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高中数学等比数列新人教版必修5(A).doc


等比数列
【知识点精讲】 1.定义与定义式 从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.

an?1 ? q(q为不等于零的常数 ) an
2.通项公式 an ? a1q n?1 ,推广形式: an ? am q n?m ,变式 q ? n ? m
an ( n ? m, m , n ? N ? ) am

? na1 (q ? 1) ? 3.前 n 项和 S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? (q ? 0且q ? 1) ? 1? q ? 1? q
注:应用前 n 项和公式时,一定要区分 q ? 1与q ? 1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4.等比中项:若 a、b、c 成等比数列,则 b 是 a、c 的等比中项,且 b ? ? ac 5.在等比数列 ?an ? 中有如下性质: (1)若 m ? n ? p ? q, m, n, p, q ? N ?则am ? an ? a p ? aq (2)下标成等差数列的项构成等比数列 (3)连续若干项的和也构成等比数列. 6.证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若

an?1 ? q(n ? N ? ) ? 数列?an ?为等比数列 an

2 ? (2)等比中项法:若 an ?an ?为等比数列 ?1 ? an ? an?2 (n ? N 且an an?1an? 2 ? 0) ? 数列

(3)通项法:若 an ? cqn (c, q均是不为 0的常数,n ? N ? ) ? 数列?an ? 为等比数列 (4)前 n 项和法:若 S n ? Aqn ? A( A, q为常数, 且q ? 0, q ? 1) ? 数列?an ? 为等比数列 7.解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想 ①运用等比数列的求和公式时,需要对 q ? 1和q ? 1讨论 ②当 a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1时, 等比数列?an ? 为递增数列 ( an?1 ? an ? a1q n?1 (q ? 1) )

?an ?为递减数列 a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1时, 等比数列
【例题选讲】 1.关于基本公式的运用 例 1. 已知等比数列 ?an ? 中,a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an。 详见优化设计 P41 典例剖析例 1,解答略。 变式:将该题中的等比数列改为等差数列,结果是多少? 例 2.已知数列 ?an ? 为等差数列,公差 d≠0,?an ? 的部分项组成下列数列:ak1 , ak1 , ak3 ?akn ,恰 为等比数列,其中 k1=1, k2=5, k3=17,求 k1+k2+k3+?+kn。 2.关于等比数列的证明 例 3.数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式分别是 an ? 2n , bn ? 3n ? 2, 它们公共项由小到大排列的数列是

?cn ?,①写出 ?cn ?的前 5 项

②证明 ?cn ? 是等比数列

思维分析:容易证明 ?cn ? 是等比数列,由定义式,只需找出 ?cn ? 中任意相邻两项关系即可. 解(1) ?cn ? 的前 5 项为:8、32、128、512、2048 (2)设 am ? bp ? cn ,?cn ? 2m ? 3 p ? 2, 而am?1 ? 2 ? 2m ? 2(3 p ? 2) ? 3 ? (2 p ? 1) ? 1

? am?1不在?b n ? 中, 又am?2 ? 4 ? 2m ? 4 ? (3 p ? 2) ? 3 ? (4 p ? 2) ? 2,? am?2在?bn? 中
? am?2是?cn ? 中的项即cn?1项,? cn?1 ? 4cn , 故?cn ?是等比数列
3.数学应用题----数列建模 例 4.一个球应从 100 米高处自由下落,每次着地后又跳回到原高度的一半落下,当它第 10 次着地 时,共经过了多少米? 思维分析:数列建模过程中,关键是建立递推关系式,然而求出 an ,再结合数列相关性质解题。 解 : 球 第 一 次 着 地 时 经 过了 100 米 , 从 这 时 到 球 第 二 次 着 地 时 , 一 上 一 下 共 经 过 了 100 2? ? 100 米? ,因此球第十次着地时共经过的路程为 2 1 100 [1 ? ( ) 9 ] 100 100 100 2 100 ? 100 ? ? 2 ? ? ? 8 ? 100 ? ? 300米 1 2 2 2 1? 2 练习 变式 4:一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一出生就在每年 生日,到银行储蓄 a 元,一年定期,若年利润率为 r,保持不变,且每年到期时,存款(含利息) 自动转为新的一年定期,当孩子 18 岁上大学时,将所有存款(含利息)全部取回,则取回总钱 数为多少?

解: a(1 ? r )18 ? a(1 ? r )17 ? ? ? a(1 ? r ) ? 4.等比数列综合题

a [(1 ? r )19 ? (1 ? r )] r

例 5 设各项均为正数的数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足 5a n , 5b n , 5a n ?1 成等比数列,lgbn,lgan+1,lgbn+1 成等差数列,且 a1=1,b1=2,a2=3,求通项 an,bn。 备用题: (01 年全国高考)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以 1 此发展旅游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 ,本年度当地 5 旅游收入估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会比 1 上年增加 4 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业收入为 bn 万元,写出 an、bn 的表达 式。 (2)至少经过多少年旅游业总收入才能超过总投入? 思维分析:建立等比数列模型 1 1 4 解: (1) a n ? 800 ? 800 (1 ? ) ? ? ? 800 (1 ? ) n ?1 ? 400[1 ? ( ) n ] 5 5 5 1 1 5 bn ? 400 ? 400 (1 ? ) ? ? ? 400 (1 ? ) n ?1 ? 1600[( ) n ? 1] 4 4 4 (2) bn ? an ? 0 ? n ? 5 ,至少经过 5 年。 【课堂小结】 1.等比数列的定义、通项、中项、求和; 2.方程的思想、整体代换思想、分类讨论思想; 3.适当注意等比数列性质的应用,以减少运算量而提高解题速度。 【课后作业】 高考胜券


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