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用样本的频率分布估计整体分布


2.2

用样本估计总体

2.2.1用样本的频率分布估计总体分布 第一课时

问题提出

1.随机抽样有哪几种基本的抽样方法?
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 2.随机抽样是收集数据的方法,如何通 过样本数据所包含的信息,估计总体的 基本特征,即用样本估计总体,是我们 需要进一步学习的内容.

3.高一某班有50名学生,在数学必 修②结业考试后随机抽取10名,其考试 成绩如下: 82, 75, 61, 93, 62, 55, 70, 68, 85, 78. 如果要求我们根据上述抽样数据, 估计该班对数学模块②的总体学习水平, 就需要有相应的数学方法作为理论指导, 本节课我们将学习用样本的频率分布估 计总体分布.

知识探究(一):频率分布表

【问题】 我国是世界上严重缺水的国家 之一,城市缺水问题较为突出,某市政 府为了节约生活用水,计划在本市试行 居民生活用水定额管理,即确定一个居 民月用水量标准a,用水量不超过a的部 分按平价收费,超出a的部分按议价收费. 通过抽样调查,获得100位居民2007年的 月均用水量如下表(单位:t):

3.1 3.4 3.2 3.3 3.2 3.0 2.5 2.6 2.5 2.8

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5

2.0 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.3 2.4 2.3 2.2

2.0 2.2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.3 2.1 2.1 2.0

1.5 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5

1.0 1.2 1.2 1.3 1.4 1.3 1.3 1.4 1.0 1.0

1.6 0.2 3.7 3.6 3.5 1.4 1.3 1.2 1.0 1.2

1.8 0.4 1.5 1.7 1.9 1.8 1.6 1.5 1.7 1.8

1.9 0.3 0.5 0.6 0.8 0.7 0.9 0.5 0.8 0.6

1.6 0.4 3.8 4.1 4.3 2.0 2.3 2.4 2.4 2.2

思考1:上述100个数据中的最大值和最 小值分别是什么?由此说明样本数据的 变化范围是什么? 0.2~4.3
思考2:样本数据中的最大值和最小值 的差称为极差.如果将上述100个数据 按组距为0.5进行分组,那么这些数据 共分为多少组?

(4.3-0.2)÷0.5=8.2

思考3:以组距为0.5进行分组,上述100 个数据共分为9组,各组数据的取值范围 可以如何设定?

[0,0.5),[0.5,1),[1,1.5), …,[4,4.5].
思考4:如何统计上述100个数据在各组 中的频数?如何计算样本数据在各组中 的频率?你能将这些数据用表格反映出 来吗?

分 组 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4) [4,4.5] 合计

频数 4 正 8 正 正 正 15 正 正 正 正 22 正 正 正 正 正 25 正 正 14 正 一 6 4 2 100

频数累计

频率 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 1.00

思考5:上表称为样本数据的频率分布表, 由此可以推测该市全体居民月均用水量 分布的大致情况,给市政府确定居民月 用水量标准提供参考依据,这里体现了 一种什么统计思想?
用样本的频率分布估计总体分布.

思考6:如果市政府希望85%左右的居民每 月的用水量不超过标准,根据上述频率分 布表,你对制定居民月用水量标准(即a的 取值)有何建议? 88%的居民月用水量在3t以下,可建议取a=3. 思考7:在实际中,取a=3t一定能保证85%以 上的居民用水不超标吗?哪些环节可能会导 致结论出现偏差? 分组时,组距的大小可能会导致结论出现偏 差,实践中,对统计结论是需要进行评价的.

思考8:对样本数据进行分组,其组数 是由哪些因素确定的?
思考9:对样本数据进行分组,组距的确定没 有固定的标准,组数太多或太少,都会影响 我们了解数据的分布情况.数据分组的组数与 样本容量有关,一般样本容量越大,所分组 数越多.按统计原理,若样本的容量为n,分 组数一般在(1+3.3lgn)附近选取.当样本容 量不超过100时,按照数据的多少,常分成 5~12组.若以0.1或1.5为组距对上述100个样 本数据分组合适吗?

