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2016届高考数学一轮复习 4.1向量与向量的线性运算练习 理


第四章

平面向量、数系的扩充与复数的引入

本章主要包括两个内容:平面向量、复数的概念与运算. 1.平面向量的复习,主要掌握以下几点: (1)平面向量的相关概念:主要有相等向量、相反向量、零向量、共线向量、向量的模、 两个向量的夹角等,这些概念是向量的基础. (2)平面向量的线性运算:向量的加法运算、减法运算、数 乘运算,要注意向量共线的 充要条件的应用. (3)平面向量的基本定理:这个定理是平面向量的核心,有了这个定理,实现了平面向量 的坐标化运算. (4)平面向量的数量积是平面向量的主要公式, 利用这个公式, 可以求出两个向量的夹角, 判断两个向量的垂直与平行.
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2.复数的复习,主要掌握以下几点: (1)复数的概念:复数的定义,复数的实部、虚部,复数的相等,共轭复数,复数的模. (2)复数的运算:复数的四则运算中,除法运算是将分母实数化. (3)复数加减运算的几何意义. 预测高考对平面向量的考查仍以小题考查重要知识点,以中、低难度为主;在解答题中, 会与三角函数、解三角形、解析几何等结合综合考查向量的应用.对复数的考查,仍会以小 题考查复数的概念与四则运算,以容易题为主.

1.复习平面向量内容时要注意: (1)向量具有大小和方向两个要素. 用有向线段表示向量时, 与有向线段起点的位置没有 关系,同向且等长的有向线段都表示同一向量. (2)共线向量和平面向量的两条基本定理, 揭示了共线向量和平面向量的基本结构, 它们 是进一步研究 向量的基础. (3)向量的加、减、数乘是向量的线性运算,其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个 实数.向量的数量积,可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角,判断 相应的两条直线是否垂直. (4)向量的运算与实数的运算有异同点,学习时要注意这一点,如数量积不满足结合律. (5)要注意向量在几何、三角、物理学中的应用. (6)平面向量的数量积及坐标运算是高考的重点, 复习中要注意培养准确的运算能力和灵 活运用知识的能力. 2.对于复数, 《课标》及《考纲》的要求有以下三点:理解复数的基本概念,理解复数 相等的充要条件,会进行复数代数形式的四则运算.所以在复习中应掌握好以下几个方面: (1)掌握好复数的基本概念和复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件 . (2)熟练掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则.在运算过程中要注意复数运算法 则与实数运算法则的区别. 复习中应掌握好复数问题实数化的化归思想.

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第一节 向量与向量的线性运算

基础回 顾K 一、向量的有关概念 1.平面向量. 平面内既有大小又有方向 的量叫做向量. → 向量一般用 a,b,c,??来表示,或用有向 线段的起点与终点的大写字母表示,如AB. → → 向量AB的大小即向量的模(长度),记作|AB|,向量 a 的大小,记作|a|. 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. 2.零向量. 长度为零的向量叫做零向量,记为 0,其方向是任意的,0 与任意向量平行.零向量 a= 0?|a|=0. 由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中 务必看清楚是否有“非零向量”这个条件(注意“0”与“0”的区别). 3.单位向量. 模为 1 个单位长度的向量叫做单位向量.向量 a0 为单位向量?|a0|=1. 4.平行向量(共线向量). 方向相同 或相反的非零向量叫做平行向量, 记作 a∥b.由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量. 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,这里必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义,要理解好平行向量中的“平 行”与几何中的“平行”是不一样的. 5.相等向量. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.相等向量经过平移后总可以重合,记为 a= b.
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二、向量的运算 1.向量的加法. 求两个向量和的运算叫做向量的加法. → → → → → 设AB=a,BC=b,则 a+b=AB+BC=AC. 规定:(1)0+a=a+0=a;

基础自 测K 1.已知非零向量 a,b,则“a∥b”是“a+b=0”的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:“a∥b”只要求两向量共线,而“a+b=0”要求反向共线且模相等.故选 B. 2.如图,e1,e2 为互相垂直的单位向量,则向量 a-b 可表示为(C )

A.3e2-e1 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 → 解析:如图所示,a-b=AB=e1-3e2.故选 C.

