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高考数学总复习:第2章《函数、导数及其应用》【12】_图文

第十二节 导数的应用(一) [主干知识梳理] 一、函数的单调性 在(a ,b) 内可导函数 f( x), f ′(x) 在( a ,b)任意 子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为 增函数 f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为 减函数 . . 二、函数的极值 1.函数的极小值: 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近 其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的 左侧 f′(x)>0 f′(x)<0 , 右 侧 ,则点a叫做函数y=f(x)的 极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 2.函数的极大值: 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近 的其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近 的左侧 f′(x)>0 f′(x)<0 , 右 侧 ,则点b叫做函数y=f(x) 的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统 称为极值. 三、函数的最值 1.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最 大值与最小值. 2.若函数f (x)在[ a, b] 上单调递增,则 为函数 f(a) 的最小值, f(b) 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调 f ( a) f(b) 递减,则 为函数的最大值, 为函数 的最小值. [基础自测自评] 1.(教材习题改编)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=- 3时取得极值,则a等于 ( ) A .2 C .4 D.5 B.3 D [∵f′(x)=3x2+2ax+3,f′(-3)=0, ∴a=5.] 2 . (2013 · 浙江高考 ) 已 知函数 y = f ( x ) 的图象是下列四个图象之一, 且其导函数y=f′(x)的图象如右图 所示,则该函数的图象是 ( ) B [由导函数图象知,函数f(x)在[-1,1]上为增函数. 当x∈(-1,0)时f′(x)由小到大,则f(x)图象的增长趋 势由缓到快,当x∈(0,1)时f′(x)由大到小,则f(x)的 图象增长趋势由快到缓,故选B.] 3.(2012·陕西高考)设函数f(x)=xex,则 ( ) A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点 D [ 求导得 f ′ ( x ) = e x + x e x = e x ( x + 1) ,令 f ′ ( x ) = ex(x+1)=0, 解得x=-1,易知x=-1是函数f(x)的极小值点.] x3 2 4.函数 f(x)= +x -3x-4 在[0,2]上的最小值是________. 3 解析 f′(x)=x2+2x-3,f′(x)=0,x∈[0,2], 17 得 x=1.比较 f(0)=-4,f(1)=- 3 , 10 f(2)=- 3 . 17 可知最小值为- 3 . 答案 17 - 3 5.已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增 函数,则a的最大值是________. 解析 f′(x)=3x2-a在x∈[1,+∞)上f′(x)≥0, 则f′(1)≥0?a≤3. 答案 3 [关键要点点拨] 1.f′(x)>0与f(x)为增函数的关系:f′(x)>0能推出f(x) 为增函数,但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞) 上单调递增,但f′(x)≥0,所以f

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