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选修4-4参数方程高考题训练


选修 4-4 参数方程综合测试
海南 李传牛 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.曲线 ?
? x ? ? 2 ? 5t ? y ? 1 ? 2t ( t 为 参 数 ) 与坐标轴的交点是(

) .
5

( A. (0, )、 , 0 ) 5 2

2

1

( B. (0, )、 , 0 ) 5 2

1

1

(8, C. (0, ? 4)、 0)

(8, D. (0, )、 0 ) 9

2.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是(
1 ? 2 ?x ? t A. ? 1 ? ? y ?t 2 ?

) .
? x ? tan t ? D. ? 1 ?y ? tan t ?

? x ? sin t ? B. ? 1 ?y ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 ?y ? cos t ?

3.若直线的参数方程为 ?
2 3

? x ? 1 ? 2t ? y ? 2 ? 3t

( t 为 参 数 ) ,则直线的斜率为(

) .

A.

B. ?

2 3

C.

3 2

D. ?

3 2

4.点 (1, 2) 在圆 ? A.内部

? x ? ? 1 ? 8 co s ? ? y ? 8 sin ?

的(

) . D.与θ 的值有关

B.外部

C.圆上

1 ? ?x ? t ? 5.参数方程为 ? t ( t 为 参 数 ) 表示的曲线是( ?y ? 2 ?

) .

A.一条直线

B.两条直线

C.一条射线

D.两条射线 ) . D.内含 ) .

? x ? ? 3 ? 2 cos ? ? x ? 3 cos ? 6.两圆 ? 与? 的位置关系是( ? y ? 4 ? 2 sin ? ? y ? 3 sin ?

A.内切 7.与参数方程为 ?
?x ? ? t

B.外切

C.相离

?y ? 2 1? t ?

( t 为 参 数 ) 等价的普通方程为(

A. x ?
2

y

2

?1

B. x ?
2

y

2

? 1(0 ? x ? 1)

4 y
2

4 y
2

C. x ?
2

? 1(0 ? y ? 2 )

D. x ?
2

? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 )

4

4

8.曲线 ?

? x ? 5 cos ? ? ( ? ? ? ? ) 的长度是( ? y ? 5 sin ? 3

) .
10 ? 3

A. 5?

B. 10 ?
2 2

C.

5? 3

D.

9.点 P ( x , y ) 是椭圆 2 x ? 3 y ? 1 2 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为( A. 2 2 B. 2 3 C. 1 1 D. 2 2

) .

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 2 2 10.直线 ? ( t 为 参 数 ) 和圆 x ? y ? 1 6 交于 A , B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2

则 A B 的中点坐标为( A. (3, ? 3)

) . C. ( 3 , ? 3)
? x ? 4t 2 ? y ? 4t

B. ( ? 3 , 3)

D. (3, ? 3 ) ) .

11.若点 P (3, m ) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? A. 2 12.直线 ? B. 3
? x ? ?2 ? t ?y ? 1? t

( t 为 参 数 ) 上,则 | P F | 等于(

C. 4
2

D. 5
2

( t 为 参 数 ) 被圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 25 所截得的弦长为(

) .

A. 9 8

B. 4 0

1 4

C. 8 2

D. 9 3 ? 4 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.参数方程 ?
? x ? et ? e?t ? ? y ? 2(e ? e ) ?
t ?t

( t 为 参 数 ) 的普通方程为__________________.

14.直线 ?

? x ? ?2 ? ? ?y ? 3? ?

2t 2t

( t 为 参 数 ) 上与点 A ( ? 2, 3) 的距离等于

2 的点的坐标是_______.

15.直线 ?

? x ? t co s ? ? y ? t sin ?

与圆 ?

? x ? 4 ? 2 co s ? ? y ? 2 sin ?
2 2

相切,则 ? ? _______________.

16.设 y ? tx ( t 为 参 数 ) ,则圆 x ? y ? 4 y ? 0 的参数方程为____________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 求直线 l1 : ?
?x ? 1? t ? ? y ? ?5 ? ? 3t ( t 为 参 数 ) 和直线 l 2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P

与 Q (1, ? 5) 的距离.

