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人教版高中数学全套试题第三章 3.1

第三章 不等式
§3.1 不等关系与不等式
课时目标 1.初步学会作差法比较两实数的大小. 2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.
1.比较实数 a,b 的大小 (1)文字叙述 如果 a-b 是正数,那么 a>b; 如果 a-b 等于 0,那么 a=b; 如果 a-b 是负数,那么 a<b,反之也成立. (2)符表示 a-b>0?a>b; a-b=0?a=b; a-b<0?a<b. 2.常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b<a(对称性); (2)a>b,b>c?a>c(传递性); (3)a>b?a+c>b+c(可加性); (4)a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc; (5)a>b,c>d?a+c>b+d; (6)a>b>0,c>d>0?ac>bd; (7)a>b>0,n∈N,n≥2?an>bn;
(8)a>b>0,n∈N,n≥2?n a>n b.

一、选择题

1.若 a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( )

A.1a<1b

B.a2>b2

ab C.c2+1>c2+1

D.a|c|>b|c|

答案 C

解析 对 A,若 a>0>b,则1a>0,1b<0,此时1a>1b,∴A 不成立;

对 B,若 a=1,b=-2,则 a2<b2,∴B 不成立;

对 C,∵c2+1≥1,且 a>b,∴c2+a 1>c2+b 1恒成立,

∴C 正确;

对 D,当 c=0 时,a|c|=b|c|,∴D 不成立.

2.已知 a<0,b<-1,则下列不等式成立的是( )

A.a>ab>ba2

aa B.b2>b>a

aa C.b>a>b2

aa D.b>b2>a

答案 D

解析 取 a=-2,b=-2,则ab=1,ba2=-12,

∴ab>ba2>a.

3.已知 a、b 为非零实数,且 a<b,则下列命题成立的是( )

A.a2<b2

B.a2b<ab2

11 C.ab2<a2b

ba D.a<b

答案 C

解析 对于 A,当 a<0,b<0 时,a2<b2 不成立;

对于 B,当 a<0,b>0 时,a2b>0,ab2<0,a2b<ab2 不成立;

对于 C,∵a<b,a21b2>0,∴a1b2<a12b;

对于 D,当 a=-1,b=1 时,ba=ab=-1.

4.若 x∈(e-1,1),a=ln x,b=2ln x,c=ln3x,则( )

A.a<b<c

B.c<a<b

C.b<a<c

D.b<c<a

答案 C

解析 ∵1e<x<1,∴-1<ln x<0.

令 t=ln x,则-1<t<0.

∴a-b=t-2t=-t>0,∴a>b.

c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1),

又∵-1<t<0,∴0<t+1<1,-2<t-1<-1,

∴c-a>0,∴c>a.∴c>a>b.

5.设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( )

A.b-a>0

B.a3+b3<0

C.a2-b2<0

D.b+a>0

答案 D

解析 由 a>|b|得-a<b<a,

∴a+b>0,且 a-b>0.∴b-a<0,A 错,D 对.

可取特值,如 a=2,b=-1,

a3+b3=7>0,故 B 错.

而 a2-b2=(a-b)(a+b)>0,∴C 错.

6.若 a>b>c 且 a+b+c=0,则下列不等式中正确的是( )

A.ab>ac

B.ac>bc

C.a|b|>c|b|

D.a2>b2>c2

答案 A

解析 由 a>b>c 及 a+b+c=0 知 a>0,c<0,

又∵a>0,b>c,∴ab>ac.故选 A.

二、填空题

7.若 1≤a≤5,-1≤b≤2,则 a-b 的取值范围为________.

答案 [-1,6]

解析 ∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1,又 1≤a≤5,

∴-1≤a-b≤6.

8.若 f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则 f(x)与 g(x)的大小关系是________.

答案 f(x)>g(x)

解析 ∵f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,

∴f(x)>g(x).

9.若 x∈R,则1+x x2与12的大小关系为________.

答案 解析

1+x x2≤12 ∵1+x x2-12=22x?-1+1-x2x?2=-2??1x+-x12??2≤0,

∴1+x x2≤12.

