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杭州二中2013学年第二学期高三年级适应性考试数学卷(文科)


杭州二中 2013 学年第二学期高三年级适应性考试数学卷(文科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸 规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 2 1.已知全集 U=R,则正确表示集合 M={﹣1,0,1}和 N={x|x +x=0}关系的韦恩(Venn)图是( )

A. B. C. 2.如图几何体的主(正)视图和左(侧)视图都正确的是(

D. )

3. i 是虚数单位,若

,则 z 等于(



A.

B.

C. )

D.2

4.在数列 ?an ? 中,“ n ? 2, an ? 2an?1 ”是“ ?an ? 是公比为 2 的等比数列”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题正确 的是( )

A.若 m∥? , n∥? ,则 m∥ n B.若 ?∥? , m ? ? , n ? ? ,则 m∥ n C.若 ?

? ? m, n ? ? ,则 n ? ?

D.若 m ? ? , m∥n, n ? ? ,则 ? ? ? 6.图中, x1 , x2 , x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分, p 为 该题的最终得分,当 x1 ? 6 , x2 ? 9 , p ? 8.5 时, x3 等于( )

(A)11

(B)10

(C)8

(D)7 7.已知函数 的图象由 的图象向右平移

个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示, 则 的值为( A. 8.方程 ( x ? y ? 2x) x ? y ? 3 ? 0 表示的曲线是(
2 2

) B. ) D.一条直线 C. D.

A.一个圆和一条直线

B.一个圆和一条射线 C.一个圆

?1 ? x ? 1, x ? 1 9. 已知函数 f ( x) ? ? 4 , 则方程 f ( x) ? ax 恰有两个不同实数根时, 实数 a 的取值范围是 ( ? ?ln x, x ? 1
(注: e 为自然对数的底数)
3



A. (0, )

1 e

B. [ , )

1 1 4 e

C. (0, )

1 4

D. [ , e)

1 4

10.设直线 l 与曲线 f(x)=x +2x+1 有三个不同的交点 A、B、C,且︱AB︱=︱BC︱= 10 ,则直线 l 的方 程为( ) B.y=4x+1 C.y=3x+1 D.y= 3 x+1

A.y=5x+1

非选择题部分 (共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为

2 错误!未 2

找到引用源。的概率是 . 12.在学校的生物园中,甲同学种植了 9 株花苗,乙同学种植了 10 株花苗.测量出花苗高度的数据(单位: cm),并绘制成如图所示的茎叶图,则甲、乙两位同学种植的花苗高度的数据的中位数之和是 . 甲 9 4 3 1 0 1 2 3 7 乙 0 4 0 6 4 0 4 6 6 7

1 2 3 4

13.设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos ? ? ______. 14.已知函数 f ? x ? ? ?
2 ? ? x ? 3tx ? 18, x ? 3 * ,记 an ? f ? n ? ?n ? N ? ,若 ? ?? t ? 13? x ? 3, x ? 3

?an ? 是递减数列,则实数 t 的取值范围是______________.
15.已知 F1、F2 为双曲线

x2 y 2 ? =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F2 作 a 2 b2

此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为 M,且满足| MF 1 |=3| MF2 |,则此双曲线的渐近线方程为________. 16.已知 x ? 0, y ? 0 ,

1 2 ? ? 2 ,则 2 x ? y 的最小值为 x y ?1

.

17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,点 P 满足 AP ? (? ?1)OA(? ? R) ,且 25 9


OA ? OP ? 72 ,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 sin 2C ? 3 cos( A ? B ) ? 0 . (1)若 a ? 4, c ? 13 ,求 b 的长; (2)若 C ? A, A ? 60 , AB ? 5 ,求 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值.
0

19、(本题满分 14 分) 已知数列{ an }的前 n 项和 S n ? ? an ? ( )

1 2

n ?1

? 2 (n 为正整数)。

(1)令 bn ? 2n an ,求证数列{ bn }是等差数列,并求数列{ an }的通项公式; (2)令 cn ?

n ?1 an , Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ,求 Tn 并证明: Tn <3. n

20、(本题满分 14 分) 四棱锥 P ? ABCD 底面是菱形,

PA ? 平面ABCD , ?ABC ? 60? , E , F 分别是 BC, PC 的中点.
(1)求证:平面 AEF ⊥平面 PAD ;
? (2) H 是 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成的最大角为 45 ,求二面角 E ? AF ? C 的正切值.

