2018-2019学年高中数学人教A版必修五课件：第二章 数列2.2.1_图文

第1课时 等差数列 1.理解等差数列的概念,明确“同一个常数”的含义. 2.掌握等差数列的通项公式及其应用. 3.会判定或证明等差数列;了解等差数列与一次函数的关系. 1.等差数列 文字 语言 数学 符号 递推 关系 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项 的差等于同一个常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这 个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示 在数列{an}中,如果 an+1-an=d(n∈N*)(或 an-an* 1=d,n≥2,n∈N )成立,则称数列{an}为等差数列 ,常数 d 称为等差数列的公差 an+1-an=d(n∈N*)或 an-an-1=d(n≥2,n∈N*) 名师点拨1.定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个:其 一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项 必须相邻. 2.公差d∈R,当d=0时,数列为常数列;当d>0时,数列为递增数列; 当d<0时,数列为递减数列. 【做一做1】 等差数列4,7,10,13,16的公差等于 . 答案:3 2.通项公式 等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则通项公式是an=a1+(n-1)d . 【做一做2】 在等差数列{an}中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公式 an等于( ). A.4-2n B.2n-4 C.6-2n D.2n-6 解析:an=a1+(n-1)d=4+(-2)(n-1)=6-2n. 答案:C 1.对等差数列定义的理解 剖析(1)等差数列定义中的关键词是:“从第2项起”与“同一个常 数”. ①如果一个数列,不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项 与前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列. ②如果一个数列,从第2项起,每一项与前一项的差,尽管是常数, 但这个数列也不一定是等差数列.这是因为这些常数可能不相同, 必须是同一个常数,才是等差数列. ③等差数列中至少有三项. (2)公差是数列中的某一项(除第一项外)与其前一项的差,不可颠 倒,即d=an+1-an=an-an-1=…=a3-a2=a2-a1. (3)切忌只通过计算数列中特殊几项的差后,发现它们是同一个常 数,就断言此数列为等差数列. 2.对等差数列通项公式的理解 剖析(1)从函数的角度看等差数列的通项公式. 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可得an=dn+(a1-d),如果设 p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,an是关于n的一 次函数,即(n,an)在一次函数y=px+q的图象上,因此从图象上看,表示 等差数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上. 所以公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开 的一群孤立的点. 当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴 的直线(或x轴)上的均匀分布的一群孤立的点. (2)已知等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差 数列的通项公式,则可以写出数列中的任意一项. (3)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个变数,即 a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,就可以由通项公式求出第 四个数,这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”. 题型一 题型二 题型三 题型四 求等差数列的通项公式 【例1】 已知数列{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求an. 分析先求出a1,d,再求an. 解设等差数列{an}的公差为d, 15 = 1 + 14 = 8, 由题意,知 60 = 1 + 59 = 20, 解得 1 = = 64 , 15 4 , 15 故 an=a1+(n-1)d= 1 + (-1) = , 反思一般地,可由 am=a,an=b,得 1 + (-1) = , 求出a1和d,从而确定通项公式. 64 4 + ( ? 1) × 15 15 = 4 + 4. 15 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 已知数列{an}为等差数列,a3=5,a7=13,求数列{an} 的通项公式. 解设首项为a1,公差为d,则 3 = 1 + 2 = 5, = 1, 解得 1 7 = 1 + 6 = 13, = 2. 故an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1. 题型一 题型二 题型三 题型四 等差数列的判定与证明 【例 2】 已知数列{an}满足 a1=4,an=4? (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 4 -1 ( > 1), 记 = 1 . -2 分析(1)作差 bn+1-bn,并把 an+1=4? (2)先根据(1)求出 bn,再求出 an. 4 代入,得差为常数即可; 题型一 题型二 题型三 题型四 (1)证明 bn+1-bn= = 4- ∵b1= 4 -2 1 1 1 -2 1 ? = ? = = . -2 2( -2) -2 2( -2) 2 1 , 2 1 2 1 1 1 ? +1 -2 -2 1 1 1 -2 = ∴数列{bn}是首项为 2 , 公差为 2 的等差数列. (2)解由 (1)知 bn= + ( ? 1) × = . ∵bn= 1 ,∴ 2 = 1 + 2 = + 2. 2 1 2 1 2 题型一 题型二 题型三 题型四 反思已知数列{an}的通项公式an=f(n),用定义判断或证明{an}是 等差数列的步骤: (1)利用通项公式an=f(n)写出an+1=f(n+1)(或an-1=f(n-1),n≥2); (2)作差an+1-an(或an-an-1),将差变形; (3)当差an+1-an(或an-an-1)是一个与n无关的常数时,数列{an}是等 差数列;当差an