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简单线性规划问题


y

o

x

一、实际问题 例一、顺德是全国重要的家具生产基地。小王大学

毕业后回到顺德自主创业,新建了一个小型的家 具厂,计划用A、B两种木材生产两种甲、乙两种 型号的书柜。每生产一批次的甲书柜使用4个单位 A原料耗时1小时,每生产一批次的乙书柜使用4个 单位B原料耗时2小时。若该厂每天最多可从原料 厂获得16个单位A原料和12个单位B原料,按每天 工作8小时计算。问所有可能的日生产安排是什么?

例一、顺德是全国重要的家具生产基地。小王大学毕业后回到 顺德自主创业,新建了一个小型的家具厂,计划用A、B两种木材 生产两种甲、乙两种型号的书柜。每生产一批次的甲书柜使用4个 单位A原料耗时1小时,每生产一批次的乙书柜使用4个单位B原料 耗时2小时。若该厂每天最多可从原料厂获得16个单位A原料和12 个单位B原料,按每天工作8小时计算。问所有可能的日生产安排 是什么?
解:设甲、乙两种书柜分别生产x、y批, 由已知条件可得二元一次不等式组
A 甲(批) B 耗时 (小时)

4 x ? 16
?

x
乙(批)

4x
0
16

0
4y
12

x
2y
8

4 y ? 12

y
限制

x + 2y ? 8 x? N y? N

解:设甲、乙两种书柜分别生产x、y批,由已知条件可得 二元一次不等式组

?4 x ? 16 ?4 y ? 12 ? ? ?x + 2 y ? 8 ?x ? N ? ?y ? N ?

y

(x,y)
(0,0) (0,1) (0,2)

(x,y)
(2,1) (2,2) (2,3) (3,0) (3,1)

(0,4)
y=3

(0,3) (1,0)

(1,1)

(3,2)
(4,0) (4,1) (4,2)

x+2y=8

(1,2) (1,3) (2,0)

o
x=4

(8,0) x

二.提出问题
若每生产一批次甲书柜和乙书 柜分别都可获利1万元,如何安 排生产可使得获利最多?
(x,y)
(0,0) (0,1)

x+y
0 1

(x,y)
(2,1) (2,2)

x+y
3 4

y

(0,2)
(0,3) (1,0) (1,1)

2
3 1 2 3 4 2

(2,3)
(3,0) (3,1) (3,2) (4,0) (4,1) (4,2)

5
3 4 5 4 5 6

(0,4)
y=3

(1,2) (1,3) (2,0)

x+2y=8

o
x=4

(8,0)

答:由表格可知:当生产甲 x 4批次,乙2批次时,可获得 最大利润6万元。

若将条件中的 x ? N , y ? N

即已知x、y满足条件:

改为:x

? 0, y ? 0

y

(0,4)
y=3

x+2y=8

o
x=4

?4 x ? 16 ?4 y ? 12 ? ? ?x + 2 y ? 8 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?
x

(8,0)

求z=x+y的最大值

三.思考探究 求z=x+y的最大值
(x,y) x+y (x,y) x+y

y

0 3 (0,0) (0,3) 归纳:1、z=x+y的几何意义:表示平面 直角坐标系上的一系列平行直线 1 4 (0,1) (2,2)

(0,4)
P

2、求z=x+y的最值, 2 4 (0,2) (1,3) 可先找z的一个特殊值, 2 4 (2,0) (3,1) 并画出它所代表的直 y=3 (1,1) 2 (2,3) 线,然后将直线在平 5 面区域内上下平移, 3 5 (1,2) (3,2) 直到恰好与平面区域 3 5 (4,1) x+2y=8 (2,1) 不再有公共点为止。
(3,0) 3 (4,2) 6

(1,0)

1

(0,4)

4

o
x=4
x+y=2

(8,0)
x+y=6 x+y=4 x+y=3

x

?4 x ? 16 线性规划问题 ?4 y ? 12 ? ? 已知x、y满足条件: ? x + 2 y ? 8 求z=x+y的最大值 ?x ? 0 线性约 ? 线性目 ?y ? 0 束条件 ? y 标函数
可行解

