抽象函数的定义域和求值(学生版)

抽象函数的定义域和求值
1、抽象函数的定义域：记住两句话：地位相同范围相同，定义域是关于 x 的。 所谓抽象函数就是指没有给出具体解析式的函数。此类题目的关键是注意对应法则，在同一对应法 则作用下，不管接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。 该类型题目中最常见的是求复合函数的定义域，其有三种情况： （1） 已知 f ? x ? 的定义域是 ? a, b? ， 求f? 该类题目实质上是由不等式 a ? g ? x ? ? b 所 ? g ? x ?? ? 的定义域。 求 x 的取值范围就是 f ? ? g ? x ?? ? 的定义域。 例 1：已知函数 f ? x ? 的定义域是 ?0,9? ，求函数 f ? x 2 ? 的定义域 解：由题意知： 0 ? x 2 ? 9 解得： ?3 ? x ? 3 即函数 f ? x 2 ? 的定义域为 ? ?3,3? 。

（2）已知函数 f ? ? g ? x ?? ? 的定义域是 ? a, b? ，求函数 f ( x) 的定义域。该类型题目的实质是由 x 的取值 范围所求得的 g ? x ? 的取值范围就是函数 f ( x) 的定义域。 例 2：已知函数 f ? 3x ? 2? 的定义域是 ? ??,3? ，求函数 f ( x) 的定义域。 解：∵ x ? 3 ∴ 3x ? 9 ∴ 3x ? 2 ? 11 即函数 f ( x) 的定义域为 ? ??,11? 。

（3）已知函数 f ? ?h ? x ?? ? 的定义域。该类题目的解决方法是：先 ? g ? x ?? ? 的定义域是 ? a, b? ，求函数 f ? 由函数 f ? ?h ? x ?? ? 的定义 ? g ? x ?? ? 的定义域求出函数 f ( x) 的定义域，再由函数 f ( x) 的定义域取得函数 f ? 域。

?1 ? 例 3：已知函数 f ?1 ? 2x ? 的定义域是 ? ,5? ，求函数 f ? ? x 2 ? 的定义域。 ?2 ? 1 解：∵ ? x ? 5 ∴ ?10 ? ?2 x ? ?1 ∴ ?9 ? 1 ? 2 x ? 0 即函数 f ( x) 的定义域为 ? 4,9? 2 ∴ ?9 ? ? x2 ? 0 解得：解得： ?3 ? x ? 3 即函数 f ? ? x 2 ? 的定义域为 ? ?3,3? 。

练习：
1 1 1、若函数 y ? f ( x) 的定义域为[?1，1]，求函数 y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域。 4 4

2、已知函数 f ( x) 的定义域为 ??1,1? ，则函数 f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? f ? 2 ? x ? 的定义域为

3、设函数 f ( x) 的定义域是[?3， 2 ]，则函数 f ( x ? 2) 的定义域
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4、已知函数 f ?1 ? 2x ? 的定义域为 ? ?2,5? ，则函数 f ( x) 的定义域

5、已知函数 f ? 2x ? 3? 的定义域为 ? ?1, 2? ，则函数 f ? x ? 1? 的定义域为

6、设函数 f ( x) 的定义域为 ?0,1? ，则函数 H ? x ? ? f ? x 2 ? 1? 的定义为

题型二：函数的值 1、已知函数 f ( x) =3 x 2 -5 x +2，求 f (3)= 2、已知 f ? x ? ? x2 ? x ? 1，则 f ? f ?

, f (- 2 )= 。

, f (a+1)=

。

? ? 2 ?? ?

3、已知函数 f ? x ? ? x2 ? px ? q 满足 f ?1? ? f ? 2? ? 0 ，则 f ? ?1? ?
?x ?1 ? 4、已知 f ? x ? ? ?0 ?x ? 1 ?

。

? ? 1 ?? x ? 0 ，则 f ? f ? ?? ? ? ? 2 ?? x?0

x?0

。

5、已知函数 f ? x ? ? x2 ? x ? 1，则 f ? 2? ?
x2 6、已知 f ? x ? ? ，那么 f ?1? ? f ? 2 ? ? 1? x

；若 f ? x ? ? 5 ，则 x =
?1? f ? ? ? f ? 3? ? ?2? ?1? f ? ? ? f ? 4? ? ? 3?

。
?1? f ? ?? ?4?

。

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