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2014《创新设计》二轮专题复习1.1


第一讲 集合与常用逻辑用语

考点归类 深度剖析

考点一 集合的关系及运算 [冲关锦囊] 1.研究一个集合,首先要看集合的代表元素,然后再看元 素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的 意义是什么. 2.注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解 题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能 性.例如:A?B,则需考虑 A=?和 A≠?两种可能的情况.

3.判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合,注意 化简要等价变形,从表达式中寻找两集合之间的关系;二是用列 举法表示各集合,从元素中寻找关系. 4.已知两集合之间的关系求参数时,关键是将两集合之间 的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决 这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析.

5.在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩 (Venn)图和数轴 使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用韦恩(Venn)图表 示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时注意端点值的取 舍.

[考题剖析] 【例 1】 (1)(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知集合 A={1,2,3,4}, B={x|x=n2,n∈A},则 A∩B=( ) A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}

解析:∵B={1,4,9,16},∴A∩B={1,4},选 A. 答案:A

(2)(2013· 山东卷)已知集合 A,B 均为全集 U={1,2,3,4}的子 集,且?U(A∪B)={4},B={1,2},则 A∩?UB=( ) A.{3} B.{4} C.{3,4} D.?

解析:∵U={1,2,3,4}且?U(A∪B)={4}, ∴A∪B={1,2,3},又∵B={1,2}, ∴A∩?UB={3},故选 A. 答案:A

[对点训练] x-2 1.(2013· 洛阳统考)已知集合 A={x| x ≤0,x∈N},B= {x| x≤2, x∈Z}, 则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( ) A.1 B.2 C.4 D.8

x-2 解析:由 x ≤0 得 0<x≤2,因此 A={1,2};由 x≤2 得 0≤x≤4,因此 B={0,1,2,3,4},满足条件 A?C?B 的集合 C 的 个数是 23=8,选 D. 答案:D

2. (2013· 河北质检)设全集 U={0,1,2,3,4,5}, 集合 A={2,4}, B={y|y=log 3 (x-1),x∈A},则集合(?UA)∩(?UB)=( ) A.{0,2,4,5} B.{0,4,5} C.{2,4,5} D.{1,3,5}

解析:由已知得?UA={0,1,3,5},B={0,2},?UB={1,3,4,5}, 故(?UA)∩(?UB)={1,3,5}. 答案:D

3.(2013· 广州调研)已知集合 A={0,1,2,3,4},集合 B={x|x =2n,n∈A},则 A∩B=( ) A.{0} B.{0,4} C.{2,4} D.{0,2,4}

解析:∵A={0,1,2,3,4},B={x|x=2n,n∈A}={0,2,4,6,8}, ∴A∩B={0,2,4}. 答案:D

考点二 四种命题及命题真假的判定 [冲关锦囊] 1.在判断四种命题之间的关系时,首先要分清命题的条件 与结论,再比较每种命题的条件与结论之间的关系,要注意四种 命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了 它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”;要判定命题为假 命题时只需举出反例即可; 对涉及数学概念的命题的判定要从概 念本身入手.

2.命题真假的判定方法 (1)一般命题 p 的真假由涉及到的相关交汇知识辨别. (2)四种命题的真假的判定根据: 一个命题和它的逆否命题同 真假,而与它的其他两个命题的真假无必然联系.其它两个命题 互为逆否命题同真假. (3)形如 p 或 q,p 且 q,綈 p 命题的真假根据真值表判定. 3.区分否命题和命题的否定,前者前提结论均否定,后者 只否定结论.

[考题剖析] 【例 2】 π (1)命题“若 α=4,则 tanα=1”的逆否命题是( π A.若 α≠4,则 tanα≠1 π B.若 α=4,则 tanα≠1 π C.若 tanα≠1,则 α≠4 π D.若 tanα≠1,则 α=4 )

解析: 原命题的逆否命题是将原命题的结论否定作为新命题 的条件,原命题的条件否定作为新命题的结论,故原命题的逆否 π 命题为“若 tanα≠1,则 α≠4”. 答案:C

(2)(2013· 辽宁卷)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四 个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列; an p3:数列{ n }是递增数列; p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( ) A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4