四.相关概念

可行域
P
(x,y)

y=3

最优解
x+2y=8

o
x=4

x

五、总结解题步骤: 利用图解法解决线性规划问题的步骤: 设——找出关键量,将实际问题符号化 列——列出变量需要满足的所有不等关系和目标函数 画——画出线性约束条件所表示的可行域 移——先取目标函数的一个特殊值,画出其表示的 直线,然后将直线在平面区域内上下平移,直到直 线与平面区域恰好不再有交点为止 求——根据观察得出最优解,由最优解求出最值 答——回答题目的提问

六.巩固练习
若将问题改为:若经过技术改革,生产一批甲书柜获利1万元, 生产一批乙书柜可获利3万元,如何安排生产利润最大? 解:设z=x+3y

y

先作出直线x+3y=3,然后 将直线向上平移 由图像可知,当直线经过 点M时,Z有最大值。
y=3
P
x+2y=8

M

由y=3和x+2y=8可解得: M(2,3)

o
x=4
x+3y=3

x

所以,当生产甲2批, 乙3批时,可获得最大 利润11万元。

练习2
若将问题改为:生产一批甲书柜获利1万元,生产一批乙书 柜获利2万元,如何安排生产利润最大?

y

M(2,3)、P(4,2)

M P

所以,当生产 甲2批,乙3批, 或生产甲4批, y=3 乙2批时,均可 获得最大利润8 万元。

x+2y=8

o
x+2y=2

x=4

x

?

y

第二课时

o

x

复习线性规划
线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. 可行解 :满足线性约束条 件的解(x,y)叫可行解; 可行域 :由所有可行解组 成的集合叫做可行域; 最优解 :使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
可行域
(5,2) (1,1) 2x+y=12

2x+y=3

线性规划
例1 解下列线性规划问题: 求z=2x+y的最大值和最小值,使式中x、y满足下 2x+y=0 y 列条件:

解线性规划问题的一般步骤: 2x+y=3 2x+y=-3 ?y ? x 1 1 第一步:在平面直角坐标系中作出可行域; C( , )

? 2 2 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; ?x + y ? 1 O ? y ? ?1 第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数 B(2,-1) ?
的最大值或最小值。
A(-1,-1)

x

答案:当x=-1,y=-1时,z=2x+y有最小值-3. 当x=2,y=-1时,z=2x+y有最大值3.
探索结论

线性规划
例2 解下列线性规划问题: 求z=300x+900y的最大值和最小值, 使式中x、y满足下列条件: y

?2 x + y ? 300 ? x + 2 y ? 250 ? ? x?0 ? ?y ? 0 ?

2x+y=300
x+3y=0

A 125

300x+900y=112500

C x+2y=250 150 B 250

300x+900y=0

O

答案:当x=0,y=0时,z=300x+900y有最小值0. 当x=0,y=125时,z=300x+900y有最大值112500.
探索结论

线性规划
练习2 解下列线性规划问题: 求z=3x+y的最大值,使式中 y 8 x、y满足下列条件:
x-y=7 C(3,6) y=6
3x+y=29

?2x + 3y ? 24 ?x ? y ? 7 ? ? ?y ? 6 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?

(0,6)

2x+3y=24

B(9,2) O A (7,0)
3x+y=0

12

x

答案:当x=9,y=2时,z=3x+y有最大值29.
探索结论

y

第三课时

o

x

例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生 产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉 1吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级 子棉2吨,每1吨甲种棉纱的利润是600元, 每1吨乙种棉纱的利润是900元,工厂在生 产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不 超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙 两种棉纱应各生产多少(精确到吨),能使利 产品 甲种棉纱 乙种棉纱 资源限 润总额最大? (吨)x (吨)y 额(吨) 资源 2 1 300 一级子棉(吨) 1 2 250 二级子棉(吨) 600 900 利润(元)

线性规划的实际应用
? 解:设生产甲、乙两种 棉纱分别为x吨、y吨, 利润总额为z元,则
y

解方程组 ?2x + y ? 300 ? ?x + 2 y ? 250 得点M的坐标 x=350/3≈117 y=200/3≈67

?2x + y ? 300 ?x + 2 y ? 250 ? ? x?0 ? ?y ? 0 ?

