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双曲线定义


一、双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|,且不等于0)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫 做双曲线的焦距。

通常情况下,我们把|F1F2|记为2c(c>0); 常数记为2a(a>0).
问题:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数? 问题: 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)? 如果不对常数加以限制 ,动点的轨迹会是什么?

分3种情况来看: ①若2a=2c,则轨迹是什么?

此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
F1 F2 ②若2a>2c,则轨迹是什么? 此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么? 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线

F1

F2

y

y

M
F1
O

F2
O

F2 x

x
F1

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

四、双曲线与椭圆之间的区别与联系

定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b y 2 x2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0),双曲线上一点P到焦 点的距离差的绝对值等于8,求双曲线的标准方程。
解:因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为

根据已知条件,|F1F2|=10. ||PF1|-|PF2||=8,
所以2c=10,2a=8。即a=4,c=5 那么b2=c2-a2=25-16=9 因此,双曲线的标准方程为

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

x2 y2 ? ? 1. 16 9

变式训练
1.若|PF1|-|PF2|=8呢?
x y ? ? 1.( x ? 0) 16 9
2 2

题后反思: 求标准方程要做到 先定型,后定量。

2.若||PF1|-|PF2||=10呢? 两条射线 3.若||PF1|-|PF2||=12呢?轨迹不存在

例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地

晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

如图所示,建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上,并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y), 则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 A o B x 即 2a=680,a=340 ? AB ? 800 ? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 ? 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 , ? x ? 0 x 2 y2 ? ? 1( x ? 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400


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