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辽宁省庄河市高级中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题

庄河高中 2015-2016 学年度上学期高一期末考试数学试题
第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 M ? x ? 1 ? x ? 3, x ? R , N ? ?? 1 , 0 , 1 , 2 ,3?,则 M ? N ? ( A. ?? 1 , 0 , 2 , 3? B. ?? 1 , 0 , 1 , 2? ) C.(0,1] C. ?0 , 1 , 2? D.[0,1] ) 2.函数 y= x ln(1-x)的定义域为( A.(0,1) B.[0,1)
3 0.2

?

?



D. ? 0 , 1 , 2 , 3?

3.设 a ? 0.2 , b ? 3 , c ? log3 0.2 ,则 a , b , c 的大小关系为( A. b ? a ? c C. c ? b ? a 4.函数 f ( x) ? ln x ? A. (1 , 2) B. a ? c ? b D. c ? a ? b

2 零点所在的大致区间为( x 1 e

) D. (e , ? ?) )

B. (2 , 3)

C. (1 , ) 和 (3 , 4)

5.设 ? , ? 是两个不同的平面, l , m 是两条不同的直线,且 l ? ? , m ? ? ( A.若 l ? ? ,则 ? ? ? C.若 l //? ,则 ? //? 6.设函数 f ( x) ? ? (A)3 B.若 ? ? ? ,则 l ? m D.若 ? //? ,则 l //m ,则 f (?2) ? f (log 2 12) ? ( (D)12 )

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1,
x ?1 ?2 , x ? 1,

(B)6

(C)9

7. 已知偶函数 f ( x) 在 ?0,??? 上单调递增函数 , 则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1)成立的 x 的取值范围是 ( )

A . ?? , ?

? 1 1? ? 3 3? 1? ?1 3? ? 3

B . ? ??, ? ? ?1, ?? ?

? ?

1? 3?

C . ? ,1?

?1 ? ?3 ?

D. ? ??, ? ? ? ? , ?? ? 8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( A. 8 ? 2 2 B.11 ? 2 2 C.14 ? 2 2 ) D.15

? ?

? ?

9.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边长为 2, 则该球的表面积为( 81π 27π A. B.16π C.9π D. 4 4 10. 已知指数函数 f ( x) ? a
x ?16

)

? 7(a ? 0且a ? 1) 的图象恒过定点 P,若定点 P 在幂函数 g ( x) 的图

1

像上,则幂函数 g ( x) 的图像是(

y

y

y

y

0

1

x

0

1

x

0

1

x

0

1

x

A

B

C

D

? 2x ?1 , x ? 2 ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 3 ,若方程 f ( x) ? a ? 0 有三个不同的实数根,则实数 a 的取值 ,x?2 ? ? x ?1
范围为( A. (1 , 3) ). B. (0 , 3) C. (0 , 2) D. (0 , 1)

12. 对于实数 x ,符号 ?x ? 表示不 超过 x 的最大整数,例如 ?? ? ? 3 , ?? 1.08? ? ?2 ,如果定义函数

f ( x) ? x ? ?x?,那么下列命题中正确的序号有(
① f ( x) 的定义域为 R,值域为 ?0 , 1? ③ f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数 A.①②③ B.②③

).

② f ( x) 在区间 ?0 , 1? 上单调递增 ④函数 f ( x)与g ( x) ? log( 5 ? x) 图像有 5 个交点。 C.①②③④ D. ②③④ 第 II 卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

2 ? 1) ? lg x ,则 f (2) ? x 1? x ? 5, 且f (a) ? 6, 则f (?a) ? 14.已知函数 f ( x) ? x ? lg 1? x
13. 已知 f ( 15. 幂函数 f ( x) ? (m2 ? 3m ? 3) x m
2

?m?2

的图像与坐标轴没有公共点,则 m 的值为

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? 16.已知函数 f ( x ) ? ? ,若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有四个根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则这四个 lg x , x ? 0 ? ? 根之和 x1 ? x2 ? x3 ? x4 的取值范围是
三、解答题:解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17. (本题 10 分)求实数 m 的取值范围,使关于 x 的方程 x ? 2(m ? 1) x ? 2m ? 6 ? 0 (1)有两个正实数根; (2)有两个实数根,且一个比 2 大,一个比 2 小。
2