解析:对于 p1:an+1-an=d>0,∴{an}是递增数列,p1 是 真命题,对于 p2:(n+1)an+1-nan=(n+1)[a1+nd]-n[a1+(n- 1)d]=a1+2nd,正、负不定,∴p2 是假命题. an+1 an a1+nd a1+?n-1?d d-a1 对于 p3: - = - = ,正、负 n n+1 n n+1 n?n+1? 不定,∴p3 是假命题. 对于 p4: an+1+3(n+1)d-(an+3nd)=a1+nd+3(n+1)d-[a1 +(n-1)d+3nd]=4d>0,∴p4 是真命题. 答案:D

[对点训练] 4.(2013· 湖北卷)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳 一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定 范围”, 则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示 为( ) A.(綈 p)∨(綈 q) B.p∨(綈 q)

C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∨q

解析:由简易逻辑知识知选 A. 答案:A

5.(2013· 长春调研)给定命题 p:函数
? 3π? =cos?2x- 4 ?的图象关于原点对称;命题 ? ?

? π? y=sin?2x+4?和函数 ? ?

y

π q:当 x=kπ+2(k∈Z) 时,函数 y= 2(sin2x+cos2x)取得极小值.下列说法正确的是 ( ) A.p∨q 是假命题 B.綈 p∧q 是假命题

C.p∧q 是真命题 D.綈 p∨q 是真命题

? ? ? 3π? π π? π? 解析: 命题 p 中, y=cos?2x- 4 ?=cos?2x-4-2?=sin?2x-4? ? ? ? ? ? ? ? π? 的图象与 y=sin?2x+4?的图象关于原点对称,故 p 为真命题;命 ? ? ? π? π ? ? 题 q 中,y= 2(sin2x+cos2x)=2sin 2x+4 取极小值时,2x+4= ? ?

π 3π 2kπ-2,k∈Z,则 x=kπ- 8 ,k∈Z,故 q 为假命题,则綈 p∧q 为假命题,故选 B. 答案:B

考点三 充分条件与必要条件的判定 [冲关锦囊] 1.充分条件、必要条件、充要条件的判定 (1)定义法: ①分清条件和结论:分清哪个是条件,哪个是结论; ②找推式:判断“p?q”及“q?p”的真假; ③下结论:根据推式及定义下结论. (2)等价转化法: 条件和结论带有否定性词语的命题, 常转化为其逆否命题来 判断. (3)从集合的角度理解, 小范围可以推出大范围, 大范围不能 推出小范围.

2.利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围. 其依据是充分、必要条件的定义,其思维方式是 (1)若 p 是 q 的充分不必要条件,则 p?q 但 q p; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,则 p q,但 q?p; (3)若 p 是 q 的充要条件,则 p?q. 3.证明充要条件相关命题要从充分性、必要性两个方面论 证.

2 y 【例 3】 (1)(2013· 北京卷)双曲线 x2-m=1 的离心率大于 2 的充分必要条件是( ) 1 A.m>2 B.m≥1 C.m>1 D.m>2 2 y 解析:双曲线 x2-m=1 中,a=1,b= m,c= a2+b2= c 1+m,离心率 e> 2等价于a=c= 1+m> 2,即 m>1,故 选 C. 答案:C

[考题剖析]

(2)(2013· 山东卷)给定两个命题 p,q,若綈 p 是 q 的必要而 不充分条件,则 p 是綈 q 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:由题意知綈 p?q,綈 pA q,根据等价命题,上式等 价于 p?綈 q,pA A. 答案:A 綈 q,故 p 是綈 q 的充分而不必要条件,选

[对点训练] 6.(2013· 福建卷)设点 P(x,y),则“x=2 且 y=-1”是“点 P 在直线 l:x+y-1=0 上”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:“x=2 且 y=-1”?“点 P 在直线 l:x+y-1=0 上”,但反之不成立,故选 A. 答案:A

7. (2013· 浙江卷)若 α∈R, 则 α=0 是“sinα<cosα”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

解 析 : α = 0 ? sinα < cosα 而 sinα < cosα ? α ∈ ? 3π ? π ?- +2kπ, +2kπ?A α=0. 4 4 ? ? 答案:A

考点四 全称命题与特称命题 [冲关锦囊] 1.含有量词的命题的否定: ?x∈M,p(x)的否定是?x∈M,綈 p(x); ?x∈M,p(x)的否定是?x∈M,綈 p(x).