300 2x+y=300 125

Z=600x+900y 作出可行域,可知直 线Z=600x+900y通过 点M时利润最大。

O

350 200 M( , ) 3 3 x+2y=250 150 250

答:应生产甲、 乙两种棉纱分别 x 为117吨、67吨, 能使利润总额达 到最大。

线性规划的实际应用
例2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别 为200万吨和300万吨,需经过东车站和 西车站两个车站运往外地.东车站每年最 多能运280万吨煤,西车站每年最多能运 360万吨煤,甲煤矿运往东车站和西车站 的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨,乙 煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别 为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调 运方案,能使总运费最少?

例2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200万吨和300万吨,需经过东车站和西车 站两个车站运往外地.东车站每年最多能运 280万吨煤,西车站每年最多能运360万吨 煤,甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格 分别为1元/吨和1.5元/吨,乙煤矿运往东车 站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6 煤矿 甲煤矿 乙煤矿 运量 元/吨.煤矿应怎样编制调运方案,能使总运 费最少? (元/吨) (元/吨) (万吨) 车站 1 0.8 280 东车站 1.5 1.6 360 西车站 200 300 产量(万吨)

280 ?x ? 0 P ?y ? 0 ? ? 140 x + y ? 280 ? ?(200 ? x) + (300 ? y ) ? 360 ? O

解:设甲煤矿运往东车站x万吨,乙煤矿 y 运往东车站y万吨,则约束条件为: 煤矿调运问题
P: (0.00, 280.00) z= 780-0.5?xP-0.8?yP = 556.00

140

280

x

目标函数为: z=[x+1.5(200- x)]+[0.8y+1.6(300-y)] 答案:当 x=0,y=280时,即甲煤矿运往东车站0吨,西车 =780-0.5x-0.8y (万元) 站200吨;乙煤矿运往东车站280吨,西车站20吨.总运费
最少 556万元。

线性规划的应用
? 已知:-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求a+3b的取值范 围。
解法1:由待定系数法: 设 a+3b=m(a+b)+n(a-2 b) =(m+n)a+(m-2n)b ∴m+n=1,m-2n=3 解法2:∵-1≤a+b≤1,1≤a-2 b≤3 ∴-2≤2a+2 b≤2, -3≤2 b-a≤-1 ∴-1/3≤a≤5/3

m=5/3 ,n=-2/3
∴ a+3b=5/3×(a+b)-2/3×(a-2 b) ∵-1≤a+b≤1,1≤a-2 b≤3 ∴-11/3≤a+3 b≤1

-4/3≤b≤0
∴-13/3≤a+3 b≤5/3

线性规划的应用
b 已知:-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求a+3b的取值范围。

解法3 约束条件为:
? a + b ? ?1 ?a + b ? 1 ? ? ?a ? 2b ? 1 ?a ? 2b ? 3 ?

D O A a

P
B

C

目标函数为:z=a+3b 由图形知:-11/3≤z≤1 即 -11/3≤a+3 b≤1

线性规划的实际应用小结
? 解线性规划应用问题的一般步骤:
1、理清题意,列出表格; 2、设好变元,列出线性约束条件(不 等式组) 与目标函数; 3、准确作图; 4、根据题设精度计算。

七.课堂小结
1、理解线性规划问题的有关概念; 2、掌握解决线性规划问题的步骤:列——画——移—— 求——答 3、线性规划体现的重要数学思想--数形结合;

4、探究问题过程中所体现的从特殊到一般寻找规律的方 法。


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