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一元二次方程应用——几何图形


(2014?新疆,第 19 题 10 分)如图,要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈,用 100 米的围 栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈, 求羊圈的边长 AB, BC 各为多少米?

考点: 一元二次方程的应用. 专题: 几何图形问题. 分析: 设 AB 的长度为 x,则 BC 的长度为(100﹣4x)米;然后根据矩形的面积公式列出方 程. 解答: 解:设 AB 的长度为 x,则 BC 的长度为(100﹣4x)米. 根据题意得 (100﹣4x)x=400, 解得 x1=20,x2=5. 则 100﹣4x=20 或 100﹣4x=80. ∵80>25, ∴x2=5 舍去. 即 AB=20,BC=20. 答:羊圈的边长 AB,BC 分别是 20 米、20 米. 点评: 本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条 件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.

(2013 江苏南京,14,2 分)已知如图所示的图形的面积为 24,根据图中的条件,可列出 方程: 。 答案:本题答案不唯一,如(x?1)2=25; 解析:把缺口补回去,得到一个面积 25 的正方形,边长为 x+1。 (2013?衢州 6 分)如图所示,在长和宽分别是 a、b 的矩形纸片的四个角都剪 去一个边长为 x 的正方形. (1)用 a,b,x 表示纸片剩余部分的面积; (2)当 a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.

【思路分析】 (1)边长为 x 的正方形面积为 x ,矩形面积减去 4 个小正方形的面积即可. (2)依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积,列方程求出 x 的值即可. 2 【解析】 (1)ab﹣4x ; (2 分) (2)依题意有:ab﹣4x =4x , (4 分) 2 将 a=6,b=4,代入上式,得 x =3, (6 分) 解得 x1= ,x2=﹣ (舍去) . (7 分) 即正方形的边长为 【方法指导】本题是利用方程解答几何问题,充分体现了方程的应用性. 依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”,建立方程求解. (2012 山东省青岛市,12,3)如图,在一块长为 22 米、宽为 17 米的矩形地面上,要修建 同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行) ,剩余部分种上草坪,使 草坪面积为 300 平方米.若设道路宽为 x 米,则根据题意可列方程为 . 【解析】由题意得(22-x)(17-x)=300. 【答案】 (22-x)(17-x)=300 【点评】 本题主要考查列方程的能力.把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边, 则剩下的种植园地是一个长方形,根据长方形的面积公式列方程.
2 2

2

(2012 山西,17,3 分)图 1 是边长为 30 的正方形纸板,裁掉阴影部分后将其折叠成如图 3 2 所示的长方体盒子,已知该长方体的宽是高的 2 倍,则它的体积是 cm .

【解析】解:长方体的高为 xcm,然后表示出其宽为 30﹣4x, 根据题意得:30﹣4x=2x 解得:x=5 故长方体的宽为 10 cm,长为 20cm

则长方体的体积为 5×10×20=1000cm . 故答案为 1000. 【答案】1000. (201 1 江苏宿迁,16,3 分) 如图, 邻边不等 的矩形花圃 ABCD, 它的一边 AD 利用已有的围墙, .. 另外三边所围的栅栏的总长度是 6m.若矩形的面积为 4m ,则 AB 的长度是 ▲ 利用的围墙长度超过 6m) .
2

3

m(可

【答案】1


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