21、(本题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? e x ? sin x, g ( x) ? x ? 2 ; (Ⅰ)求证:函数 y ? f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增; (Ⅱ)设 P( x1 , f ( x1 )), Q( x2 , g ( x2 ))( x1 ? 0, x2 ? 0) ,若直线 PQ∥x 轴,求 P,Q 两点间的最短距离.

22、(本题满分 15 分) 已知抛物线 C1:x =y,圆 C2:x +(y-4) =1 的圆心为点 M. (1)求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离; (2)已知点 P 是抛物线 C1 上一点(异于原点) ,过点 P 作圆 C2 的两条切线,交抛 物线 C1 于 A,B 两点,若过 M,P 两点的直线 l 垂直于 AB,求点 P 的坐标。

2

2

2

数学(文科)答案
一、选择题: 1. B 2. B 3. B 4. B 5. D 6. C ,所以 的点平移到 , 关于 , 7. A 【解析】函数 对称的直线为 所以 8. D 的图象在 轴右侧的第一个对称轴为

,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为 ,故应选 A.

【 解 析 】 由 ( x ? y ? 2x) x ? y ? 3 ? 0 可 得 , x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 或
2 2

x ? y ?3 ? 0 . 当

x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 时, x ? y ? 3 ? 0 .所以不成立;当 x ? y ? 3 ? 0 时曲线表示一条直线.
9. B 【解析】∵方程 f ( x) ? ax 恰有两个不同实数根,∴

y ? f ( x) 与 y ? ax 有 2 个交点,∵ a 表示直线 y ? ax 的
' 斜率,∴ y ?

1 1 ,设切点为 ( x0 , y0 ) , k ? ,所以切线 x x0

方程为 y ? y0 ? 线 l2 与 y ?

1 1 1 ( x ? x0 ) ,而切线过原点,所以 y0 ? 1 , x0 ? e , k ? ,所以直线 l1 的斜率为 ,直 e e x0

1 1 1 1 x ? 1 平行,所以直线 l2 的斜率为 ,所以实数 a 的取值范围是 [ , ) . 4 4 4 e

10. 【解析】由曲线 f ( x) ? x3 ? 2 x ? 1关于(0,1)中心对称,则 B(0,1),设直线 l 的方程为 y=kx+1, 代入 y=x +2x+1,可得 x =(k-2)x,∴x=0 或 x=± k ? 2 ,∴不妨设 A( k ? 2 ,k · k ? 2 +1 )(k>2 ),
3 3

∵| AB | = | BC | = 10 ∴( k ? 2 -0) + ( k · k ? 2 +1-1 ) =10 ∴k -2k +k-12=0, ∴(k-3)(k +k+4)
2 2 3 2 2

=0,解得 k=3 二、填空题: 和是 24+28=52

C. 11.

2 错误!未找到引用源。 5

12. 甲乙两种树苗的高度的数据的中位数之

13. f ? x ? ? 5 sin ? x ? ? ? , cos ? ?

1 2 ,sin ? ? . 5 5

? ?? ?

?
2

时, f max ,此时 cos ? ? ? sin ? ? ?

2 2 5 ?? 5 5

4) 【解析】?an ? 是递减数列,从 a4 开始是用式子 (t ?13) x ? 3 计算,这时只要 t ? 13 ? 0 ,即 14.( ,
t ? 13 即可,关键是 a1 , a2 , a3 是通过二次式 x 2 ? 3tx ? 18 计算,根据二次函数的性质,应该有

5 3

3t 5 ? 且 2 2

a3 ? a4 ,即 t ?

