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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件 北师大版必修4


函数y=Asin(ω x+φ )的图象

1 例1 作函数 y ? 2 sin x及 y ? sin x 的图像。 2

1、列表: 解: x
sin x 2 sin x
0 0 0 0
? 2

五点法
?
3? 2

2? 0 0 0

1

0 0 0

?1

2

?2

1 sin x 2

1 2

?1 2

2. 描点、作图:
想一想?
y

2
1

y=2sinx
y=sinx

y= 1 sinx 2
? 2

什么发生 了变化

o -1
-2

?

3? 2

2?

x

? A sin x( A ? 0) 的图像可以看作是把 y ? sin x的图像上所有
归纳总结:函数 y 点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时) 到原来的A倍(横坐标不变)而得 到。

? ? 例2:画出函数 y ? sin( x ? ) 和 y ? sin( x ? ) 的简 6 4 图,并说明它们与函数 y ? sin x 的关系。
解:作图

? 决定了 由例 2可以看出,在函数 y ? sin(x ? ? ) 中,
x=0时的函数值,通常称 ? 为初相, x ? ? 为相位。

小结:函数 y ? sin(x ? ? ) 的图像,可以看作是把

y ? sin x 的图像上所有的点向左(当 ? >0时)或向
右(当? <0时)平行移动 | ? |个单位长度而得到的。

? 1、为得到y=4sin(2x+ ),x∈ R,的图像, 3? 只需将函数y=2sin(2x+ ),x∈ R的图像上 3
所有点( C )

课 堂 练 习

(A)横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变

1 (B)横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变 2
(C)纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变
(D)纵坐标变为原来的 1 倍,横坐标不变

2

2、将函数y=3sinx的图像向右平移

? 个单位长度,得到函数的解析式
4

? y ? 3 sin( x ? ) 为: 4 。

3、为得到函数y=sin(2x-- ?),x ∈ R,的图 3 像,只需将函数y=sin2x, x ∈ R,的图像 上所有点( B )

(A)向左平移 ? 6 (B)向右平移 ? 6 (C)向左平移 ? 3 ? (D)向右平移 3

个单位长度
个单位长度 个单位长度 个单位长度

练习:已知函数y=3sin(x+π /5)x∈R的图象为C. (1)为了得到函数y=3sin(x-π/5),x∈R的图象,只 需把C上所有的点 向右平行移动2π/5个单位长度

(2)为了得到函数y=4sin(x+π/5),x∈R的图象,只 需把C上所有的点 纵坐标伸长到原来的4/3倍, 横坐标不变

1 例3 作函数 y ? sin 2 x 及 y ? sin 2 x 的图像。 1. 列表:

x
2x sin 2 x

0 0

?

4

?

2
?

3? 4

?
2? 0

? 2

3? 2

0

1

0

?1

2. 描点: 2 y
1

2?
O ?

3? x

?1
?2

1. 列表:

对于函数y ? sin 1 x 2

x

0

?

4

?

1 0 x 2 1 sin x 0 2
2. 描点:
y

2
?

3? 4
3? 2

?
2?

? 2





-1



1
2? ? 3? 4? x

O
?1

由例 3 可以看出,在函数 y ? sin ?x(? ? 0) 中, ?

决定了函数 的周期 T ? 2? ,通常称周期的倒数 ? 1 ? 为频率。 f ? ? T 2?

小结:函数

y ? sin ?x(? ? 0) 的图像,可以看作
?

是把 y ? sin x 的图像上所有点的横坐标缩短(当 ? ? 1 时)或伸长(当 0 ? ? ? 1 时)到原来的 1 倍(纵坐标不变)而得到的。

问题:函数 y ? 函数 y

f (?x)?? ? 0, ? ? 1? 的图像能否由

? f ( x) 的图像变化而得到呢?应该作怎样的

变化呢?

y ? f (?x)?? ? 0, ? ? 1? 的图像,可以 看作是把 y ? f ( x) 的图像上所有点的横坐标缩短
小结:函数 (当? ? 1 时)或伸长(当 0 ? ? ? 1时)到原来的 1 倍(纵坐标不变)而得到的。

?

例4:画出函数 y ? sin x 和函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) ? 1 的简 6 图。
解: (1)列表

?

x
y ? sin x

0 0

? 2

?
0

3 ? 2? 2

1

?1

0

x
2x ?

? ? 12

?
6

0
)

? 2

? 6

5 ? 12

2 ? 3

11 ? 12

?

3 ? 2

2?

sin( 2 x ?

?
6

0
1

1

0

?1 0

y ? 3 sin( 2 x ? ) ? 1 6

?

4

1 ?2 1

(2)描点和作图

问题:可不可以由函数 y ? sin x 的图像而得到函数

y ? 3 sin( 2 x ?
程。

?

6 变换过程

) ? 1 的图像?如果可以,请给出过

问题:可不可以由函数 y ? sin x 的图像而得到函数

y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像?
如果可以,请给出过程。 方法-: ①先画出 y ? sin x 的图像; 1 ②从 y ? sin x 的图像上各点的横坐标变为原来的 倍, ? y ? sin ? x 得到函数 的图像; |? | ③把所得到的曲线向左(右)平移 个单位长度,得 ? y ? sin( ? x ? ? ) 到函数 的图像; ④把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍,这时的 曲线就是函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像; ⑤把图像向上(下)平移| b | 个单位长度,得

y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的图像.

