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江西省南昌市第三中学2016届高三数学第五次考试试题 理

南昌三中 2015—2016 学年度上学期第五次月考 高三数学(理)试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={3,4,5},N={1,2,5},则集合(?U M)∩N 可以表示为( A.{1} B.{1,2} C.{1,2,3} D.{1,2,3,4} 2.若复数 (α ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 α 的值为( ) )

A.﹣6 B.﹣4 C.4 D .6 3.已知等差数 列{an}的首项 a1=1,公差 d≠0,且 a2 是 a1 与 a4 的等比中项,则 d=( A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知 x∈(0,π ) ,且 sin2x= ,则 sin( A. B.﹣ C. D.﹣ ) +x)=( )



5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. B. C. D.

6.已知点 O 、 A 、 B 不在同一条直线上, 点 P 为该平面上一点,且 ??? ? ??? ? ??? ? 3OA ? OB ,则( ) OP ? 2 (A) 点 P 在线段 AB 上 (B) 点 P 在线段 AB 的反向延长线上 (C) 点 P 在线段 AB 的延长线上 (D) 点 P 不在直线 AB 上 7.已知不等式组 ,构成平面区域 Ω (其中 x,y 是变量) ,则目标函数 z=3x+6y

的最小值为( ) A.﹣3 B.3 C.﹣6 D.6 8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( A.14 B.15 C.16 D.17



9.△ABC 中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D 是边 BC 上的一点(包括端点) ,则 范围是( ) A.[1,2] B.[0,1]

?

的取值

C.[0,2]
2

D.[﹣5,2] ,将函数 f(x)的图象向左 )

10.已知函数 f(x)=3sinω xcoswx+

cos ω x(ω >0)的最小正周期为

平移 φ (φ >0)个单位后,得到的函数图形的一条对称轴为 x= A. B.
2

,则 φ 的值不可能为(

C.

D.

11.如图过拋物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直 线依次交拋物线及准线于点 A,B,C,若|BC|=2|BF|,且 |AF|=3,则拋物线的方程为( )
1

A.y = xB.y =3x C.y = xD.y =9x 12.已知 a>0,函数 f(x)=e sinx(x∈[0,+∞) ) .记 xn 为 f(x)的从小到大的 * 第 n(n∈N )个极值点,则数列{f(xn)}是( ) ax ax A.等差数列,公差为 e B.等差数列,公差为﹣e ax ax C.等比数列,公比为 e D.等比数列,公比为﹣e 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 2 13.如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域,E 是 D 内函数 y=x 图象下方的点构成的区域.向 D 中随机投一点,则该点落入 E 中的概率为 . 14.A、B、C、D 是同一球面上的四个点,其中△ABC 是正三角形,AD⊥平面 ABC,AD=4,AB=2 , 则该球的表面积为 . n+1 2 + 15.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an﹣2 ,若不等式 2n ﹣n﹣3<(5﹣λ )an 对? n∈N 恒成立 , 则整数 λ 的最大值为 . ?2 ?2 16 关于曲线 C: x ? y ? 1 的下列说法: (1)关于原点对称; (2)是封闭图形,面积大于 2? ; (3)不 2 2 是封闭图形,与⊙O: x ? y ? 2 无公共点; (4)与曲线 D: | x | ? | y |? 2 2 的四个交点恰为正方形的 四个顶点,其中正确的序号是 。 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17 . 已 知 O 为 坐 标 原 点 , 点 M 1 ? cos 2 x,1 , N 1, 3 sin 2 x ? a ( x ? R, a ? R, a 是 常 数 ) ,且 (Ⅰ)求 y 关于 x 的函数关系式 y ? f ? x ? ; y ? OM ? ON ,
?
?
ax

2

2

2

2

?

?

?

?

(Ⅱ)若 x ? ?0,

?? ? ?? ? 时, f ? x ? 的最大值为 4, 求 a 的值,并说明此时 f ? x ? 的图像可由 y ? 2 sin ? x ? ? ? 6? ? 2? ?

的图象经过怎样的变换而得到。 18.某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造,对所辖企业是否支持改造进行问卷 调查,结果如下表: 中型企业 小型企业 合计 支持 80 240 320 不支持 40 200 240 合计 120 440 560

(Ⅰ)能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有 关? (Ⅱ)从上述 320 家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出 12 家,然后从这 12 家中选出 9 家进行奖励,分别奖励中、小企业每家 50 万元、10 万元,记 9 家企业所获奖金总数为 X 万元,求 X 的 分布列和期望. 附: K= P(K ≥k0) k0
2 2

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

19.如图,四棱锥 P﹣ABCD,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是∠ABC=60°的 菱形,M 为棱 PC 上的动点,且 (Ⅰ) 求证:BC⊥PC;
2

=λ (λ ∈[0,1]) .

