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内蒙古赤峰二中2015-2016学年高二数学上学期第二次月考试题 理

高二上学期第二次月考理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的 1 由曲线 y ? x2 , y ? x3 围成的封闭图形面积为( A. )

1 12

B

1 4

C.

1 3

D.

7 12
) D.-

2.曲线 y= A.1

1 2 3 x ? 2 在点(1,- )处切线的倾斜角为( 2 2 ? 5? B. C. 4 4


? 4

3.下列说法正确的是(

A 若 f ?( x0 ) 不存在,则曲线 y ? f ( x) 在点 ? x0 , f ( x0 ) ? 处就没有切线; B 若曲线 y ? f ( x) 在点 ? x , f ( x ) ? 有切线,则 f ?( x0 ) 必存在; 0 0

C 若 f ?( x ) 不存在,则曲线 y ? f ( x) 在点 ? x , f ( x ) ? 处的切线斜率不存在; 0 0 0
D 若曲线 y ? f ( x) 在点 ? x , f ( x ) ? 处的切线斜率不存在,则曲线在该点处没有切线。 0 0
4.下列求导运算正确的是( A.(x+ ) ? ? 1 ? C.(3 )? =3 log3e
x x

) B.(log2x )? =
2

1 x

1 x2

1 x ln 2

D.(x cosx )? =-2xsinx ( )

5 函数 f ( x) ? ax ? x ? 1有极值的充要条件是
3

A. a ? 0

B. a ? 0
3

C. a ? 0

D. a ? 0

6.函数 f(x)=loga(x -ax) (a>0 且 a≠1)在区间 (? A. ? ,1? ?4 ?
?

1 ,0) 内单调递增,则 a 的取值范围是( 2
D. ?1, ?



?1 ?

B. ? ,1?

?3 ? ?4 ?

C. ? ,?? ?

?9 ?4

? ?

? 9? ? 4?

7

? ? (sin x ? cos x)dx 的值为(
2 ? 2



A.0

B.

? 4

C. 2

D.4

8 如果复数

m2 ? i 是实数,则实数 m ? ( 1? mi

)

1

A. ? 1

B 1

C?

2

D. 2

9 在用数学归纳法证明不等式 时,不等式左边应增加 ( )

的过程中,当由 n=k 推到 n=k+1

A 增加了一项

1 2(k ? 1)
1 k ?1

B 增加了两项

1 1 ? 2k ? 1 2k ? 2

C 增加了 B 中的两项但减少了一项

D 以上都不对 )

10.已知函数 y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式 xf′(x)<0 的解集为(

1 1 A.(-∞, )∪( ,2) 2 2 1 1 C.(-∞, ∪( ,+∞) 2 2

1 B.(-∞,0)∪( ,2) 2 1 D.(-∞, )∪(2,+∞) 2

11.设 F ( x) ? f ( x) g ( x) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) ? 0 ,且 g (2) ? 0 ,则 不等式 F ( x) ? 0 的解集是( A. (?2, 0) ? (2, ??) C. (??, ?2) ? (2, ??) ) B. (?2, 0) ? (0, 2) D. (??, ?2) ? (0, 2)

' 12 已知定义在 R 上的可导函数 f ( x) 满足: f ( x) ? f ( x) ? 0 ,则

f (m ? m 2 ) em
2

? m ?1

与 f (1) 的大小关系是

( (A)



f (m ? m 2 ) em
2

? m ?1

> f (1) (B)

f (m ? m 2 ) em
2

? m ?1

< f (1) (C)

f (m ? m 2 ) em
2

? m ?1

= f (1) (D) 不确定

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13 若 z1 ? a ? 2i, z 2 ? 3 ? 4i, 且

z1 为纯虚数,则实数 a 的值为 ______. z2
2

14 已知 a , b 是不相等的正数, x ?

a? b 2

, y ? a ? b ,则 x, y 的大小关系是 ______

15.同住一间寝室的四名女生,她们当中有一人在修指甲,一人在看书,一人在梳头发,另一人在听音乐。 ①A 不在修指甲,也不在看书 ②B 不在听音乐,也不在修指甲 ③如果 A 不在听音乐,那么 C 不在修指甲 ④D 既不在看书,也不在修指甲⑤C 不在看书,也不在听 音乐 若上面的命题都是真命题,问她们各在做什么? A在 B在 C在 D在 . 16 已知 f ( x) ? x ? x ln x ,若 k ? Z 且 k ( x ? 2) ? f ( x) 对任意 x>2 恒成立,则 k 的最大值为