18. (本小题满分 12 分) 过点 P (
10 2 , 0 ) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x ? 1 2 y ? 1 交于点 M , N ,
2 2

求 | P M | ? | P N | 的值及相应的 ? 的值. 19. (本小题满分 12 分) 已知 ? A B C 中, A ( ? 2, 0), B (0, 2), C (cos ? , ? 1 ? sin ? ) ( ? 为变数), 求 ? A B C 面积的最大值. 20. (本小题满分 12 分)已知直线 l 经过点 P (1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程. (2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A , B ,求点 P 到 A , B 两点的距离之积.
2 2

?
6



21. (本小题满分 12 分)
1 t ? ?t x ? ( e ? e ) co s ? ? ? 2 分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: 1 t ?t ? y ? ( e ? e ) sin ? ? ? 2

(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数. 22. (本小题满分 12 分) 已知直线 l 过定点 P ( ? 3, ?
? x ? 5 co s ? (? 为 参 数 ) 相交于 A 、 B 两点. ) 与圆 C : ? 2 ? y ? 5 sin ?
3

求: (1)若 | A B |? 8 ,求直线 l 的方程; (2)若点 P ( ? 3, ? 答案与解析: 1.B 当 x ? 0 时, t ? 当 y ? 0 时, t ? 2.D 3.D 4.A
2 5 1 2 3 2 1 5 1 ) 为弦 A B 的中点,求弦 A B 的方程.

,而 y ? 1 ? 2 t ,即 y ?

,得与 y 轴的交点为 (0 , ) ;
5 1 2

,而 x ? ? 2 ? 5 t ,即 x ?

,得与 x 轴的交点为 ( , 0 ) .
2

1

xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制.

k ?

y?2 x ?1

?

? 3t 2t

? ?

3 2


2 2

∵点 (1, 2) 到圆心 ( ? 1, 0) 的距离为 (1 ? 1) ? 2 ? 2 2 ? 8 (圆半径) ∴点 (1, 2) 在圆的内部.

5.D

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或 x ? ? 2 ,所以表示两条射线.

6.B 两圆的圆心距为 ( ? 3 ? 0 ) ? ( 4 ? 0 ) ? 5 ,两圆半径的和也是 5 ,因此两圆外切.
2 2

7.D

x ? t,
2

y

2

? 1? t ? 1? x , x ?
2 2

y

2

? 1, 而 t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得 0 ? y ? 2 .

4

4
2 2

8.D

曲线是圆 x ? y ? 2 5 的一段圆弧,它所对圆心角为 ? ? 所以曲线的长度为
x
2

?
3

?

2? 3



10 ? 3



9.D

椭圆为

?

y

2

? 1 ,设 P ( 6 co s ? , 2 sin ? ) ,

6

4

x ? 2y ?
1 2

6 co s ? ? 4 sin ? ?
3 2

2 2 sin (? ? ? ) ?

22 .
t1 ? t 2 2

10.D

(1 ?

t) ? (?3 3 ?
2

t ) ? 1 6 ,得 t ? 8 t ? 8 ? 0 , t1 ? t 2 ? 8,
2
2

? 4,

1 ? ?x ? 1? 2 ? 4 ?x ? 3 ? ? 中点为 ? . ? ? 3 ?y ? ? 3 ? ? y ? ?3 3 ? ?4 ? ? 2
| 11. 抛物线为 y ? 4 x , C 准线为 x ? ? 1 , P F | 为 P (3, m ) 到准线 x ? ? 1 的距离, 即为 4 .
2

12.C

? 2 ? x ? ? 2 ? 2t ? x ? ?2 ? t ? x ? ?2 ? t ? ? 2 ,把直线 ? ? ? ? ?y ?1? t 2 ?y ? 1? t ? y ? 1 ? 2t ? ? ? 2

代入 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 25 ,得 ( ? 5 ? t ) ? (2 ? t ) ? 2 5, t ? 7 t ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2 2

| t1 ? t 2 | ?

( t1 ? t 2 ) ? 4 t 1 t 2 ?
2

4 1 ,弦长为

2 | t1 ? t 2 | ?

82 .

13.

x

2

?

y

2

? 1, ( x ? 2 )

4

16

y ? t ? x ? et ? e?t x? ? 2e ? y y ? ? 2 ? ? ? (x ? )x? ( ? ) ?y t ?t 2 2 ? ?e ?e ? x ? y ? 2e?t ?2 ? ? 2
1 2 2 2

. 4

14. ( ? 3, 4) ,或 ( ? 1, 2)
?
6

(?

2t ) ? ( 2t ) ? ( 2 ) , t ?
2 2 2 2

,t ? ?



15.

