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【优化方案】2014届高考数学 9.2 直线与平面平行、平面与平面平行(A、B)课时闯关(含解析)


9.2 直线与平面平行、平面与平面平行(A、B) 课时闯关(含 答案解析)
一、选择题 1.(2011·高考浙江卷)若直线 l 不平行于平面 α ,且 l?α ,则( ) A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 解析:选 B.由题意知,直线 l 与平面 α 相交,则直线 l 与平面 α 内的直线只有相交 和异面两种位置关系,因而只有选项 B 是正确的. 2.(2012·高考四川卷)下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 解析:选 C.A 错误,如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等,但两条母线相交;B 错误,△ABC 的三个顶点中,A、B 在 α 的同侧,而点 C 在 α 的另一侧,且 AB 平行于 α , 此时可有 A、B、C 三点到平面 α 距离相等,但两平面相交;D 错误,如教室中两个相邻墙 面都与地面垂直,但这两个面相交,故选 C. 3.已知两个不同的平面 α 、β 和两条不重合的直线 m、n,有下列四个命题: ①若 m∥n,n? α ,则 m∥α ;②若 m∥α ,n∥α ,且 m? β ,n? β ,则 α ∥β ;③m ∥α ,n? α ,则 m∥n;④若 α ∥β ,m? α ,则 m∥β . 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 A.①有可能 m? α ;②当 m 与 n 相交时,命题正确;③m、n 还可能是异面直 线;④正确,故正确答案是 A. 4.(2013·天水一中调研)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个 2 动点 E、F,且 EF= ,则下列结论中错误的是( ) 2

A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值 解析:选 D.∵BE? 面 D1B1BD,且 AC⊥面 D1B1BD ∴AC⊥BE,A 正确. E、F∈B1D1,且 B1D1∥面 ABCD. ∴EF∥面 ABCD.B 正确. VA-BEF=VB-AEF,又 S△AEF 为定值, A、E、F∈面 AB1D1,B 到面 AB1D1 的距离为定值. ∴VA-BEF 为定值.C 正确. 异面直线 AE、BF 随 E、F 变化而变化,D 错误.
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5.(2011·高考江西卷)已知 α 1,α 2,α 3 是三个相互平行的平面,平面 α 1,α 2 之间 的距离为 d1,平面 α 2,α 3 之间的距离为 d2.直线 l 与 α 1,α 2,α 3 分别相交于 P1,P2,P3, 那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 C.如图,α 1∥α 2∥α 3,l 与 α 1,α 2,α 3 分别交于点 P1,P2,P3;作 FP3⊥α 1, 且 FP3 与 α 2 交于点 E, 则 FE=d1,EP3=d2. 根据“两平行平面与一平面相交所得的交线平行”得 P1F∥P2E,则

P1P2 d1 = ,显然“P1P2 P2P3 d2

=P2P3”是“d1=d2”的充分必要条件. 二、填空题 6.正方形 ABCD 在平面 α 的同侧,若 A、B、C 三点到 α 的距离分别为 2、3、4,则直 线 BD 与平面 α 的位置关系是________. 1 解析:线段 AC 的中点 O 到 α 的距离为 (2+4)=3, 2 ∵正方形 ABCD 在平面 α 的同侧, ∴BO∥α ,即 BD∥α . 答案:BD∥α 7.已知 m、n、l1、l2 表示直线,α 、β 表示平面.若 m? α ,n? α ,l1? β ,l2? β , l1∩l2=M. 则 m∥l1 且 n∥l2 是 α ∥β 的________条件(填“充分”“必要”“充要”) 解析:由题意知,根据两平面平行的判定定理可知,m∥l1 且 n∥l2? α ∥β ,但 α ∥ β m∥l1 且 n∥l2 故填“充分”. 答案:充分

8.如图在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点, N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件________时,有 MN∥平面 B1BDD1. 解析:因为 HN∥BD,HF∥DD1,HN∩HF=H,BD∩DD1=D,所以平面 NHF∥平面 B1BDD1, 故线段 FH 上任一点 M 与 N 相连,有 MN∥平面 B1BDD1,故填 M∈线段 FH. 答案:M∈线段 FH 三、解答题

2

9.(2012·高考辽宁卷)如图,直三棱柱 ABC?A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC= 2, AA′=1,点 M,N 分别为 A′B 和 B′C′的中点. (1)证明:MN∥平面 A′ACC′; (2)求三棱锥 A′?MNC 的体积. 1 (锥体体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高) 3

