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高考三角函数中数学思想方法归纳解析

高考三角函数中数学思想方法归纳解析
在三角函数这一章的学习和复习过程中, 熟练掌握以下几种数学思想方法, 有助于提高 同学们灵活处理问题和解决问题的能力。下面通过例题透视三角函数中的数学思想。 一、数形结合思想 由数想形,以形助数的数形结合思想,具有可以使问题直观呈现的优点,有利于加深同 学们对知识的识记和理解;在解答数学题时,数形结合,有利于分析 题中数量之间的关系,丰富表象,引发联想,启迪思维,拓宽思路, y y1 迅速找到解决问题的方法,从而提高分析问题和解决问题的能力。 例 1.求不等式 sin x ? cos x 在 ?? ? , ? ?上的解集。 解析: 设 y1 ? sin x , y 2 ? cos x , 在同一坐标系中作出在 ?0, ? ? 上两函数图像(如图 1), 在 ?0, ? ?上解得 sin x ? cos x 的解为 x ? o

y2

?
4



? 4

? 3? ? 2 4

x 图1

3? ? 3? ,故由图像得要使得 y1 ? y 2 ,即 ? x ? ,由于 y1 ? sin x , y 2 ? cos x 在 4 4 4 ?? ? , ? ? 上 为 偶 函 数 , 故 在 ?? ? ,0? 上 的 解 为 ? 3? ? x ? ? ? , 得 原 不 等 式 的 解 集 为 4 4 x?
? 3? ? ? ? ? 3? ? ,? ? ? ? , ? ?? 4? ?4 4 ? ? 4
二、分类讨论思想 分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类,即根据对象的共同性与差异 性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。分类讨论是数学解题的重 要手段,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。 例 2.设 ? ? ?0, ? ,且 cos ? ? 2m sin? ? 2m ? 2 ? 0 恒成立,求 m 的取值范围。 ? 2?
2

? ??

解析:令 f ?? ? ? cos ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 ? ? sin ? ? 2m sin ? ? 2m ? 1
2 2



t ? sin?





? ?? ? ? ?0, ? ? 2?
2





0 ? t ?1





f ?t ? ? ?t 2 ? 2mt ? 2m ? 1 ? ??t ? m? ? m 2 ? 2m ? 1 , t ? ?0,1? , ? f ?? ? ? 0 在

? ?? ? ? ?0, ? 上恒成立,? f ?t ? 在 t ? ?0,1?上恒成立。由二次函数图像分类讨论得, ? 2?
1) 当 0 ? m ? 1 时,需 f ?m? ? 0, 得 0 ? m ? 1 ; 2) 当 m ? 1 时,需 f ?1? ? 0 ,得 m ? 1 ;

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3) 当 m ? 0 时,需 f ?0? ? 0, 得 ? 综上所述,得 m ? ?

1 ?m?0 2

1 2

三、整体思想 整体思想方法是一种常见的数学方法,它把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整 体,通过观察与分析,找出整体与局部的有机联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径。 往往能起到化繁为简,化难为易的效果。 例 3.求函数 f ?x ? ?

sin x cos x 的最大、最小值。 1 ? sin x ? cos x
2

解析:由条件和问题联想到公式 ?sin x ? cos x ? ? 1 ? 2 sin x cos x ,可实施整体代换求 最值。 令 t ? sin x ? cos x ?

?? ? 2 sin? x ? ? ? ? 2 , 2 , ?1 ? sin x ? cos x ? 0, t ? ?1 , 则 4? ?

?

?

s in xc o x s?

t 2 ?1 2

t 2 ?1 2 ?1 t ?1 故当 t ? 2 时,y 有最大值, 且为 ; , t ? ? 2 ,?1 ? ? 1, 2 , ?y? 2 ? 2 1? t 2

?

? ?

?

当 t ? ? 2 时, y 有最小值,且为

? 2 ?1 2

四、方程思想 方程是研究数量关系的重要工具。 我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相等 关系,通过建立方程或方程组,并求出未知量的值,从而使问题得到解决的思想方法称为方 程思想。 例 4.已知 sin ? ? 3 sin ? ? 2 ,求 解:令 故解得

sin ? ? cos? ? x ,则 ?x ? 1?sin ? ? ?x ? 1?cos? ? 0 ,? sin ? ? 3sin ? ? 2 , sin ? ? cos?
2 2

sin ? ? cos? 的值 sin ? ? cos?

x ?1 x ?1 ? x ?1 ? ? x ?1 ? ,? ? sin ? ? , cos? ? ? ?? ? ? 1 解得, x ? ?2 ? 6 , 2? x x?2 ?2? x? ? x ?2?

?

sin ? ? cos? ? ?2 ? 6 sin ? ? cos?

五、化归转化思想 化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法。 处理数学问题的实质就是实现新问 题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体
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问题转化等。 例 5.若 0 ? ? ? ? ?

?
4

, sin ? ? cos? ? m, sin ? ? cos ? ? n ,试确定 m, n 的大小。

解析: 当一个问题直接难以入手或相对比较困难时, 我们可以等价转化为我们熟知或容 易解答的题型。要比较 m, n 的大小可转化为 m 与 n 比较大小就容易多了。
2 2

? m 2 ? 1 ? sin 2? , n 2 ? 1 ? sin 2? , 又 ? 0 ? 2? ? 2? ?
? m2 ? n 2 ? m, n ? 0 ,? m ? n

?
2

, 故 s in 2? ? s i n 2? ,

六、函数思想 函数思想就是在解决问题的过程中, 把变量之间的关系抽象成函数关系, 把具体问题转 化为函数问题,通过对函数相应问题的解决,达到解决变量之间具体问题的目的。
2 2 2 例 6.已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 1 ,求证: sin 2? ? sin 2 ? ? sin 2? ? 2 2

解析:由 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 1 得 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 2 ,构造函数:
2 2 2 2 2 2

f ?x ? ? ?x sin ? ? cos? ? ? ?x sin ? ? cos ? ? ? ?x sin ? ? cos? ? ? x 2 ? ?sin 2? ? sin ? ? sin ? ?x ? 2
2 2 2





f ?x ? ? 0





? ? ?s 2i ? ?n s ?i ? sn ? i? ?n 8?0
2







s 2i ? ?n s 2i? ?n s 2i ? ?n 2 2
七、逆向思想 逆向思想通常是指从问题的反向进行思考, 运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种解 题思维策略,正确使用这种策略,往往能问题绝处逢生,找到求解的新途径。 例 7.将函数 y ? f ?x ?sin x 的图像向右平移
2

? 个单位后,再作关于 x 轴的对称变换, 4

得到函数 y ? 1 ? 2 sin x 的图像,求 f ? x ? 的解析式。 解析:我们可以采用倒推的方法,即将整个变化过程逆过来考虑。

? y ? 1 ? 2 sin 2 x ? cos 2 x 关于 x 轴的对称变换为 y ? ? cos 2 x ,然后再向左平移
位得 y ? ? co s2? x ?

? 个单 4

? ?

??

? ? s in2 x ? 2 co sx ? s inx ,对照比较原函数 y ? f ?x ?s inx 得 , 4?

f ?x ? ? 2 c o sx

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