5 5 5 且 9 ? 9t ? 18 ? t ? 13 ,解得 ? t ? 4 ,综上 t 取值范围是 ? t ? 4 . 3 3 3

15. 【答案】y=±

2 x 2

【解析】由双曲线的性质可推得| MF2 |=b,

则| MF 1 |=c,cos∠F1OM=- 1 |=3b, 在△MF1O 中,| OM |=a,| OF 由余弦定理可知

a , c

a 2 ? c 2 ? 3b2 a b 2 2 2 2 2 2 =- ,又 c =a +b ,可得 a =2b ,即 = , c a 2ac 2
2 2 2 2 2 x.法二:利用⊿中线长计算公式,得 ? 2c ? ? ? 2a ? ? 2 ? b ? 9b ? 2

因此渐近线方程为 y=±

16. 3【解析】法一:由

1 2 1 2 2y y ?1 , ? ? 2 可得 ? 2 ? ? ?x? x y ?1 x y ?1 y ?1 2y

所以 2 x ? y ?

1 y ?1 1 ; ? y ? 1 ? y ? ? 1 ? 2 ? 3 (当且仅当 y ? ( y ? 0) 即 y ? 1 时等号成立) y y y

法二:

1 2 2 2 1 1 ? ?2? ? ?2? ? ?1 x y ?1 2x y ?1 2x y ?1 1 1 2x y ?1 ? ) ? 1 ? (2 ? ? ) ?1 ? 4 ?1 ? 3 2x y ?1 y ?1 2x

2 x ? y ? 1 ? 1 ? (2 x ? y ? 1)(

y ?1 ? 2x ? ? y ?1 2x ?x ? 1 ? (当且仅当 ? 即? 时等号成立). ?1 ? 2 ? 2 ?y ?1 ? ? x y ?1
17. 15【解析】 AP ? OP ? OA ? (? ?1)OA ,即 OP ? ? OA ,则 O, P, A 三点共线, OA ? OP ? 72 ,所 以 OA 与 OP 同向,∴ | OA || OP |? 72 ,设 OP 与 x 轴夹角为 ? ,设 A 点坐标为 ( x, y ) , B 为点 A 在 x 轴 的 投 影 , 则

OP



x

















| OP ?

1 | OB | OB 7 2 | x| | | x| ? 72 ? ? 72 ? ? 72 ? | ? ? |c s? OP | ?o 2 2 16 2 16 9 x ?y | OA | | OA |2 x ?9 | x|? 25 25 | x|

? 72 ?

15 1 ? 15 .当且仅当 | x |? 时等号成立.则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为15 . 4 16 ? 9 2 25
A ? B ? C ? ? ,? A ? B ? ? ? C ?sin 2C ? 3 cos( A ? B) ? 2sin C ? cos C ? 3 cos(? ? C)

18、解:

2sin C cos C ? 3 cos C ? cos C(2sin C ? 3) ? 0

?c o s C? 或 0 sC in

3 = 2

(1)

a ? 4, c ? 13 ? c ? a,? C ? A
c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

? C 为锐角 ? sin C =
1 2

3 2

,此时 C ? 600

由余弦定理

2 2 得 13 ? 16 ? b ? 2 ? 4 ? b ? , 即b ? 4b+3=0

解得 b ? 1或b ? 3 ,经检验均满足条件 (2)

( 注: 本题用正弦定理解答也相应给分)

C ? A, A ? 600 ,? C ? 600 ? sin C =

3 ,C ? 1200 , A ? C ? 1800 , 2

不合题意

?cos C ? 0, C ? 900

AB BC ? BC CA ? CA AB ? AB BC ? 0 ? CA AB ? AB (BC ? CA) ? AB BA ? ? AB ? ?25
1 1 Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 a1 ? S ? ? a ? 1 ? 2 ? a 2 2 n 1 ,即 19、解: (1)在 中,令 n=1,可得 1