(Ⅱ) 试确定 λ 的值,使得二面角 P﹣AD﹣M 的平面角余弦值为



20. 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心、 以椭圆 C1 的 2 a b 3

短半轴长为半径的圆相切. (I)求椭圆 C1 的方程; (II)设椭圆 C1 的左焦点为 F 1 ,右焦点 F2 ,直线 l1 过点 F 1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l 2 垂直 l1 于点

P ,线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C2 的方程;

(III)设 C2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R, S 在 C2 上,且满足 QR ? RS ? 0, 求 QS 的取值范围.

??? ? ??? ?

??? ?

21.已知 f(x)=lnx﹣e . (1)若 x=1 是 f(x)的极值点,讨论 f(x)的单调性; (2)当 a≥﹣2 时,证明 f(x)在定义域内无零点.

x+a

考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目对应的标号涂黑. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图所示,AB 为圆 O 的直径,BC,CD 为圆 O 的切线,B,D 为切点. (Ⅰ)求证:AD∥OC; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 2,求 AD?OC 的值.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) .

(1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (2)已知 A(﹣2,0) ,B(0,2) ,圆 C 上任意一点 M(x,y) ,求△ABM 面积的最大值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=k﹣|x﹣3|,k∈R,且 f(x+3)≥0 的解集为[﹣1,1]. (Ⅰ)求 k 的值;
3

(Ⅱ)若 a、b、c 是正实数,且

,求证:



4

高三数学(理)答案 一、选择题:BAAAA BCCDB BD 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 2 13.如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域,E 是 D 内函数 y=x 图象下方的点构成的区域.向 D 中随机 投一点,则该点落入 E 中的概率为 .

【解答】解:本题是几何概型问题,区域 E 的面积为:S1=∫

x dx= x |

2

3

=



∴“该点在 E 中的概率”事件对应的区域面积为 故答案为: .

,则点落在区域 E 内的概率是

= .

14.A、B、C、D 是同一球面上的四个点,其中△ABC 是正三角形,AD⊥平面 ABC,AD=4,AB=2 ,则该球 的表面积为 32π . 【解答】解:由题意画出几何体的图形如图,把 A、B、C、D 扩展为三棱柱,上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径, AD=4, AB=2 , △ABC 是正三角形, 所以 AE=2, AO=2 . 所求球的表面积为: 4π(2 ) 2 =32π .故答案为:32π .

15.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an﹣2 ,若不等式 2n ﹣n﹣3<(5﹣λ )an 对? n∈N 恒成立,则整数 λ 的最大值为 4 . 【解答】解:当 n=1 时, ,得 a1=4;当 n≥2 时, ,两式相减得

n+1

2

+

,得

,∴





,∴数列{

}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,

,即



∵an>0,∴不等式 2n ﹣n﹣3<(5﹣λ )an,等价于 5﹣λ

2



5



,n≥2 时,

.∴n≥3 时,





∴5﹣λ

,即

,∴整数 λ 的最大值为 4.

16 .关于曲线 C: x ?2 ? y ?2 ? 1 的下列说法: (1)关于原
点对称; (2)是封闭图形,面积大于 2? ; (3)不是封闭图形,与⊙O: x 2 ? y 2 ? 2 无公共点; (4) 与曲 线 D : | x | ? | y |? 2 2 的四个 交点恰为 正方形的四个 顶点,其 中正确的序号 是 4 。 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.解:⑴依题意得: 1,3,

? ? y ? 1 ? cos 2x ? 3 sin 2x ? a ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? a ( x ? R, a ? R, a 是常数) 6
⑵若 x ? [0, ], 则 (2 x ?

?

?

2

? 7? 1 ? ) ? [ , ],? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 6 6 6 2 6

此时 ymax ? 2 ? 1 ? a ? 4 ? a ? 1 故 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

) ? 2 的图象可由 y ? 2 sin( x ? ) 的图象上的点纵坐标不变,横坐 6 6

?