18. (本题 12 分) 、 如图,在三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1, E,F 分别是 A1C1,BC 的中点. (1)求证:AB⊥C1F;(2)求证:C1F∥平面 ABE;(3)求三棱锥 E ? ABC 的体积.
2

19. (本题 12 分)已知集合 A ? ? x

? ? (2)若 D ? ?x x ? 6m ? 1?,且 ( A ? B) ? D ? ? ,求实数 m 的取值范围。
底面 ABCD , PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: ( 1) PA ? 底面 ABCD (2)平面 BEF // 平面 PAD (3)平面 BEF ? 平面 PCD

? ? 1 ? ?1 ?? ? 2 x ? 128?, B ? ? y y ? log2 x, x ? ? ,32? ? , ?8 ?? ? 4 ? ?

(1)若 C ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 , C ? ( A ? B) ,求实数 m 的取值范围。

CD ? 2 AB , 20、 (本题 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,AB / / CD ,AB ? AD , 平面 PAD ?

21. (本题 12 分) 、已知函数 f ( x) ? log4 x ? log2 (16 ? x )
2 a 3

(1)若 a ? 1 ,求方程 f ( x) ? ?1 的解集。

(2)当 x ? ?2,4? 时,求函数 f ( x) 的最小值。

4x ? a 22. (本题 12 分) 、已知函数 g ( x) ? 是奇 函数, f ( x) ? lg(10x ? 1) ? bx 是偶函数。 x 2 (1)求 a ? b 的值。 2 2 (2)若对任意的 t ? ?0,??? ,不等式 g (t ? 2t ) ? g (2t ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围. 1 (3) 设 h( x ) ? f ( x ) ? x , 若存在 x ? ?? ?,1? , 使不等式 g ( x) ? h?lg(10a ? 9)?成立, 求实数 a 2
的取值范围。

3

一、选择题:CBDBA 二、填空:13. lg 2 三、解答题:

CCBAA 14.4

庄河高中 2015-2016 学年度上学期 高一期末考试数学试题答案 DD 15.1 或 2 16. ? 0,

? 81? ? ? 10 ?

?? ? 0 ? 17. (1) ? x1 ? x2 ? ?2(m ? 1) ? 0 ? x x ? 2m ? 6 ? 0 ? 1 2 ? ?3 ? m ? ?1 (2)设 f ( x) ? x2 ? 2(m ? 1) x ? 2m ? 6 则 f (2) ? 0 ? m ? ?1
18.解:(1)证明:在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC,所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC,所以 AB⊥平面 B1BCC1,又因为 C1F? 平面 B1BCC1,所以 AB⊥C1F。 (2)证明:取 AB 的中点 G,连接 EG,FG.

1 1 因为 E,F,G 分别是 A1C1,BC,AB 的中点,所以 FG∥AC,且 FG= AC,EC1= A1C1. 2 2 因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1,所以 FG∥EC1,且 FG=EC1,所以四边形 FGEC1 为平行四边形,所以 C1F∥EG. 又因为 EG? 平面 ABE,C1F?平面 ABE,所以 C1F∥平面 ABE. 2 2 (3)因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以 AB= AC -BC = 3. 1 1 1 3 所以三棱锥 E ? ABC 的体积 V= S△ABC·AA1= × × 3×1×2= . 3 3 2 3 19.解: A ? x ? 2 ? x ? 7

?

(1) A ? B ? x ? 2 ? x ? 5 , ①若 C ? ? ,则 m ? 1 ? 2m ? 1 ? m ? 2

?

?

, B ? y ?3 ? y ? 5

?

?

?

?m ? 1 ? 2 m ? 1 ? ?2 ? m ? 3 ②若 C ? ? ,则 ?m ? 1 ? ?2 ?2 m ? 1 ? 5 ?
综上: m ? 3 (2) A ? B ? x ? 3 ? x ? 7

?

?

