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四川省雅安中学2018届高三数学下学期第一次月考试题理201804111703

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四川省雅安中学 2018 届高三数学下学期第一次月考试题 理
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求.把
答案涂在答题卷上.)
1.若集合 A ? {x ? N | x ? 6}, B ? {x | x2 ? 8x ?15 ? 0},则 A ? B 等于

A.{x | 3 ? x ? 5} B.{4}

C.{3,4}

D.{3,4,5}

2.已知集合 A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|lgx≤0},则 A∩B=( ) A.{1} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{1,2} 3.如图,某组合体的三视图是由边长为 2 的正方形和直径为 2 的圆组成,则它的体积为( )

A.4+4π B.8+4π C.

D.

4.为了得到函数

的图象,只需把函数 y=log2x 的图象上所有的点( )

A.向左平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度

B.向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度

C.向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度

D.向右平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度

5.某程序框图如图所示,若使输出的结果不大于 20,则输入的整数 i 的最大值为( )

1

A.3 B.4 C.5 D.6

6.如图,圆锥的高

,底面⊙O 的直径 AB=2,C 是圆上一点,且∠CAB=30°,D 为 AC

的中点,则直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值为( )

A. B. C. D. 7.若曲线 C1:x2+y2﹣2x=0 与曲线 C2:y(y﹣mx﹣m)=0 有四个不同的交点,则实数 m 的取 值范围是( ) A.(﹣ , ) B.(﹣ ,0)∪(0, ) C.[﹣ , ] D.(﹣∞,﹣ )

∪( ,+∞)

8.三棱锥 A﹣BCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,其外接球半径为 2,设三棱锥 A﹣BCD 的侧面 积为 S,则 S 的最大值为( ) A.4 B.6 C.8 D.16

9.已知 a=



﹣ex)dx,若(1﹣ax)2017=b0+b1x+b2x2+…+b2017x2017(x∈R),



的值为( )

A.0 B.﹣1 C.1 D.e

2

10.由无理数引发的数学危机已知延续带 19 世纪,直到 1872 年,德国数学家戴德金提出了 “戴德金分割”,才结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割, 是指将有理数集 Q 划分为两个非空的子集 M 与 N,且满足 M∪N=Q,M∩N=?,M 中的每一个元 素都小于 N 中的每一个元素,则称(M,N)为戴金德分割.试判断,对于任一戴金德分割(M, N),下列选项中不可能恒成立的是( ) A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素 C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素

11.已知函数

,其中 m∈{2,4,6,8},n∈{1,3,5,7},

从这些函数中任取不同的两个函数,在它们在(1,f(1))处的切线相互平行的概率是( )

A. B. C. D.以上都不对

12.若存在正实数 x,y,z 满足 ≤x≤ez 且 zln =x,则 ln 的取值范围为( )

A.[1,+∞) B.[1,e﹣1] C.(﹣∞,e﹣1] D.[1, +ln2]

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.) 13.在△ABC 中,边 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 bcosC=(3a﹣c)cosB,则 cosB= .

14.已知点 P(x,y)的坐标满足条件

,若点 O 为坐标原点,点 M(﹣1,﹣1),

那么

的最大值等于 .

15.动点 M(x,y)到点(2,0)的距离比到 y 轴的距离大 2,则动点 M 的轨迹方程为 .

16.在△ABC 中,∠A=θ ,D、E 分别为 AB、AC 的中点,且 BE⊥CD,则 cos2θ 的最小值为 .

三.解答题(17-21 每小题 12 分,22 或 23 题 10 分,共 70 分.在答题卷上解答,解答应写

出文字说明,证明过程或演算步骤.)

17.设数列{an}的前 n 项和 Sn=2an﹣a1,且 a1,a2+1,a3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列

的前 n 项和 Tn.

3

18.为宣传 3 月 5 日学雷锋纪念日,成都七中在高一,高二年级中举行学雷锋知识竞赛,每 年级出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得 1 分,答错不

答都得 0 分,已知甲队 3 人每人答对的概率分别为

,乙队每人答对的概率都是

.设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 X 表示甲队总得分.