思考10:一般地,列出一组样本数据的频率 分布表可以分哪几个步骤进行? 第一步,求极差. (极差=样本数据中最大值与最小值的差) 第二步,决定组距与组数. (设k=极差÷组距,若k为整数,则组 数=k,否则,组数=k+1)

第三步,确定分点,将数据分组.
第四步,统计频数,计算频率,制成表格. (频数=样本数据落在各小组内的个数, 频率=频数÷样本容量)

知识探究(二):频率分布直方图
思考1:为了直观反映样本数据在各组中 的分布情况,我们将上述频率分布表中 的有关信息用下面的图形表示:
频率 组距

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

宽度:组距
高度:
频率 组距

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

上图称为频率分布直方图,其中横轴 表示月均用水量,纵轴表示频率/组距. 频率分布直方图中各小长方形的和高 度在数量上有何特点?

思考2:频率分布直方图中各小长方形的 面积表示什么?各小长方形的面积之和 为多少?
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

各小长方形的面积=频率 各小长方形的面积之和=1

思考3:频率分布直方图非常直观地表明 了样本数据的分布情况,使我们能够看 到频率分布表中看不太清楚的数据模式, 但原始数据不能在图中表示出来.你能根 据上述频率分布直方图指出居民月均用 水量的一些数据特点吗?
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

(1)居民月均用水量的分布是“山峰”状的,而 且是“单峰”的;
(2)大部分居民的月均用水量集中在一个中间值 附近,只有少数居民的月均用水量很多或很少; (3)居民月均用水量的分布有一定的对称性等.

思考4:样本数据的频率分布直方图是 根据频率分布表画出来的,一般地,频 率分布直方图的作图步骤如何? 第一步,画平面直角坐标系. 第二步,在横轴上均匀标出各组分点, 在纵轴上标出单位长度.

第三步,以组距为宽,各组的频率与 组距的商为高,分别画出各组对应的 小长方形.

思考5:对一组给定的样本数据,频率分 布直方图的外观形状与哪些因素有关? 在居民月均用水量样本中,你能以1为组 距画频率分布直方图吗?

与分组数(或组距)及坐标系的单位长 度有关. 频率
0.4 0.3 0.2 0.1
O

组距

1

2

3

4

5 月均用水量/t

理论迁移
例 某地区为了了解知识分子的年龄结构, 随机抽样50名,其年龄分别如下: 42,38,29,36,41,43,54,43,34,44, 40,59,39,42,44,50,37,44,45,29, 48,45,53,48,37,28,46,50,37,44, 42,39,51,52,62,47,59,46,45,67, 53,49,65,47,54,63,57,43,46,58. (1)列出样本频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计年龄在32~52岁的知识分子所占的比例 约是多少.

(1)极差为67-28=39,取组距为5,分为8组.
样本频率分布表: 分 组 [27,32) [32,37) [37,42) [42,47) [47,52) [52,57) [57,62) [62,67) 合 计 频数 3 3 9 16 7 5 4 3 50 频率 0.06 0.06 0.18 0.32 0.14 0.10 0.08 0.06 1.00

(2)样本频率分布直方图:
频率 组距

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
O 27 32 37 42 47 52 57 62 67 年龄

(3)因为0.06+0.18+0.32+0.14=0.7, 故年龄在32~52岁的知识分子约占70%.

小结作业
1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围 内所占比例的大小,总体分布是指总体取值 的频率分布规律.我们通常用样本的频率分 布表或频率分布直方图去估计总体的分布.

2.频率分布表和频率分布直方图,是对相同 数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变 数据的排列方式和构成形式,可展示数据的 分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息, 又可以利用图形传递信息.

3.样本数据的频率分布表和频率分布直方 图,是通过各小组数据在样本容量中所占 比例大小来表示数据的分布规律,它可以 让我们更清楚的看到整个样本数据的频率 分布情况,并由此估计总体的分布情况.


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