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高考数学总复习第二章函数、导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性课件文_图文

第3讲 函数的奇偶性与周期性 考纲要求 考情风向标 1.结合具体函数,了解函数奇偶 性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函 数的性质. 本节复习时应结合具体实例 和函数的图象,理解函数的奇偶 性、周期性的概念,明确它们在 研究函数中的作用和功能.重点 解决综合利用函数的性质解决有 关问题. 1.函数的奇偶性 (1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= -f(x)[或 f(-x)+f(x)=0],则称 f(x)为奇函数.奇函数的图象关 于原点对称. (2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有_f(_-__x_)_=__f(_x_)[或 f(-x)-f(x)=0],则称 f(x)为偶函数.偶函数的图象关于___y___ 轴对称. 注意:通常利用图象或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶 性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或 偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称). 2.函数的周期性 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得定义域内的 每一个 x 值,都满足 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函 数,非零常数 T 叫做这个函数的__周__期__. 1.函数y= 1-x+ x-1是( D ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2.(2015年广东江门一模)下列函数中,是奇函数的是( D ) A.f(x)=2x C.f(x)=sinx+1 B.f(x)=log2x D.f(x)=sinx+tanx 3.函数f(x)=1x-x的图象关于( C ) A.y 轴对称 C.坐标原点对称 B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称 4.(2013 年广东茂名一模)已知 f(x)是奇函数,当 x>0 时, f(x)=log2x,则 f??? ? 1 2 ???=( B ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:f??? ? 1 2 ???=-f??? 1 2 ? ?? =-log212=1. 考点 1 判断函数的奇偶性 例 1:(1)(2014 年广东)下列函数为奇函数的是( ) A.y=2x-21x C.y=2cosx+1 B.y=x3sinx D.y=x2+2x 解析:对于A选项中的函数f(x)=2x- 1 2x =2x-2-x,函数定 义域为R,f(-x)=2-x-2-(-x)=2-x-2x=-f(x),则该函数为奇 函数;对于B选项中的函数g(x)=x3sinx,g(-x)=-x3sin(-x) =x3sinx=g(x),则该函数为偶函数;对于C选项中的函数h(x) =2cosx+1,定义域为R,h(-x)=2cos(-x)+1=2cosx+1= h(x),则该函数为偶函数; 对于D选项中的函数φ(x)=x2+2x,φ(1)=3,φ(-1)= 3 2 , 则φ(-1)≠±φ(1),则该函数为非奇非偶函数.故选A. 答案:A (2)(2013 年广东)定义域为 R 的四个函数 y=x3 ,y=2x,y =x2+1,y=2sinx 中,奇函数的个数是( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 答案:C (3)(2012 年广东)下列函数为偶函数的是( ) A.y=sinx B.y=x3 C.y=ex D.y=ln x2+1 解析:y=sinx是奇函数,y=x3是奇函数,y=ex为非奇非 偶函数.对于D项,由f(x)=ln x2+1 ,得f(-x)=ln ?-x?2+1 =ln x2+1=f(x),故y=ln x2+1是偶函数. 答案:D (4)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下 列结论恒成立的是( ) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 解析:∵g(x)是 R 上的奇函数,∴|g(x)|是 R 上的偶函数, 从而 f(x)+|g(x)|是偶函数.故选 A. 答案:A 【规律方法】判断函数奇偶性的方法: ①定义法:第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对 称,若不对称,则为非奇非偶函数.第二步直接或间接利用奇偶 函数的定义来判断,即若有f(-x)=-f(x)(或f(- x)+f(x)=0, f (x) =-1),则f(x)为奇函数;若有f(-x)=f(x)(或f(- f (?x) x)-f(x)=0, f (x) =1),则f(x)为偶函数; f (?x) ②图象法:利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数 奇偶性的判断常用图象法; ③复合函数奇偶性的判断:若复合函数由若干个函数复 合而成,则复合函数的奇偶数可根据若干个函数的奇偶性而 定,概括为“同奇为奇,一偶则偶”; ④抽象函数奇偶性的判断:应充分利用定义,巧妙赋值, 通过合理、灵活地变形配凑来判断. 【互动探究】 1.若函数 f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定义域均为 R, 则( B ) A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 解析:∵f(-x)=3-x+3x=f(x),∴f(x)为偶函数.而 g(-x) =3-x-3x=-g(x),∴g(x)为奇函数. 考点 2 利用奇偶性求函数值 例 2:若 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数 a=________. 解析:方法一:由函数 f(x)为偶函数,得 f(x)=f(-x)对于任 意的 x 都成立, 即(x+a)(x-4)=(-x+a)·(-x-4), ∴x2+(a-4)x-4a=x2+(4-a)x-4a.∴a-4=4-a.∴a=4. 方法二:由题