方法二:
①先画出 y ? sin x 的图像; ②把正弦曲线向左(右)平移 | ? | 个单位长度,得 到函数 y ? sin(x ? ? ) 的图像; 1 ③使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍,得到函数 ? y ? sin(?x ? ? )的图像; ④把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍,这时的 曲线就是函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像; ⑤把图像向上(下)平移| b | 个单位长度,得

y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的图像.

方法 三: ①先画出 y ? sin x 的图像; ②把正弦曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍,这 时的曲线就是函数 y ? A sin x的图像; 1 ③把图像上各点的横坐标变为原来的 倍,得到函数 ? y ? A sin ?x 的图像; |? | ④把所得到的曲线向左(右)平移 个单位长度,得 ? y ? A sin( ? x ? ? ) 到函数 的图像;

⑤把图像向上(下)平移| b | 个单位长度,得

y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的图像.

方法四: ①先画出 y ? sin x 的图像; ②把正弦曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍,这 时的曲线就是函数 y ? A sin x的图像; ③把曲线向左(右)平移 | ? | 个单位长度,得 到函数 y ? A sin(x ? ? ) 的图像; 1 ④使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍,得到函数 ? y ? A sin(?x ? ? ) 的图像; ⑤把图像向上(下)平移| b | 个单位长度,得

y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的图像.

课堂练习
1 1、为得到y=2sin( x -- ? ),x∈ R,的图像,只 2 3 需将函数y=2sin(x- ? ),x∈ R的图像上所有点 3 (A )
(A)横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
(B)横坐标变为原来的 1 倍,纵坐标不变

2

(C)纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变

1 (D)纵坐标变为原来的 倍,横坐标不变 2

2、将函数y=2sin(x+

?)的图像上 5

所有点的横坐标变为原来的2倍,
纵坐标不变,得到的函数的解析

x ? y ? 2sin( ? ) 2 5 。 式为:

3、将函数y=sinx的图像上所有点的横坐标变为

原来的3倍,纵坐标不变,再将所得函数图
像向左平移 析式为:

?
6

? 1 y ? sin ( x ? ) 3 6 。

个单位长度,得到的函数的解

练习1:使函数 y ? f ( x) 图像上每一点的纵坐标保持 1 不变,横坐标缩小到原来的 2 倍,然后再将其图像 ? 沿 x 轴向左平移 个单位得到的曲线与 y ? sin 2 x 的 6 图像相同,则 f ( x) 的表达式为__________________
解:由题意可得
向右平移 个单位 6

?

y ? sin 2 x ????? ?? y ? sin 2( x ? ) ? sin( 2 x ? )
6 3

?

?

?????????? ?? y ? sin( x ? 3 )
横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变

?

练习2:如下图,它是函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0),

| ? |? ? 的图像,根据图中数据,写出该函数解析式。
y

5

O

? 4

?

5 x ? 2

?5

5 解:由图像可知,A ? 5, T ? 2 ? ( ? ? ? ) ? 3? 2 2? 2? 2 于是,? ? ? ? T 3? 3 2 所以,y ? 5 sin( x ? ? ) 3 2 ? 将最高点坐标 ( ,5) 代入 y ? 5 sin( x ? ? ) 得: 4 3 ? 5 sin( ? ? ) ? 5
2 ? ? ?? ? 2k? ? (k ? Z ), 取 ?= 3 3 ?

?
6

6

? ? ? 2k? ?

?

(k ? Z ),

2 ? ? 该函数的解析式为 y ? 5 sin( x ? ) 3 3

练习3:如下图,某地一天从6时到14时的温度变化曲
线近似满足 y ? A sin(?x ? ? ) ? b (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式。

y 温度/0C
30 20 10 时间/h 6 10 14

o

x

? ( 1 ) 20 C 解: (2) A ? 10, b ? 20

T ? 14 ? 6 ? 8 2 ?T ? 16 2? ?16 ? ? ?? ?

? ?
8

? y ? 10 sin(

?

因为函数过点 (6,10), 所以10sin( ? 6 ? ? ) ? 20 ? 10 8 ? 3 即 ? 6+? ? 2k? ? ? (k ? Z ) 8 2 3 取k ? 0, 则? ? ? , 4 ? 3 ? 该函数的解析式为 y ? 10sin( x ? ? ) ? 20, x ? [6,14] 8 4

x ? ? ) ? 20 8 ?

例 1

求下列函数的最大值、最小值,以及达

到达到最大值、最小值时x的集合。

( 1 )y ? sin x ? 2 4 1 ( 2) y ? sin x 3 2 1 ? (3) y ? cos(3 x ? ) 2 4

例 2
1 ? (1)求函数 y ? 2 sin( x ? ) 的递增区间。 2 3 1 5? (2)求函数 y ? cos( 4 x ? ) 的递减区间。 3 6

(3)求函数 y ? 2 tan (2 x ? ) 的递增区间。
3

?

例3

1 ? 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ) 2 4

(1)求f(x)的单调增区间;
(2)求f(x)的最值,以及取得最值时x的值; (3)求f(x)的图像的对称中心; (4)求f(x)的图像的对称轴。


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