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17(本题满分 10 分)已知实数 a ? 0, b ? 0, c ? R, 求证: a(b ? c ) ? b(a ? c ) ? 4abc 。
2 2 2 2

18 (本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax ? bx ? 2 x ? c 在 x ? ?2 时有极大值 6,在 x ? 1 时有极小值,求 a, b, c 的值;并求
3 2

f ( x) 在区间[-3,3]上的最大值和最小值.
19.(本题满分 12 分)
2 2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0, b 、 c ? R) ,曲线 y ? f ( x) 经过点 P(0, 2a ? 8) ?x 且在点 Q(?1, f (?1)) 处的切线垂直于 y 轴,设 g ( x) ? ( f ( x) ?16) ? e 。

(I)用 a 分别表示 b 和 c ; (Ⅱ)当

c 取得最小值时,求函数 g ( x) 的单调递增区间。 b
2 2

20、(本题满分 12 分) 当 x ? (0, e] 时,证明 e x ?

5 x ? ( x ? 1) ln x 。 2
2

21(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? ln x, a ? R ; (1)若函数 f ( x) 在 [1,2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g ( x) ? f ( x) ? x ,是否存在实数 a ,当 x ? (0, e]( e 是自然常数)时,函数 g ( x) 的最小值是 3 ,
2

若存在,求出 a 的值,若不存在,说明理由 22. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x -x),其中 a∈R. (1)讨论函数 f(x)极值点的个数,并说明理由; (2)若? x>0,f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围.
3
2

答案一 ABCBC BCACB 二_8/3_; y>x_;
2 2

DA A 听音乐 B 在看书 C 修指甲 D 在梳头发;
2 2

4

三 17 证明:由 b ? c ? 2bc, a ? 0 ,可知 a(b ? c ) ? 2abc ; 由 a2 ? c2 ? 2ac, b ? 0 ,可知 b(a2 ? c2 ) ? 2abc ; 同向不等式相加即可得证。

? 18 解:(1) f ( x) ? 3ax ? 2bx ? 2, 由条件知
2

? f ?(?2) ? 12a ? 4b ? 2 ? 0, 1 1 8 ? 解得a ? , b ? , c ? . ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? 2 ? 0, 3 2 3 ? f (?2) ? ?8a ? 4b ? 4 ? c ? 6. ?
f ( x) ?
(2) x -3

1 3 1 2 8 x ? x ? 2 x ? , f ?( x) ? x 2 ? x ? 2, 3 2 3
(-3,-2) + -2 0 6 (-2,1) - ↘ 1 0 (1,3) + ↗ 3

f ?( x) f ( x)

1 46



3 2

1 10 6

1 3 f max ? 10 , f min ? . 6 x ? 1 时, 2 由上表知,在区间[-3,3]上,当 x ? 3 时, 2 2 19.解:(I)? 经过点 P(0, 2a ? 8) ? c ? 2a ? 8 ; 由切线垂直于 y 轴可知 f '(?1) ? 0 ,从而有 ?2a ? b ? 0 , ? b ? 2a
(Ⅱ)因为 a ? 0, 而

c 2a 2 ? 8 4 4 4 ? ? a ? ? 2 a ? ? 4 , 当且仅当 a ? ,即 a ? 2 时取得等号。 a b 2a a a 2 ?x 2 ?x ? f ( x) ? 2x ? 4x ? 16, g ( x) ? ( f ( x) ?16) ? e ? (2 x ? 4 x)e ?x 因为 e ? 0 g '( x) ? (4 x ? 4)e? x ? (2 x2 ? 4x)e? x (?1) ? e? x (4 ? 2 x2 )