? 6m ? 1 ? 7 ? m ? 1

4

? ? 面PAD ? 面ABCD ? 20. (1) ? ? PA ? 面ABCD 面PAD ? 面ABCD ? AD? ? PA ? 面PAD ? 同理可证: AB ? 面PAD BE // AD? (2) ? ? 面BEF // 面PAD EF // PD?
? ? ? ? ? (3) ? ? CD ? 面PAD ? ? CD ? 面BEF ? ? 面PCD ? 面BEF AB ? 面PAD? ? 面BEF // 面PAD? ? CD ? 面PCD? AB // CD
21.解: f ( x) ? log4 x2 ? log2 (16a ? x3 ) ? log2 x ? (log2 24a ? log2 x3 )

PA ? AD

? log2 x(4a ? 3log2 x) ( x ? 0) (1)若 a ? 1 ,则 f ( x) ? log2 x(4 ? 3 log2 x) ? ?1 令 t ? log2 x ,则方程为 t (4 ? 3t ) ? ?1 1 解得: t ? ? 或 t ? ?1 3 1 则 log 2 x ? ? 或 log2 x ? ?1 3 1 3 ? 1 4 或x? ?x ? 2 3 ? 2 2 ?3 4 1 ? , ? ? 方程的解集为 ? ? 2 2? (2)? x ? ?2 , 4?? log2 x ? ?1 , 2? ,令 t ? log2 x ? ? 1 , 2? 2 则 f (t ) ? t (3t ? 4a) , t ? ? 1 , 2?,对称轴为 t ? ? a 3 2 3 ①当 ? a ? 1 ,即 a ? ? 时, 3 2 f min (t ) ? f (1) ? 4a ? 3 2 3 ②当 1 ? ? a ? 2 ,即 ? 3 ? a ? ? 时 3 2 2 4 f min (t ) ? f (? a) ? ? a 2 3 3 2 ③当 ? a ? 2 ,即 a ? ?3 时 3 f min (t ) ? f (2) ? 8a ? 12

y

0

1

2

t

y

0

1

2

t

y

0

1

2

t
5

3 ? ?4 a ? 3 , a ? ? 2 ? 3 ? 4 2 综上: f min ( x ) ? ?? a , ? 3 ? a ? ? 2 ? 3 ?8a ? 12 , a ? ?3 ? ? 4x ? 1 22.解: (1)由 g (0) ? 0 得 a ? 1 ,则 g ( x) ? ,经检验 g ( x) 是奇函数, 2x 1 1 x 由 f (?1) ? f (1) 得 b ? ? ,则 f ( x) ? lg(10 ? 1) ? x ,经检验 f ( x) 是偶函数 2 2 1 ?a ? b ? 2 4x ? 1 1 ? 2 x ? x ,且 g ( x) 在 (?? , ? ?) 单调递增,且 g ( x) 为奇函数。 (2)? g ( x) ? x 2 2 2 2 ? 由 g (t ? 2t ) ? g (2t ? k ) ? 0 恒成立,得

g (t 2 ? 2t ) ? ? g (2t 2 ? k ) ? g (?2t 2 ? k ) , ?t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? k , t ? ?0 , ? ?? 恒成立 2 即 3t ? 2t ? k , t ? ?0 , ? ?? 恒成立
令 F ( x) ? 3t 2 ? 2t ,在 ?0 , ? ?? 的最小值为 F ( ) ? ?

1 3

1 3

1 3 (3) h( x) ? lg(10x ? 1) , ?k ? ?

h(lg(10a ? 9)) ? lg 10lg(10a ?9) ? 1 ? lg(10a ? 10) 则由已知得,存在 x ? ?? ?,1? ,使不等式 g ( x) ? lg(10a ? 10) 成立, 3 而 g ( x) 在 ?? ? , 1? 单增,? g max ( x) ? g (1) ? 2 3 3 ? lg(10a ? 10) ? ? lg102 ? lg10 10 2 ?10a ? 10 ? 10 10 又 a ? 10 ? 1 ?10a ? 9 ? 0 9 ?a ? ? 又? ? 10 ?10a ? 10 ? 0 9 ? ? ? a ? 10 ? 1 10

?

?

6


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