2.要判断一个全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,需要 对限定集合 M 中的每一个元素 x 证明 p(x)成立;如果在集合 M 中找到一个元素 x0,使得 p(x0)不成立,那么这个全称命题就是 假命题(即通常所说的举出一个反例). 3.要判定一个特称命题“?x0∈M,p(x0)”是真命题,只要 在限定的集合 M 中至少找到一个 x=x0,使 p(x0)成立即可,否则 这一特称命题就是假命题.

[考题剖析] 【例 4】 (1)(2013· 四川卷)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集 合 B 是偶数集.若命题 p:?x∈A,2x∈B,则( ) A.綈 p:?x∈A,2x∈B B.綈 p:?x?A,2x∈B C.綈 p:?x∈A,2x?B D.綈 p:?x?A,2x?B

解析: 命题 p 改为綈 p,需把“?”改为“?”,然后否定结论. ∴綈 p:?x∈A,2x?B. 答案:C

(2)(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知命题 p:?x∈R,2x<3x;命题 q:?x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧q B.綈 p∧q C.p∧綈 q D.綈 p∧綈 q

解析:当 x=0 时,2x=3x,故命题 p 为假. 令 f(x)=x3+x2-1,∴f(0)· f(1)<0, ∴方程 x3=1-x2 有根,故命题 q 为真, ∴綈 p∧q 为真,故选 B. 答案:B

[对点训练] 8.(2013· 重庆卷)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定 为( ) 2 A.存在 x0∈R,使得 x0 <0 B.对任意 x∈R,都有 x2<0 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0 D.不存在 x∈R,使得 x2<0

解析:全称命题的否定是特称命题,故选 A. 答案:A

9.(2013· 福建卷)设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x) 的极大值点,以下结论一定正确的是( ) A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点

解析: 函数 y=-f(-x)与 y=f(x)关于原点对称. 若 x0(x0≠0) 是 f(x)的极大值点,则-x0 是-f(-x)的极小值点,故选 D. 答案:D

易错矫正(一) 因颠倒充分必要条件致误 [考题范例] 下面四个条件中, 使 a>b 成立的充分而不必要条件是( A.a>b+1 B.a>b-1 C.a2>b2 D.a3>b3

)

[失误展板] 错解:由 a>b 可得 a3>b3 或 a>b-1,故选 B 或 D. 错因:解答本题错因在于颠倒了充分性与必要性,题目所问 是使 a>b 成立的充分而不必要的条件,即由选择支推出 a>b, 明确这一点问题便可求解.

[正确解答] 解析:要求 a>b 成立的充分不必要条件,必须满足由选项 能推出 a>b,而由 a>b 推不出选项.在选项 A 中,a>b+1 能 使 a>b 成立,而 a>b 时 a>b+1 不一定成立,故 A 正确;在 选项 B 中,a>b-1 时 a>b 不一定成立,故 B 错误;在选项 C 中,a2>b2 时 a>b 也不一定成立,因为 a,b 不一定均为正值, 故 C 错误;在选项 D 中,a3>b3 是 a>b 成立的充要条件,故 D 也错误. 答案:A

关注考向 前瞻预测

以新定义的方式考查集合问题,成为近几年高考的热点,主 要考查学生在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题的 能力.

设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果?a,b∈S,有 ab∈S, 则称 S 关于数的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不相交的非 空子集,T∪V=Z,且?a,b,c∈T,有 abc∈T;?x,y,z∈V, 有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是( ) A.T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭的

解析:可取集合 T 为偶数集合,集合 V 为奇数集合,则可证 明 T 与 V 两个集合关于乘法均是封闭的,因此可排除 B 与 C; 将偶数集合中的元素 2 拿到奇数集合中, 则新的偶数集合关于乘 法还是封闭的,但新的奇数集合关于乘法不再封闭,则排除 D, 故应选 A. 答案:A

设 S 为复数集 C 的非空子集, 若对任意 x, y∈S, 都有 x+y, x-y,xy∈S,则称 S 为封闭集.下列命题: ①集合 S={a+bi|a,b 为整数,i 为虚数单位}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0∈S; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S?T?C 的任意集合 T 也是封闭 集. 其中真命题是__________(写出所有真命题的序号).

解析:任意两个复数的和、差、积仍然是复数,即命题①正 确;若 S 为封闭集,则其中元素自身的差必然是 S 中的元素,即 S 中一定有 0∈S, 即命题②正确; 封闭集中可以仅有一个元素 0, 即 S={0},则命题③不正确;取 S={0},T={0,1},则集合 T 不是封闭集,即命题④不正确.综上可得真命题是①②. 答案:①②


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