? g '( x) ? 0 时 g ( x) 为单调递增函数,即 (? 2, 2) 为单调递增区间 ln x 5 1 ? ln x ? , x ? (0, e] , ? ?( x) ? 20 令 F ( x) ? e 2 x ? ln x 由(2)知 F ( x) min ? 3 令 ? ( x) ? x 2 x2 1 5 1 5 当 x ? (0, e] 时, ? ?( x) ? 0 f ( x) 在 (0, e] 上单调递增∴ ? ( x) max ? ? (e) ? ? ? ? ? 3 e 2 2 2 ln x 5 2 ? ∴ e x ? ln x ? x 2 5 2 2 即 e x ? x ? ( x ? 1) ln x … … … …12 分 2 1 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 [1,2] 上恒成立 21、解: f ?( x) ? 2 x ? a ? ? x x 2 令 h( x) ? 2 x ? ax ? 1, x ? [1,2] ∴ h( x) ? 0 在 [1,2] 上恒成立

? a ? ?1 ?h(1) ? 1 ? a ? 0 ? ∴? 得? 7 ?h(2) ? 7 ? 2a ? 0 ?a ? ? 2 ? 7 ∴a ? ? 2 2 (2)假设存在实数 a ,使 g ( x) ? f ( x) ? x , x ? (0, e] 有最小值 3 1 ax ? 1 g ?( x) ? a ? ? g ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e] x x

… … … …4 分

… … … …5 分

… … … …6 分

4

①当 a ? 0 时, g ( x) 在 (0, e] 上单调递减, g ( x) min ? g (e) ? ae ? 1 ? 3 ②当 0 ?

∴a ?

4 舍去 e

1 1 1 1 ? e 即 a ? 时, g ( x) 在 (0, ] 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a e a a 1 ∴ g ( x) min ? g ( ) ? 1 ? ln a ? 3 ∴ a ? e 2 满足条件 a 1 1 ③当 ? e 即 0 ? a ? 时, g ( x) 在 (0, e] 上单调递减 a e 4 1 g ( x) min ? g (e) ? ae ? 1 ? 3 ∴ a ? ? 舍去 e e 2 综上所述,存在 a ? e 使得当 x ? (0, e] 时, g ( x) 有最小值 3 … … … …12 分
22.解:(1)由题意知,函数 f(x)的定义域为(-1,+∞), 2 1 2ax +ax-a+1 f′(x)= +a(2x-1)= . x+1 x+1 2 令 g(x)=2ax +ax-a+1,x∈(-1,+∞). (i)当 a=0 时,g(x)=1, 此时 f′(x)>0,函数 f(x)在(-1,+∞)上单调递增,无极值点. 8 2 (ii)当 a>0 时,Δ =a -8a(1-a)=a(9a-8).①当 0<a≤ 时,Δ ≤0,g(x)≥0, 9 f′(x)≥0,函数 f(x)在(-1,+∞)上单调递增,无极值点. 8 2 ②当 a> 时,Δ >0,设方程 2ax +ax-a+1=0 的两根为 x1,x2(x1<x2), 9 1 1 1 1 因为 x1+x2=- ,所以 x1<- ,x2>- ,由 g(-1)=1>0,可得-1<x1<- . 2 4 4 4 所以当 x∈(-1,x1)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增.因此,函数有两个极值点. (iii)当 a<0 时,Δ >0,由 g(-1)=1>0,可得 x1<-1. 当 x∈(-1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减.所以,函数有一个极值点. 综上所述, 8 当 a<0 时,函数 f(x)有一个极值点;当 0≤a≤ 时,函数 f(x)无极值点; 9 8 当 a> 时,函数 f(x)有两个极值点. 9 8 (2)由(1)知,①当 0≤a≤ 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为 f(0)=0, 9 所以 x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意. 8 ②当 <a≤1 时,由 g(0)≥0,得 x2≤0,所以函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 9 又 f(0)=0,所以 x∈(0,+∞)时,f(x)>0, 符合题意. ③当 a>1 时,由 g(0)<0,可得 x2>0,所以 x∈(0,x2)时,函数 f(x)单调递减.因为 f(0)=0, 所以 x∈(0,x2)时,f(x)<0,不合题意. 1 x ④当 a<0 时,设 h(x)=x-ln(x+1).因为 x∈(0,+∞)时,h′(x)=1- = >0, x+1 x+1 所以 h(x)在(0,+∞)上单调递增.因此当 x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0,即 ln(x+1)<x, 1 2 2 2 可得 f(x)<x+a(x -x)=ax +(1-a)x,当 x>1- 时,ax +(1-a)x<0,

a

此时 f(x)<0,不合题意. 综上所述,a 的取值范围是[0,1].
5