标缩小为原来的

1 ? ? 倍,得到 y ? 2 sin(2 x ? ) 的图象;再将 y ? 2 sin(2 x ? ) 的图象上 6 6 2

的点横坐标不变,纵坐标向上平移 2 个单位长度得到。 18.某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造,对所辖企业是否支持改造进行问卷 调查,结果如下表: 中型企业 小型企业 支持 80 240 不支持 40 200 合计 120 440

合计 320 240 560 (Ⅰ)能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有 关? (Ⅱ)从上述 320 家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出 12 家,然后从这 12 家中选出 9 家进行奖励,分别奖励中、小企业每家 50 万元、10 万元,记 9 家企业所获奖金总数为 X 万元,求 X 的 分布列和期望. 附: K=
6
2

P(K ≥k0) k0 【解答】解: (Ⅰ)K =
2

2

0.050 3.841

0.025 5.024 ≈ 5.657,

0.010 6.635

因为 5.657>5.024, 所以能在犯错概率不超过 0.025 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关.? (Ⅱ)由(Ⅰ)可知“支持”的企业中,中小企业家数之比为 1:3,按分层抽样得到的 12 家中,中小企 业分别为 3 家和 9 家. 设 9 家获得奖励的企业中,中小企业分别为 m 家和 n 家,则(m,n)可能为(0,9) , (1,8) , (2,7) , (3, 6) .与之对应, X 的可能取值为 90,130,170,210.? P(X=90)= P(X=170)= 分布列表如下: X90 130 170 210 P ,P(X=130)= ,P(X=210)= , ,?

期望 EX=90×

+130×

+170×

+210×

=180.?

19.如图,四棱锥 P﹣ABCD,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是∠ABC=60°的 菱形,M 为棱 PC 上的动点,且 (Ⅰ) 求证:BC⊥PC; (Ⅱ) 试确定 λ 的值,使得二面角 P﹣AD﹣M 的平面角余弦值为 . =λ (λ ∈[0,1]) .

【解答】解: (Ⅰ)取 AD 中点 O,连结 OP,OC, ∵侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直, 底面 ABCD 是∠ABC=60°的菱形, ∴△ADC 是等边三角形,PO、AD、CO 两两垂直, 以 O 为原点,OC 为 x 轴,OD 为 y 轴,OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 由题意得 P(0,0, ) ,C( ,0,0) ,B( ,﹣2,0) , =(0,﹣2,0) , ∴ =(﹣ ,0, ) ,

=0,∴CB⊥CP.

7

(Ⅱ)由 ∴ =(

=λ 可得点 M 的坐标为( λ ,1, ) ,

λ ,0, =( λ ,﹣,

) , ) ,

平面 AMD 的法向量 =(x,y,z) , 则

令 z=λ ,得 =(λ ﹣ 1,0,λ ) , 由题意平面 PAD 的法向量 =(1,0,0) , ∵二面角 P﹣AD﹣M 的平面角余弦值为 ∴|cos< , >|= = . ,

由 λ ∈[0,1]) ,解得 λ = .

20. 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心、 以椭圆 C1 的 2 a b 3

短半轴长为半径的圆相切. (I)求椭圆 C1 的方程; (II)设椭圆 C1 的左焦点为 F 1 ,右焦点 F2 ,直线 l1 过点 F 1 且垂直于椭圆的长轴,动 直线 l 2 垂直 l1 于 点 P ,线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (III)设 C2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R, S 在 C2 上,且满足 QR ? RS ? 0, 求 QS 的取值范围.

??? ? ??? ?

??? ?

【解析】 : (Ⅰ)∵ e ?

3 c2 a 2 ? b2 1 ,? e2 ? 2 ? ? ,? 2a 2 ? 3b2 2 3 a c 3
2 2 2

∵直线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆x ? y ? b 相切, ∴

2 2

? b,? b ? 2 , b 2 ? 2

∴a ? 3
2

????3 分

∵椭圆 C1 的方程是

x2 y2 ? ?1 3 2

??????6 分
8

(Ⅱ)∵MP=MF2, ∴动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1 的距离等于它到定点 F1(1,0)的距离, ∴动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线,F2 为焦点的抛物线 ??????6 分

y 2 ? 4 x ????9 分 y2 y2 (Ⅲ)Q(0,0) ,设 R( 1 , y1 ), S ( 2 , y 2 ) 4 4 2 2 2 y y ? y1 , y 2 ? y1 ) ∴ QR ? ( 1 , y1 ), RS ? ( 2 4 4 ∵ QR ? RS ? 0 y 2 ( y 2 ? y12 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ∴ 1 2 16 ∵ y1 ? y 2 , y1 ? 0 ,化简得 16 ∴ y 2 ? ?( y1 ? ) ??????11 分 y1 256 2 2 ∴ y 2 ? y1 ? 2 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 y1 256 2 2 当且仅当 y1 ? 2 , y1 ? 16, y1 ? ?4 时等号成立 ????13 分 y1
∴点 M 的轨迹 C2 的方程为
2 y2 1 2 2 2 ∵ | QS |? ( ) 2 ? y 2 ? ( y2 ? 8) 2 ? 64,又? y 2 ? 64 4 4

