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江苏省2015届高三数学第三次联考试题 文


江 苏 大 联 考 2015 届高三第三次联考·数学试卷
考生注意: 1.本试卷共 160 分.考试时间 120 分钟. 2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚. 3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上. 4.交卷时,可根据需要在加注“ ”标志的夹缝处进行裁剪. 5.本试卷主要考试内容:前 2 次联考内容+数列+不等式. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填在答题卷中的横线上. 1.设集合 M={x|x +x-6<0},N={x|1≤x≤3},则 M∩N= 2.已知数列{an}为等差数列,其前 9 项和为 S9=54,则 a5=
2

▲ ▲

. . ▲ ▲ . . .

3.用 12 米的绳子围成一个矩形,则这个矩形的面积最大值为 4.在等比数列{an}中,a1=2,若 a1,2a2,a3+6 成等差数列,则 an= 5.若 tan θ =1,则 cos 2θ = ▲ . ▲ ▲ . 6.已知在等比数列{an}中,a3+a6=4,a6+a9=,则 a10+a13= 7.已知 a>0,b>0,ab=4,当 a+4b 取得最小值时,=

8.已知平面向量 a、b,|a|=3,|b|=2 且 a-b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为 9.设变量 x,y 满足约束条件,则目标函数 z=2x+3y 的最小值与最大值的和为 ▲ . ▲ 10.若对于任意的 x>0,不等式≤a 恒成立,则实数 a 的取值范围为 项 a1= ▲ . ▲ .



.

.

11.已知在各项为正的等比数列{an}中,a2 与 a8 的等比中项为 8,则 4a3+a7 取最小值时首 12.下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此规律,写出第 16 个图形 中小正方形的个数是

13.在数列{an}中,若存在一个确定的正整数 T,对任意 n∈N 满足 an+T=an,则称{an}是周期 数列,T 叫做它的周期.已知数列{xn}满足 x1=1,x2=a(a≤1),xn+2=|xn+1-xn|,若数列{xn}的 周期为 3,则{xn}的前 100 项的和为 ▲ . ▲ . 14.当 x,y 满足条件|x-1|+|y+1|<1 时,变量 u=的取值范围是 15.(本小题满分 14 分) 1

*

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

已知函数 f(x)=x +ax+6. (1)当 a=5 时,解不等式 f(x)<0; (2)若不等式 f(x)>0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 16.(本小题满分 14 分) 已知等差数列{an}满足 a2=3,a4+a5=16. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

2

17.(本小题满分 14 分) 已知向量 m=(2cos x,sin 2x),n=(cos x,1),函数 f(x)=m·n. (1)求 f(x)的解析式和函数图象的对称轴方程; (2)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,且满足 a+c>2b,求 f(B)的取值范围. 18.(本小题满分 16 分) 某公司新研发了甲、乙两种型号的机器,已知生产一台甲种型号的机器需资金 30 万元, 劳动力 5 人,可获利润 6 万元,生产一台乙种型号的机器需资金 20 万元,劳动力 10 人, 可获利润 8 万元.若该公司每周有 300 万元的资金和 110 个劳动力可供生产这两种机器, 那么每周这两种机器各生产多少台,才能使周利润达到最大,最大利润是多少? 19.(本小题满分 16 分) 2 x 已知函数 f(x)=(ax -1)·e ,a∈R. (1)若函数 f(x)在 x=1 时取得极值,求 a 的值; (2)当 a≤0 时,求函数 f(x)的单调区间. 20.(本小题满分 16 分) 已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足 a1+a2=a3,b1b2=b3,且 a3,a2+b1,a1+b2 成等差数 列,a1,a2,b2 成等比数列. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; (2)按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项: 第 1 次从数列{an}中取 a1, 第 2 次从数列{bn}中取 b1,b2, 第 3 次从数列{an}中取 a2,a3,a4, 第 4 次从数列{bn}中取 b3,b4,b5,b6, ?? 第 2n-1 次从数列{an}中继续依次取 2n-1 个项, 第 2n 次从数列{bn}中继续依次取 2n 个项, ??