2

1 1 Sn ?1 ? ?an ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2, ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 2 2 当 n ? 2 时, ,

bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1


b1 ? 2a1 ? 1,?数列 ?bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列
bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2n an ,? an ? n 2n

于是

(2)由(1)得

cn ?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n n 2 ,所以

由①-②得

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 n?3 ? n ?0 ?Tn ? 3 ? n 2 2

所以

Tn ? 3

20 、 【 解 析 】 ( 1 ) 设 菱 形
2 A 2 E? ( 2 a )? 2

ABCD

的 边 长 为

2a , 则

P

3a a? 2 ? a 2 a c 0o AE= ? s 62 0 a

3

,
H G A Q E C F D

BE 2 ? AE 2 ? AB 2 , ∴ AE ⊥ BC, 又 AD||BC, ∴ AE ⊥ AD. ∵ PA ⊥面 ABCD, ∴ PA ⊥
AE,AE⊥面 PAD, ∴面 AEF⊥面 PAD. (2)过 E 作 EQ⊥AC,垂足为 Q,过作 QG⊥AF,垂足为 G,连 GE,∵PA⊥面 B ABCD,∴PA⊥EQ,EQ⊥面 PAC,则∠EGQ 是二面角 E-AF-C 的平面角. 过点 A 作 AH⊥PD,连接 EH,∵ AE⊥面 PAD,∴∠AHE 是 EH 与面 PAD 所成的最大角.
0 ∵ ∠ AHE = 45 , ∴ AH = AE =

3a , AH ﹒ PD = PA ﹒ AD , 2a ﹒ PA=
tan∠EGQ=

3a ﹒

PA2 ? (2a ) 2 ,PA=2 3a ,PC=4a,EQ=

3 3 3 1 a ,CQ= a ,GQ= a, 2 4 2

EQ 2 ? . GQ 3

21、 【解析】 (1) x ? 0 时, f ?( x) ? e x ? cos x ? 1 ? cos x ? 0 ,所以函数 y ? f ( x) 在 [0,??) 上 单调递增; (2)因为 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 e 1 ? sin x1 ? x2 ? 2
x
x1

所以 P, Q 两点间的距离等于 x2 ? x1 ? e

? sin x1 ? x1 ? 2 ,

设 h( x) ? e x ? sin x ? x ? 2( x ? 0) ,则 h?( x) ? e x ? cos x ? 1( x ? 0) , 记 l ( x) ? h?( x) ? e x ? cos x ? 1( x ? 0) ,则 l ?( x) ? e x ? sin x ? 1 ? sin x ? 0 , 所以 h?( x) ? h?(0) ? 1 ? 0 , 所以 h( x ) 在 [0,??) 上单调递增,所以 h( x ) ? h(0) ? 3

所以 x2 ? x1 ? 3 ,即 P, Q 两点间的最短距离等于 3. 22、 【解析】(1) (2) 设 P(x0,x0 ),A(x1,x1 ),B(x2,x2 ),
2 2 2 2

则由题意得 x0≠0,x0≠±1,x1≠x2, 设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 y-x0 =k(x-x0), 2 2 2 2 2 2 即 kx-y-kx0 +x0 =0 ① 则 d=r=1 ( x0 -1)k +2 x0(4-x0 )k+( x0 -4) -1=0, 设 PA,PB 的斜率为 k1,k2(k1≠k2),则 k1,k2 是上述方程的两根,所以 k1+k2=
2 2

,k1·k2=
2

将①代入 x =y 得 x –kx+kx0-x0 =0 由于 x0 是此方程的根,点 A 或 B 是过点 P 作圆 C2 的两条切线与抛物线 C1 相交的交点 故,x0+x1=k1,x0+x2=k2 x1=k1-x0,x2=k2- x0 所以 kAB= = x1+x2= k1+k2-2x0= -2x0

又 KMP=

∵MP⊥AB ∴kAB·KMP=[

-2x0]·(

)=-1,

·

=-1,解

∴即点 P 的坐标为(±






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