2 ∴当 y2 ? 64, y2 ? ?8时, | QS |min ? 8 5,故 | QS | 的取值范围是 [8 5,??) ??14 分
x+a

21.已知 f(x)=lnx﹣e . (1)若 x=1 是 f(x)的极值点,讨论 f(x)的单调性; (2)当 a≥﹣2 时,证明 f(x)在定义域内无零点. x+a 【解答】 (1)解:∵f(x)=lnx﹣e , ∴f′(x)= ﹣e , ∵x=1 是 f(x)的极值点, 1+a ∴1﹣e =0, ∴a=﹣1, ∴f′(x)= ﹣e
x﹣1 x+a



x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)内单调递增,当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x) 在(1,+∞) 内单调递减; x+a x﹣2 x+a x﹣2 (2)证明:当 a≥﹣2 时,e ≥e ,lnx﹣e ≤lnx ﹣e , x﹣2 令 g(x)=lnx﹣e . ∵g′(x)= ﹣e
x﹣2


x﹣2

由 g′(x)=0 得 =e

,方程有唯一解 x0∈(1,2) ,

∴x∈(0,x0)时,g′(x)>0,g(x)在(0,x0)内单调递增, x∈(x0,+∞)时,g′(x)<0,g(x)在(x0,+∞)内单调递减,

9

∴g(x)max=lnx0﹣e ∵x0∈(1,2) , ∴x0+ >2,

x0﹣2

=﹣x0+2﹣

∴g(x)max<0 综上,当 a≥﹣2 时,f(x)<0, ∴f(x)在定义域内无零点. 考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目对应的标号涂黑. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图所示,AB 为圆 O 的直径,BC,CD 为圆 O 的切线,B,D 为切点. (Ⅰ)求证:AD∥OC; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 2,求 AD?OC 的值. 【解答】 (Ⅰ)证明:如图,连接 BD、OD. ∵CB、CD 是⊙O 的两条切线, ∴BD⊥OC, ∴∠2+∠3=90° 又 AB 为⊙O 直径, ∴AD⊥DB, ∠1+∠2=90°, ∴∠1=∠3, ∴AD∥OC; (Ⅱ)解:AO=OD,则∠1=∠A=∠3, ∴Rt△BAD∽Rt△ODC, ∵圆 O 的半径为 2, ∴AD?OC=AB?OD=8. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) .

(1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐 标方程; (2)已知 A(﹣2,0) ,B(0,2) ,圆 C 上任意一点 M(x,y) ,求△ABM 面积的最大值. 【解答】解: (1)圆 C 的参数方程为
2 2

(θ 为参数)

所以普通方程为(x﹣3) +(y+4) =4. , 2 2 x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ ,可得(ρ cosθ ﹣3) +(ρ sinθ +4) =4, 2 化简可得圆 C 的极坐标方程:ρ ﹣6ρ cosθ +8ρ sinθ +21=0. (2)点 M(x,y)到直线 AB:x﹣y+2=0 的距离为 △ABM 的面积 所以△ABM 面积的最大值为 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=k﹣|x﹣3|,k∈R,且 f(x+3)≥0 的解集为[﹣1,1]. (Ⅰ)求 k 的值;
10

(Ⅱ)若 a、b、c 是正实数,且

,求证:



【解答】 (Ⅰ)解:f(x+3)≥0 的解集为[﹣1,1],即为 |x|≤k 的解集为[﹣1,1], (k>0) , 即有[﹣k,k]=[﹣1,1], 解得 k=1; (Ⅱ)证明:将 k=1 代入可得, + + =1(a,b,c>0) , + )=3+( + )+( + )+( + )

则 a+2b+3c=(a+2b+3c) ( + ≥3+2 +2 +2

=3+2+2+2=9,

当且仅当 a=2b=3c,上式取得等号. 则有 .

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