2

由此构造数列{cn}:a1,b1,b2,a2,a3,a4,b3,b4,b5,b6,a5,a6,a7,a8,a9,b7,b8,b9,b10,b11,b12,?, 2014 记数列{cn}的前 n 项和为 Sn,求满足 Sn<2 的最大正整数 n.

2015 届高三第三次联考·数学试卷 参 考 答 案 1.{x|1≤x<2} 由题知集合 M={x|-3<x<2},所以 M∩N={x|1≤x<2}. 2.6 因为 S9==9a5=54,所以 a5=6. 3.9 设矩形的一边长为 x,则矩形面积 S=x(6-x)≤[] =9,当且仅当 x=6-x,即 x=3 时取 等号. 4.2
n 2

4a2=a1+a3+6,∴8q-8-2q =0,q=2,an=2×2 =2 .
3 4

2

n-1

n

5.0 cos 2θ ===0. 6. =q =,q=,a10+a13=(a6+a9)q =×=. 7.4 a+4b≥2=8,当且仅当 a=4b 时取等号,结合 a>0,b>0,ab=4,所以 a=4,b=1,=4. 8. 因为 a-b 与 a 垂直,所以(a-b)·a=0,所以 a·a=b·a,所以 cosa,b====,所以 a,b=. 9.30 作出可行域,如图所示:

3

当目标函数 z=2x+3y 经过 x+y=3 与 2x-y=3 的交点(2,1)时,有最小值 2×2+3=7,经过 xy+1=0 与 2x-y=3 的交点(4,5)时,有最大值 2×4+3×5=23,其最值和为 30. 10.[,+∞) =≤=,所以要使≤a 恒成立,则 a≥,即实数 a 的取值范围为 a≥. 11.2 由题意知 a2a8=8 =,即 a5=8,设公比为 q(q>0),所以 4a3+a7=+a5q =+8q ≥2=32,当且 仅当=8q ,即 q =2 时取等号,此时 a1==2. 12.136 a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,所以 a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,?,an-an-1=n,等式两边同 时累加得 an-a1=2+3+?+n,即 an=1+2+?+n=,所以第 16 个图形中小正方形的个数是 136. 13.67 由 xn+2=|xn+1-xn|,得 x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,x4=|x3-x2|=|1-2a|,因为数列{xn}的周 期为 3,所以 x4=x1,即|1-2a|=1,解得 a=0 或 a=1.当 a=0 时,数列为 1,0,1,1,0,1,?,所 以 S100=2×33+1=67.当 a=1 时,数列为 1,1,0,1,1,0,?,所以 S100=2×33+1=67. 14.(-,) u=表示点 M(1,2)与点 P(x,y)两点连线的斜率的倒数.画出可行域如图,当点 P 为区域内的点(0,-1)时,umax=,当点 P 为区域内的点(2,-1)时,umin=-.
2 2 2 2 2

15.解:(1)当 a=5 时,f(x)=x +5x+6. 由 f(x)<0,得 x +5x+6<0, 即(x+2)(x+3)<0, 所以-3<x<-2.8 分 (2)若不等式 f(x)>0 的解集为 R,则有 Δ =a -4×6<0, 解得-2<a<2,即实数 a 的取值范围是(-2,2).14 分 16.解:(1)设数列{an}的公差为 d,由题意得,解得 a1=1,d=2, 所以 an=a1+(n-1)d=2n-1,即{an}的通项公式为 an=2n-1.6 分 (2)由(1)知 bn=2
n 2n-2 2 2

2

,b1=1,==4,所以数列{bn}是以 1 为首项,4 为公比的等比数列,其前 n
2

项和 Tn==(4 -1).14 分 17.解:(1)由已知可得:f(x)=2cos x+sin 2x =1+cos 2x+sin 2x=2sin(2x+)+1, ∴函数的解析式为 f(x)=2sin(2x+)+1, ∴函数图象的对称轴方程为 x=π +(k∈Z).7 分 (2)由题意可得:cos B=>=≥=,当且仅当 a=c 时等号都成立,∴B∈(0,). ∴由(1)知 f(B)=2sin(2B+)+1,又∵B∈(0,),∴2B+∈(,). ∴f(B)∈(2, 3].14 分 18.解:设每周生产甲种机器 x 台,乙种机器 y 台,周利润 z 万元,则 4