,或

5? 6

直线为 y ? x tan ? ,圆为 ( x ? 4) ? y ? 4 ,作出图形,相切时,
2 2

易知倾斜角为
4t ? ?x ? 1? t2 ? 16. ? 2 ? y ? 4t 2 ? 1? t ?

?
6

,或

5? 6



x ? ( tx ) ? 4 tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ,或 x ?
2 2

4t 1? t
2



4t ? ?x ? 1? t2 4t ? 而 y ? tx ,即 y ? ,得 ? . 2 2 1? t 4t ?y ? 2 ? 1? t ?
2

17.解:将 ?

?x ? 1? t ? ? y ? ?5 ? ? 3t

,代入 x ? y ? 2 3 ? 0 ,得 t ? 2 3 ,

得 P (1 ? 2 3 ,1) ,而 Q (1, ? 5) , 得 | P Q |?
(2 3 ) ? 6
2 2

?4 3.

? 10 ? t co s ? ?x ? ( t 为 参 数 ) ,代入曲线 18.解:设直线为 ? 2 ? y ? t sin ? ?

并整理得 (1 ? sin ? ) t ? ( 1 0 co s ? ) t ?
2 2

3 2

?0,

3

则 | P M | ? | P N | ? | t1 t 2 | ?
2

2 , 2 1 ? sin ?

所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ?

?
2

, | P M | ? | P N | 的最小值为

3 4

,此时 ? ?

?
2



19.解:设 C 点的坐标为 ( x , y ) ,则 ?

? x ? co s ? ? y ? ? 1 ? sin ?



即 x ? ( y ? 1) ? 1 为以 (0, ? 1) 为圆心,以 1 为半径的圆.
2 2

∵ A ( ? 2, 0), B (0, 2) , ∴ | A B |?
4?4 ? 2 2,

且 A B 的方程为

x ?2

?

y 2

? 1,

即x? y ? 2 ? 0,

则圆心 (0, ? 1) 到直线 A B 的距离为

| ? ( ? 1) ? 2 | 1 ? ( ? 1)
2 2

?

3 2

2 .

∴点 C 到直线 A B 的最大距离为 1 ? ∴ S ? A B C 的最大值是
1 2 ? 2 2 ? (1 ? 3 2

3 2

2 , 2) ? 3? 2 .

? ? ? 3 x ? 1 ? t co s t ?x ? 1? ? ? ? 6 2 , 20.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ?y ? 1? 1 t ? y ? 1 ? t sin ? ? ? 6 ? ? 2

? 3 t ?x ? 1? ? 2 ,代入 x 2 ? y 2 ? 4 , (2)把直线 ? ?y ? 1? 1 t ? ? 2
3 2 1 2

得 (1 ?

t ) ? (1 ?
2

t ) ? 4, t ? ( 3 ? 1) t ? 2 ? 0 ,
2 2

t1t 2 ? ? 2 ,则点 P 到 A , B 两点的距离之积为 2 .

21.解: (1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且 y ? 0 ; 当 t ? 0 时, co s ? ?
x 1 2 (e ? e )
t ?t

, sin ? ?

y 1 2 (e ? e )
t ?t



而 x ? y ? 1,
2 2



x 1 4
t

2

?
?t 2

y 1 4
t

2

? 1;
?t 2

(e ? e )

(e ? e )

(2)当 ? ? k ? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ? 当? ? k ? ?
?
2

1 2

( e ? e ) ,即 x ? 1, 且 y ? 0 ;
t

?t

, k ? Z 时, x ? 0 , y ? ?

1 2

( e ? e ) ,即 x ? 0 ;
t

?t

2x ? t ?t e ?e ? ? ? co s ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? , 2 2y t ?t ?e ? e ? ? sin ? ?
k?

2x 2y ? t 2e ? ? ? 2x 2y 2x 2y ? co s ? sin ? t ?t ? )( ? ), 即? ,得 2 e ? 2 e ? ( co s ? sin ? co s ? sin ? ?2e?t ? 2 x ? 2 y ? co s ? sin ? ?
x
2 2



co s ?

?

y

2 2

sin ?

?1.

22.解: (1)由圆 C 的参数方程 ?

? x ? 5 co s ? ? y ? 5 sin ?

