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高考数学总复习:第2章《函数、导数及其应用》【12】_图文

第十二节 导数的应用(一) [主干知识梳理] 一、函数的单调性 在(a ,b) 内可导函数 f( x), f ′(x) 在( a ,b)任意 子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为 增函数 f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为 减函数 . . 二、函数的极值 1.函数的极小值: 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近 其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的 左侧 f′(x)>0 f′(x)<0 , 右 侧 ,则点a叫做函数y=f(x)的 极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 2.函数的极大值: 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近 的其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近 的左侧 f′(x)>0 f′(x)<0 , 右 侧 ,则点b叫做函数y=f(x) 的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统 称为极值. 三、函数的最值 1.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最 大值与最小值. 2.若函数f (x)在[ a, b] 上单调递增,则 为函数 f(a) 的最小值, f(b) 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调 f ( a) f(b) 递减,则 为函数的最大值, 为函数 的最小值. [基础自测自评] 1.(教材习题改编)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=- 3时取得极值,则a等于 ( ) A .2 C .4 D.5 B.3 D [∵f′(x)=3x2+2ax+3,f′(-3)=0, ∴a=5.] 2 . (2013 · 浙江高考 ) 已 知函数 y = f ( x ) 的图象是下列四个图象之一, 且其导函数y=f′(x)的图象如右图 所示,则该函数的图象是 ( ) B [由导函数图象知,函数f(x)在[-1,1]上为增函数. 当x∈(-1,0)时f′(x)由小到大,则f(x)图象的增长趋 势由缓到快,当x∈(0,1)时f′(x)由大到小,则f(x)的 图象增长趋势由快到缓,故选B.] 3.(2012·陕西高考)设函数f(x)=xex,则 ( ) A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点 D [ 求导得 f ′ ( x ) = e x + x e x = e x ( x + 1) ,令 f ′ ( x ) = ex(x+1)=0, 解得x=-1,易知x=-1是函数f(x)的极小值点.] x3 2 4.函数 f(x)= +x -3x-4 在[0,2]上的最小值是________. 3 解析 f′(x)=x2+2x-3,f′(x)=0,x∈[0,2], 17 得 x=1.比较 f(0)=-4,f(1)=- 3 , 10 f(2)=- 3 . 17 可知最小值为- 3 . 答案 17 - 3 5.已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增 函数,则a的最大值是________. 解析 f′(x)=3x2-a在x∈[1,+∞)上f′(x)≥0, 则f′(1)≥0?a≤3. 答案 3 [关键要点点拨] 1.f′(x)>0与f(x)为增函数的关系:f′(x)>0能推出f(x) 为增函数,但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞) 上单调递增,但f′(x)≥0,所以f′(x)>0是f(x)为增函数 的充分不必要条件. 2.可导函数的极值点必须是导数为 0的点,但导数为0的点 不一定是极值点,即f ′ ( x0 )= 0是可导函数 f ( x)在 x = x0 处 取得极值的必要不充分条件.例如函数 y = x 3 在 x = 0 处有 y′|x=0=0,但x=0不是极值点.此外,函数不可导的点也 可能是函数的极值点. 3.可导函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局 部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间 上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较. 运用导数解决函数的单调性问题 [典题导入] ln x+k (2012· 山东高考改编)已知函数 f(x)= ex (k 为常数, e=2.718 28?是自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的 切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间. [听课记录] ln x+k (1)由 f(x)= ex , 1-kx-xln x 得 f′(x)= ,x∈(0,+∞), xe x 由于曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与 x 轴平行, 所以 f′(1)=0,因此 k=1. 1 (2)由(1)得 f′(x)= x(1-x-xln x),x∈(0,+∞), xe 令 h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0. 又 ex>0,所以 x∈(0,1)时,f′(x)>0; x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). [规律方法] 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实数 根; (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面 的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函 数f(x)的定义区间分成若干个小区间; (4)确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判 定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性. [跟踪训练] 1.已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R ,e为自然 对数的底数). (1)当a=2时

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