目标函数为 z=6x+8y. 作出不等式组表示的平面区域,且作直线 l:6x+8y=0,即 3x+4y=0,如图:

8分 把直线 l 向右上方平移至 l3 的位置时,直线 l3 过可行域上的点 M 时直线的截距最大,即 z 取最大值,解方程组(x≥0,y≥0,x,y∈Z)得,所以点 M 坐标为(4,9),将 x=4,y=9 代入目 标函数 z=6x+8y 得最大值 z=6×4+8×9=96(万元). 所以每周应生产甲种机器 4 台、乙种机器 9 台时,公司可获得最大周利润为 96 万元.16 分 19.解:(1)f'(x)=(ax +2ax-1)·e ,x∈R.2 分 依题意得 f'(1)=(3a-1)·e=0,解得 a=.经检验符合题意.4 分 (2)f'(x)=(ax +2ax-1)·e ,设 g(x)=ax +2ax-1. ①当 a=0 时,f(x)=-e ,f(x)在(-∞,+∞)上为单调减函数.6 分 ②当 a<0 时,方程 g(x)=ax +2ax-1=0 的判别式为 Δ =4a +4a, 令 Δ =0, 解得 a=0(舍去)或 a=-1. 1°当 a=-1 时,g(x)=-x -2x-1=-(x+1) ≤0, 即 f'(x)=(ax +2ax-1)·e ≤0, 且 f'(x)在 x=-1 两侧同号,仅在 x=-1 时等于 0, 则 f(x)在(-∞,+∞)上为单调减函数.10 分 2°当-1<a<0 时,Δ <0,则 g(x)=ax +2ax-1<0 恒成立, 即 f'(x)<0 恒成立,则 f(x)在(-∞,+∞)上为单调减函数.12 分 3°a<-1 时,Δ =4a +4a>0,令 g(x)=0,得 x1=-1+,x2=-1-,且 x2>x1. 所以当 x<-1+时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)在(-∞,-1+)上为单调减函数; 当-1+<x<-1-时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)在(-1+,-1-)上为单调增函数; 当 x>-1-时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)在(-1-,+∞)上为单调减函数.14 分 综上所述,当-1≤a≤0 时,函数 f(x)的单调减区间为(-∞,+∞);当 a<-1 时,函数 f(x)的 单调减区间为(-∞,-1+),(-1-,+∞),函数 f(x)的单调增区间为(-1+,-1-).16 分 20.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q, 依题意,得解得 a1=d=1,b1=q=2. 5
2 2 2 x 2 2 2 2 x 2 x 2 2 x

故 an=n,bn=2 .7 分 (2)将 a1,b1,b2 记为第 1 组,a2,a3,a4,b3,b4,b5,b6 记为第 2 组,a5,a6,a7,a8,a9,b7,b8,b9,b10,b11,b12 记为第 3 组,??以此类推,则第 n 组中,有 2n-1 项 选取于数列{an},有 2n 项选取于数列{bn},前 n 组共有 n 项选取于数列{an},有 n +n 项选 取于数列{bn},记它们的总和为 Pn,并且有 Pn=+-2.10 分 P45-2 P44-2 Sn-2 Sn-2
2014 2014 2 2

n

=+2 =-2

2071 1981 2

-2

2014 33

-2>0,
2012

(2 -1)-2<0. )时, )时,
2

当 Sn=+(2+2 +?+2
2014

=-2

2013 2

-2+<0.13 分
2013

当 Sn=+(2+2 +?+2
2014

=-2+>0.
2014

可得到符合 Sn<2

的最大的 n=45 +2012=4037.16 分

6


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