? x ? y ? 25 ,
2 2

? x ? ? 3 ? t co s ? ? ( t为 参 数 ) , 设直线 l 的参数方程为① ? 3 ? y ? ? ? t sin ? ? 2

将参数方程①代入圆的方程 x ? y ? 2 5
2 2

得 4 t ? 12(2 cos ? ? sin ? ) t ? 55 ? 0 ,
2

∴△ ? 16[9(2 cos ? ? sin ? ) ? 55] ? 0 ,
2

所以方程有两相异实数根 t1 、 t 2 , ∴ | A B | ? | t1 ? t 2 | ?
2

9 ( 2 co s ? ? sin ? ) ? 5 5 ? 8 ,
2

化简有 3 cos ? ? 4 sin ? cos ? ? 0 , 解之 cos ? ? 0 或 tan ? ? ?
3 4



从而求出直线 l 的方程为 x ? 3 ? 0 或 3 x ? 4 y ? 15 ? 0 . (2)若 P 为 A B 的中点,所以 t1 ? t 2 ? 0 , 由(1)知 2 cos ? ? sin ? ? 0 ,得 tan ? ? ? 2 , 故所求弦 A B 的方程为 4 x ? 2 y ? 15 ? 0( x ? y ? 25) .
2 2

备用题: 1.已知点 P ( x 0 , y 0 ) 在圆 ?
? x ? 3 ? 8 co s ? ? y ? ? 2 ? 8 sin ?

上,则 x 0 、 y 0 的取值范围是(

) .

A. ? 3 ? x 0 ? 3, ? 2 ? y 0 ? 2

B. 3 ? x 0 ? 8, ? 2 ? y 0 ? 8 C. ? 5 ? x 0 ? 11, ? 10 ? y 0 ? 6 D.以上都不对 1.C 由正弦函数、余弦函数的值域知选 C. 2.直线 ?
? x ? 1 ? 2t ?y ? 2?t ( t 为 参 数 ) 被圆 x ? y ? 9 截得的弦长为(
2 2

) .

A.

12 5

B.

12 5

5

C.
5t ? 5t ? 2 5 1 5
2

9 5

5

D.

9 5

10

2.B

? x ? 1? ? ? x ? 1 ? 2t ? ? ? ? ?y ? 2?t ?y ? 1? ? ?
2 2 2

,把直线 ?

? x ? 1 ? 2t ?y ? 2?t

代入

x ? y ? 9 得 (1 ? 2 t ) ? (2 ? t ) ? 9, 5 t ? 8 t ? 4 ? 0 ,
2

| t1 ? t 2 | ?

( t1 ? t 2 ) ? 4 t 1 t 2 ?
2

(?

8 5

) ?
2

16 5

?

12 5

,弦长为 5 | t1 ? t 2 |?

12 5

5 .

3.已知曲线 ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

( t 为 参 数 , p 为 正 常 数 ) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1 和 t 2 , ,

且 t1 ? t 2 ? 0 ,那么 | M N |? _______________. 4 3. p | t1 | | 显然线段 M N 垂直于抛物线的对称轴, x 轴, M N |? 2 p | t1 ? t 2 |? 2 p | 2 t1 | . 即
? x ? co s ? (sin ? ? co s ? ) ? y ? sin ? (sin ? ? co s ? )
y x ? tan ? ,则

4.参数方程 ?

(? 为 参 数 ) 表示什么曲线?

4.解:显然

y x

2 2

?1 ?

1 co s ?
2

, co s ? ?
2

1 y x
2 2



?1

x ? co s ? ? sin ? co s ? ?
2

1 2

sin 2? ? co s ? ?
2

1 2

?

2 tan ? 1 ? tan ?
2

? co s ? ,
2

即x ?

1 2

2 ? 1?
2

y x ? 2 y x
2

y 1 1? y x
2 2

?1 y x
2 2

? x 1?

, x (1 ?

y x

2 2

)?

y x

?1,

得x ?

y

?

y x

?1,

x

即x ? y ? x? y ? 0.
2 2

5.已知点 P ( x , y ) 是圆 x ? y ? 2 y 上的动点,
2 2

(1)求 2 x ? y 的取值范围; (2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
? x ? co s ? ? y ? 1 ? sin ?

5.解: (1)设圆的参数方程为 ?



2 x ? y ? 2 cos ? ? sin ? ? 1 ?

5 sin(? ? ? ) ? 1 ,

∴? 5 ?1 ? 2x ? y ?

5 ?1.

(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0 , ∴ a ? ? (co s ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin (? ? 即a ?
2 ?1.

?
4

) ? 1 恒成立,

作 者 李传牛 工作单位 海南省海口市第十四中学 联系手机 13976611338 E--MAIL lcn111@sohu.com

邮政编码 570311 QQ 交流 284682392


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