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高考数学异构异模复习第八章立体几何8.3直线平面平行的判定与性质课件理_图文

第八章 立体几何

第3讲 直线、平面平行的判定与性质

考点 平行的判定与性质

撬点·基础点 重难点

1 直线与平面平行的判定定理 自然语言: 平面外一条直线
平行,则线面平行.
图形语言:如图所示.

与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.简称:线线

符号语言:a?α,b?α,且 a∥b?a∥α.

2 直线与平面平行的性质定理 自然语言:一条直线与一个平面平行,则过 行.简称:线面平行,则线线平行. 图形语言:如图所示.

这条直线的任一平面

与此平面的交线与该直线平

符号语言:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b.

3 平面与平面平行的判定定理 自然语言:一个平面内的 两条相交直线 则面面平行.
图形语言:如图所示.

与另一个平面平行,则这两个平面平行.简称:线面平行,

符号语言:a?α,b?α,a∩b=P,a∥β,b∥β?α∥β.

4 平面与平面平行的性质定理 自然语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的 交线平行.简称: 面面平行,则线线平行. 图形语言:如图所示.
符号语言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.

注意点 对直线与平面,平面与平面平行的判定与性质定理的理解 (1)直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可;线面平行的性质定理可以作为线线 平行的判定方法. (2)平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法,注意一定是第三个平面与 两平行平面相交,其交线平行. (3)要证面面平行需证线面平行,要证线面平行需证线线平行,因此“面面平行”问题最终可转化为“线 线平行”问题.

1.思维辨析 (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( × ) (2)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( √ ) (3)若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行,则 a∥α.( × ) (4)空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,则 EF∥平面 BCD.( √ ) (5)若 α∥β,直线 a∥α,则 a∥β.( × )

2.对于平面 α 和共面的直线 m,n,下列命题是真命题的是( ) A.若 m,n 与 α 所成的角相等,则 m∥n B.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m?α,n∥α,则 m∥n
解析 若 m,n 与 α 所成的角相等,则 m 与 n 平行或相交或异面,应排除 A;若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 平行或相交,应排除 B;若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,应排除 C.

3.已知不重合的直线 a,b 和平面 α, ①若 a∥α,b?α,则 a∥b; ②若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ③若 a∥b,b?α,则 a∥α; ④若 a∥b,a?α,则 b∥α 或 b?α, 上面命题中正确的是___④_____(填序号).
解析 ①若 a∥α,b?α,则 a,b 平行或异面;②若 a∥α,b∥α,则 a,b 平行、相交、异面都有可能; ③若 a∥b,b?α,a∥α 或 a?α.

撬法·命题法 解题法

[考法综述] 线线、线面、面面平行的判定与性质是考查重点,特别是三种平行关系的相互转化, 多以解答题形式进行证明.
命题法 证明或判断线线平行、线面平行、面面平行 典例 (1)如图,几何体 E-ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.
①求证:BE=DE; ②若∠BCD=120°,M 为线段 AE 的中点,求证:DM∥平面 BEC.

[解] (1)①证明:如图 1,取 BD 的中点 O,连接 CO,EO. 由于 CB=CD,所以 CO⊥BD,又 EC⊥BD,EC∩CO=C, CO,EC?平面 EOC, 所以 BD⊥平面 EOC, 因此 BD⊥EO, 又 O 为 BD 的中点, 所以 BE=DE.

②证法一:如图 2,取 AB 的中点 N,连接 DM,DN,MN,
因为 M 是 AE 的中点, 所以 MN∥BE. 又 MN?平面 BEC, BE?平面 BEC, ∴MN∥平面 BEC. 又因为△ABD 为正三角形, 所以∠BDN=30°,

又 CB=CD,∠BCD=120°, 因此∠CBD=30°,所以 DN∥BC. 又 DN?平面 BEC,BC?平面 BEC,所以 DN∥平面 BEC. 又 MN∩DN=N,故平面 DMN∥平面 BEC, 又 DM?平面 DMN,所以 DM∥平面 BEC. 证法二:如图 3,延长 AD,BC 交于点 F,连接 EF.
因为 CB=CD,∠BCD=120°,

所以∠CBD=30°. 因为△ABD 为正三角形, 所以∠BAD=60°, ∠ABC=90°, 因此∠AFB=30°. 所以 AB=12AF. 又 AB=AD,所以 D 为线段 AF 的中点,连接 DM,由点 M 是线段 AE 的中点,因此 DM∥EF. 又 DM?平面 BEC,EF?平面 BEC, 所以 DM∥平面 BEC.

(2)如图所示,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 是底面中心,A1O⊥底面 ABCD, AB=AA1= 2.
①证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; ②求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. [解] (2)①证明:由题设知,BB1 綊 DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴BD∥B1D1. 又 BD?平面 CD1B1,∴BD∥平面 CD1B1. ∵A1D1 綊 B1C1 綊 BC,

∴四边形 A1BCD1 是平行四边形,∴A1B∥D1C. 又 A1B?平面 CD1B1,∴A1B∥ 平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B=B,∴平面 A1BD∥平面 CD1B1.
②∵A1O⊥平面 ABCD, ∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高. 又∵AO=12AC=1,AA1= 2, ∴A1O= AA21-AO2=1. 又∵S△ABD=12× 2× 2=1,

【解题法】 线面平行、面面平行问题的思路及三种平行关系的相互转化 (1)证明线面平行问题的思路(一) ①作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线. ②证明线线平行. ③根据线面平行的判定定理证明线面平行. (2)证明线面平行问题的思路(二) ①在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面. ②利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行. ③证明所作平面与所证平面平行. ④转化为线面平行.

(3)空间平行关系之间的转化

如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 DD1,DB 的中点.

(1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:EF⊥B1C. [正解] (1)连接 BD1,如图,在△DD1B 中,E,F 分别为 D1D,DB 的中点,则
?EF∥平面 ABC1D1.

EF∥D1B

??

D1B?平面ABC1D1?

EF?平面ABC1D1 ??

B1C⊥AB

?

(2)

BA1BC,⊥BBCC1?1 平面ABC1D1???? BB1DC1⊥?平平面面AABBCC11DD11????

AB∩BC1=B

?

BE1FC∥⊥BBDD11????EF⊥B1C.

[错解]
[错因分析] 本题易出现的错误是推理论证不严谨,在使用线面关系的判定定理和性质定理时,忽视 定理的使用条件从而推理条件不充分,导致错误.

[心得体会]

编后语
? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。

2019/7/12

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