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3.已知 e1,e2 是平 面上两个不共线的向量,向量 a=2e1-e2,b=me1+3e2,若 a∥b, 则实数 m=-6. 4.(2013·江苏南通高三期末考试)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边, → → → 且 3aBC+4bCA+5cAB=0,则 abc=201512. → → → → 解析:由 3aBC+4bCA-5c(BC+CA)=0. → → → → 得 3aBC+4bCA-5cBC-5cCA=0. → → 即(3a-5c)BC+(4b-5c)CA=0. → → 因为BC与CA不共线,所以 3a-5c=0,且 4b-5c=0. 所以 abc=201512. (2)向量加法满足交换律与结合律. → → → → → → 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:AB+BC+CD+?+PQ+QR=AR,但这时 必须“首尾相连”. 2.向量的减法. (1)相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量叫做 a 的相反向量,记作-a.零向量的相 反向量仍是零向量. 关于相反向量有:①-(-a)=a;②a+(-a)=(-a)+a=0;③若 a,b 互为相反向量, 则 a=-b,b=-a,a+b=0. (2)向量的减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差,记作 a-b=a+(-b).求 两个向量差的运算叫做向量的减法.
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(3)作图法:a-b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量(a,b 有共同起点). 3.向量加、减法的“三角形法则”与“ 平行四边形法则” . (1)用平行四边形法则时, 两个已知向量是要共始点的, 和向量是始点与已知向量的始点 重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量. (2)三角形法则的特点是“首尾相接”, 由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的 有向线段就表示这些向量的和,差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则. 4.实数与向量的积. (1)实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a,它的长度与方向规定如下: ①|λ a|=|λ

||a|;

②当 λ >0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 λ <0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反;当 λ =0 时,λ a=0,方向是任意的. (2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律. 三、两个向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线?有且只有一个实数 λ ,使得 b=λ a.,

高考方向 1.平面向量的线性运算、共线向量定理将会成为近几年高考命题的热点. 2.虽然全国高考在本节命题很少,但有可能与三角、解析几 何交汇考查,有时也会命制 新定义问题. 3.题型主要以选择题、填空题为主,属中低档题.

品 味 高 考 → 1.如图,在△ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点,则AD=(C)

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2→ 1→ A. AB- AC 3 3

1→ 2→ B. AB+ AC 3 3

2→ 1→ C. AB+ AC 3 3

1→ 2→ D. AB- AC 3 3

→ → → → 2→ → 2 → → 2→ 1→ 解析:因为AD=AC+CD=AC+ CB=AC+ (AB-AC)= AB+ AC,故选 C. 3 3 3 3 1 2 → 2.(2013·江苏卷)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC,若DE 2 3 1 → → =λ 1AB+λ 2AC(λ 1,λ 2 为实数),则 λ 1+λ 2 的值为 . 2 1→ 2→ → 1→ 2→ 1→ 2 → → 解析:易知DE= AB+ BC= AB+ (AC-AB)=- AB+ AC, 2 3 2 3 6 3 1 所以 λ 1+λ 2= . 2 高 考 测 验 1.定义平面向量的正弦积为 a? b=|a||b|sin 2θ (其中 θ 为 a,b 的夹角).已知△ABC → → → → 中,AB? BC=BC? CA,则此三角形一定是(A) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 → → → → → → → → → → 解析: 因为AB? BC=|AB||BC|sin 2(π -B)=-|AB||BC|· sin 2B, BC? CA=|BC||CA|sin → → → → → → → 2(π -C)=-|BC||CA|·sin 2C,所以|AB||BC|sin 2B=|BC||CA|sin 2C,即|AB|·sin 2B → = |CA |sin 2C ,即 c·2sin Bcos B =b·2sin Ccos C ,由正弦定理可得 c·2b·cos B = b·2c·cos C,故 cos B=cos C,因为 A,B,C 为三角形的内角,故△ABC 一定是等腰三角 形,故选 A. 2.如图,在△ABC 中,已知 AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC 于点 H,点 M 为 AH 1 → → → 的中点,若AM=λ AB+μ BC,则 2λ -3μ = . 2