解:(1)证明:法一:如图,连接 AB′、AC′,因为∠BAC=90°,AB=AC,所以三棱 柱 ABC?A′B′C′为直三棱柱, 所以点 M 为 AB′的中点. 又因为点 N 为 B′C′的中点, 所以 MN∥AC′. 又 MN?平面 A′ACC′,AC′? 平面 A′ACC′, 因此 MN∥平面 A′ACC′. 法二:取 A′B′的中点 P,连接 MP,NP,AB′. 而点 M,N 分别为 AB′与 B′C′的中点, 所以 MP∥AA′,PN∥A′C′, 所以 MP∥平面 A′ACC′,PN∥平面 A′ACC′. 又 MP∩PN=P,因此平面 MPN∥平面 A′ACC′. 而 MN? 平面 MPN, 因此 MN∥平面 A′ACC′. (2)法一:连接 BN,由题意得 A′N⊥B′C′, 平面 A′B′C′∩平面 B′BCC=B′C′, 所以 A′N⊥平面 NBC. 1 又 A′N= B′C′=1. 2 1 1 1 故 VA′?MNC=VN?A′MC= VN?A′BC= VA′?NBC= . 2 2 6 1 1 法二:VA′?MNC=VA′?NBC=VM?NBC= VA′?NBC= . 2 6

10.已知:如图,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D、D1 分别为 AC、A1C1 上的点. (1)当

A1D1 的值是多少时,BC1∥平面 AB1D1; D1C1

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(2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1,求 的值.

AD DC

解:(1)如图,当 D1 为线段 A1C1 的中点,此时

A1D1 =1,连结 A1B,交 AB1 于点 O,连结 OD1. D1C1

由棱柱的性质,知四边形 A1ABB1 为平行四边形, 所以点 O 为 A1B 的中点. 在△A1BC1 中,点 O、D1 分别为 A1B、A1C1 的中点,∴OD1∥BC1. 又∵OD1? 平面 AB1D1,BC1?平面 AB1D1, ∴BC1∥平面 AB1D1.

A1D1 =1 时,BC1∥平面 AB1D1. D1C1 (2)由已知,平面 BC1D∥平面 AB1D1, 且平面 A1BC1∩平面 BDC1=BC1, 平面 A1BC1∩平面 AB1D1=D1O, 因此 BC1∥D1O,同理 AD1∥DC1, A1D1 A1O A1D1 DC ∴ = , = . D1C1 OB D1C1 AD A1O DC AD 又∵ =1,所以 =1,即 =1. OB AD DC


11.(探究选做)(2011·高考山东卷)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边 形,∠ACB=90°,EA⊥平面 ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF. (1)若 M 是线段 AD 的中点,求证:GM∥平面 ABFE; (2)若 AC=BC=2AE,求二面角 A-BF-C 的大小.

解:(1)证明:法一: 因为 EF∥AB,FG∥BC, EG∥AC,∠ACB=90°. 所以∠EGF=90°, △ABC∽△EFG. 由于 AB=2EF, 因此 BC=2FG. 1 连接 AF,由于 FG∥BC,FG= BC, 2 在?ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,
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1 则 AM∥BC,且 AM= BC,因此 FG∥AM 且 FG=AM, 2 所以四边形 AFGM 为平行四边形,因此 GM∥FA. 又 FA? 平面 ABFE,GM?平面 ABFE, 所以 GM∥平面 ABFE.

法二:因为 EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以∠EGF=90°, △ABC∽△EFG. 由于 AB=2EF, 所以 BC=2FG. 取 BC 的中点 N,连接 GN, 因此四边形 BNGF 为平行四边形,所以 GN∥FB. 在?ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,连接 MN, 则 MN∥AB. 因为 MN∩GN=N,所以平面 GMN∥平面 ABFE. 又 GM? 平面 GMN,所以 GM∥平面 ABFE.

(2)法一:因为∠ACB=90°,所以∠CAD=90°. 又 EA⊥平面 ABCD, 所以 AC,AD,AE 两两垂直. 分别以 AC,AD,AE 所在直线为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, =不妨设 AC=BC=2AE=2,则由题意得 A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),E(0,0,1), → → 所以AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0). 1 → 又 EF= AB,所以 F(1,-1,1),BF=(-1,1,1). 2 设平面 BFC 的法向量为 m=(x1,y1,z1), ? ?y1=0, → → 则 m·BC=0,m·BF=0,所以? ? ?x1=z1, 取 z1=1,得 x1=1,所以 m=(1,0,1). 设平面向量 ABF 的法向量为 n=(x2,y2,z2), ?x2=y2, ? → → 则 n·AB=0,n·BF=0,所以? ? ?z2=0, 取 y2=1,得 x2=1,则 n=(1,1,0). m·n 1 所以 cos〈m,n〉= = . |m|·|n| 2 因此二面角 A-BF-C 的大小为 60°.

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法二:由题意知,平面 ABFE⊥平面 ABCD. 取 AB 的中点 H,连接 CH. 因为 AC=BC, 所以 CH⊥AB, 则 CH⊥平面 ABFE. 过 H 向 BF 引垂线交 BF 于 R,连接 CR,则 CR⊥BF, 所以∠HRC 为二面角 A-BF-C 的平面角. 由题意,不妨设 AC=BC=2AE=2, 在直角梯形 ABFE 中,连接 FH,则 FH⊥AB. 又 AB=2 2,所以 HF=AE=1,BH= 2, 6 因此在 Rt△BHF 中,HR= . 3 1 由于 CH= AB= 2, 2 所以在 Rt△CHR 中,tan∠HRC= 2 6 3 因此二面角 A-BF-C 的大小为 60°. = 3.

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