10.设 n>1,n∈N,A= n- n-1,B= n+1- n,则 A 与 B 的大小关系为________.

答案 A>B

解析

A=

1 n+

n-1,B=

1 n+1+

. n

∵ n+ n-1< n+1+ n,并且都为正数,∴A>B. 三、解答题 11.设 a>b>0,试比较aa22- +bb22与aa- +bb的大小. 解 方法一 作差法 aa22- +bb22-aa- +bb=?a+b??a?2a-2+b2b?-2???aa+-bb???a2+b2? =?a-b??a[?2a++bb2???2- a+?ab2?+b2?]=?a+2abb???aa-2+b?b2? ∵a>b>0,∴a+b>0,a-b>0,2ab>0. ∴?a+2abb???aa-2+b?b2?>0,∴aa22+-bb22>aa-+bb. 方法二 作商法 ∵a>b>0,∴aa22+-bb22>0,aa- +bb>0.
a2-b2 ∴aa2+-bb2=?aa2++bb?22=a2+a2b+2+b22ab=1+a22+abb2>1.
a+b
∴aa22- +bb22>aa- +bb. 12.设 f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,其中 x>0 且 x≠1,试比较 f(x)与 g(x)的大小. 解 f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=logx34x,

??0<x<1, ??x>1,

①当???34x>1,

或???0<34x<1,

即 1<x<43时,logx34x<0,∴f(x)<g(x); ②当34x=1,即 x=43时,logx34x=0,即 f(x)=g(x);

??0<x<1,

??x>1,

③当???0<34x<1, 或???34x>1,

即 0<x<1,或 x>43时,logx34x>0,即 f(x)>g(x). 综上所述,当 1<x<43时,f(x)<g(x);

当 x=43时,f(x)=g(x);

当 0<x<1,或 x>43时,f(x)>g(x).

能力提升

13.若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是( )

A.a1b1+a2b2

B.a1a2+b1b2

C.a1b2+a2b1

1 D.2

答案 A

解析 方法一 特殊值法.

令 a1=14,a2=34,b1=14,b2=34,

则 a1b1+a2b2=1160=58,a1a2+b1b2=166=38,

a1b2+a2b1=166=38,

∵58>12>38,∴最大的数应是 a1b1+a2b2.

方法二 作差法.

∵a1+a2=1=b1+b2 且 0<a1<a2,0<b1<b2, ∴a2=1-a1>a1,b2=1-b1>b1, ∴0<a1<12,0<b1<12.

又 a1b1+a2b2=a1b1+(1-a1)(1-b1)=2a1b1+1-a1-b1, a1a2+b1b2=a1(1-a1)+b1(1-b1)=a1+b1-a21-b12, a1b2+a2b1=a1(1-b1)+b1(1-a1)=a1+b1-2a1b1, ∴(a1b2+a2b1)-(a1a2+b1b2)=a21+b21-2a1b1 =(a1-b1)2≥0, ∴a1b2+a2b1≥a1a2+b1b2. ∵(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=4a1b1+1-2a1-2b1 =1-2a1+2b1(2a1-1)=(2a1-1)(2b1-1)
=4??a1-12????b1-12??>0,

∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. ∵(a1b1+a2b2)-12=2a1b1+12-a1-b1

=b1(2a1-1)-12(2a1-1)=(2a1-1)??b1-12??

=2??a1-12????b1-12??>0,

∴a1b1+a2b2>12.

综上可知,最大的数应为 a1b1+a2b2. 14.设 x,y,z∈R,试比较 5x2+y2+z2 与 2xy+4x+2z-2 的大小. 解 ∵5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2) =4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1 =(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0, ∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,

当且仅当 x=y=12且 z=1 时取到等.

1.比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b. 2.作差法比较的一般步骤 第一步:作差; 第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“积”; 第三步:定,就是确定是大于 0,等于 0,还是小于 0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论. 概括为“三步一结论”,这里的“定”是目的,“变形”是关键. 3.不等式的性质是不等式变形的依据,每一步变形都要严格依照性质进行,千万不可 想当然.