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解析:依题意可解得 BH=1,HC=2,AH= 3,AM=

3 .过点 M 作边 AB 的平行线交边 BC 2

于点 L,过点 A 作边 BC 的平行线与直线 LM 交于点 K,取边 AB 的中点 N,连接 MN. 1 → 1→ 1→ ∵点 M 为 AH 的中点,易得 MN∥AK,且 AK=BL= BC,∴AM= AB+ BC. 6 2 6 1 1 ∴λ = ,μ = . 2 6 1 ∴2λ -3μ = . 2

课时作业 1.(2013·吉林段考)在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是(C) → → A.AB=DC → → → B.AD+AB=AC

→ → → → → C.AB-AD=BD D.AD+CB=0 → → → → 解析:AB-AD=DB=-BD,故 C 错. 2.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD → → → 交于点 F.若AC=a,BD=b,则AF=(B) 1 1 A. a+ b 4 2 1 1 C. a+ b 2 4 2 1 B. a+ b 3 3 1 2 D. a+ b 3 3

解析:利用平面几何知识得出 DF∶FC=1∶2,然后利用向量的加减法则,可得答案 B. 3.已知 e1,e2 是不共线向量,a=2e1+e2,b=λ e1-e2,当 a∥b 时,实数 λ 等于(D) A.-1 B.0 1 C.- 2 D.-2

? ?λ =2m, 解析:设 b=ma,于是有? 由此解得 λ =-2,故选 D. ?-1=m, ? 8

→ → → → → → → 4.非零向量OA,OB不共线,且 2OP=xOA+yOB,若PA=λ AB(λ ∈R),则点 Q(x,y)的轨 迹方程是(A) A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0 → → → → → → → → → 解析:PA=λ AB,得OA-OP=λ (OB-OA),即OP=(1+λ )OA-λ OB. → → → 又 2OP=xOA+yOB, ∴x=2+2λ ,且 y=-2λ ,消去 λ 得 x+y=2.故选 A. → |BC| → → → 5.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C,若OA+2OC=3OB,则 =(A) → |AB| A. C. 1 1 B. 2 3 1 1 D. 4 6

→ → → → → → → → 解析:由已知等式得 2OC-2OB=OB-OA,即 2BO+2OC=AO+OB, → |BC| 1 → → → → ∴2BC=AB,于是 2|BC|=|AB|,即 = .故选 A. → 2 |AB| 6.(2015·全国卷Ⅱ,13)设向量 a,b 不平行,向量 λ a+b 与 a+2b 平行,则实数 λ 1 = . 2
? ?λ =k, 1 解析: 因为向量 λ a+b 与 a+2b 平行, 所以 λ a+b=k(a+2b), 则? 所以 λ = . 2 ?1=2k, ?

→ → → 7.(2013·四川卷)在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB+AD=λ AO, 则 λ =2. 解析:由于 ABCD 为平行四边形,对角线 AC 与 BD 交于点 O, → → → → ∴AB+AD=AC=2AO, ∴λ =2. → → → 8.设 O 是△ABC 内部一点,且OA+OC=-2OB,则△A OB 与△AOC 的面积之比为 12. 9.(2013·苏州调研)已知向量 a,b,c 中任意两个都不共线,并且 a+b 与 c 共线,b +c 与 a 共线,那么 a+b+c 等于 0.

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解析:∵a+b 与 c 共线, ∴a+b=λ 1c.① 又∵b+c 与 a 共线, ∴b+c=λ 2a.② 由①得:b=λ 1c-a. ∴b+c=λ 1c-a+c=(λ 1+1)c-a=λ 2a,
? ?λ 1+1=0, ? ?λ 1=-1, ∴? 即? ?λ 2=-1, ?λ 2=-1, ? ?

∴a+b+c=-c+c=0. → → → 10.设 e1,e2 是不共线的向量,已知向量AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,若 A, B,D 三点共线,求 k 的值. → → → 解析:BD=CD-CB=e1-4e2, ∵A,B,D 三点共线, → → ∴存在实数 λ 使AB=λ BD. ∴2e1+ke2=λ (e1-4e2), 得 λ =2,k=-4λ ? k=-8.

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