 v,与平面 α 共面的两个不共线向量 v1 和 v

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