(1)求随机变量 X 的分布列及其数学期望 E(X);

(2)求甲队和乙队得分之和为 4 的概率.

19.已知等边△AB′C′边长为 ,△BCD 中,

(如图 1 所示),现将 B

与 B′ , C 与 C′ 重 合 , 将 △ AB′C′ 向 上 折 起 , 使 得

(如图 2 所

示).

(1)若 BC 的中点 O,求证:平面 BCD⊥平面 AOD; (2)在线段 AC 上是否存在一点 E,使 ED 与面 BCD 成 30°角,若存在,求出 CE 的长度,若 不存在,请说明理由; (3)求三棱锥 A﹣BCD 的外接球的表面积.

20.已知圆

,将圆 E2 按伸缩变换:

后得到曲线 E1,

(1)求 E1 的方程; (2)过直线 x=2 上的点 M 作圆 E2 的两条切线,设切点分别是 A,B,若直线 AB 与 E1 交于 C,

D 两点,求

的取值范围.

21.已知函数 g(x)=xsinθ ﹣lnx﹣sinθ 在 [1,+∞)单调递增,其中 θ ∈(0,π )

(1)求 θ 的值;

(2)若

,当 x∈[1,2]时,试比较 f(x)与

中 f′(x)是 f(x)的导函数),请写出详细的推理过程;

的大小关系(其
4

(3)当 x≥0 时,ex﹣x﹣1≥kg(x+1)恒成立,求 k 的取值范围.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:

ρ sin2θ =2acosθ (a>0),过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为

(t 为

参数),l 与 C 分别交于 M,N. (1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程; (2)若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列,求 a 的值.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0). (Ⅰ)证明:f(x)≥2; (Ⅱ)若 f(3)<5,求 a 的取值范围.

5

参考答案与试题解析
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求.把 答案涂在答题卷上.)

1.若集合 A ? {x ? N | x ? 6}, B ? {x | x2 ? 8x ?15 ? 0},则 A ? B 等于

A.{x | 3 ? x ? 5} B.{4}

C.{3,4}

D.{3,4,5}

故选 B. 2.已知集合 A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|lgx≤0},则 A∩B=( ) A.{1} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{1,2} 故选:A.

3.如图,某组合体的三视图是由边长为 2 的正方形和直径为 2 的圆组成,则它的体积为( )

A.4+4π B.8+4π C.

D.

故选:D.

4.为了得到函数

的图象,只需把函数 y=log2x 的图象上所有的点( )

A.向左平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度

B.向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度

C.向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度

D.向右平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度

故选 C.

6

5.某程序框图如图所示,若使输出的结果不大于 20,则输入的整数 i 的最大值为( )

A.3 B.4 故选:B.

C.5

D.6

6.如图,圆锥的高

,底面⊙O 的直径 AB=2,C 是圆上一点,且∠CAB=30°,D 为 AC

的中点,则直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值为( )

A. B. C. D. 故选 C.

7.若曲线 C1:x2+y2﹣2x=0 与曲线 C2:y(y﹣mx﹣m)=0 有四个不同的交点,则实数 m 的取 值范围是( )
7

A.(﹣ , ) B.(﹣ ,0)∪(0, ) C.[﹣ , ] D.(﹣∞,﹣ ) ∪( ,+∞) 故选 B.
8.三棱锥 A﹣BCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,其外接球半径为 2,设三棱锥 A﹣BCD 的侧面 积为 S,则 S 的最大值为( ) A.4 B.6 C.8 D.16 故选 C.

9.已知 a= 则 故选:B.



﹣ex)dx,若(1﹣ax)2017=b0+b1x+b2x2+…+b2017x2017(x∈R),

的值为( )

10.由无理数引发的数学危机已知延续带 19 世纪,直到 1872 年,德国数学家戴德金提出了 “戴德金分割”,才结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割, 是指将有理数集 Q 划分为两个非空的子集 M 与 N,且满足 M∪N=Q,M∩N=?,M 中的每一个元 素都小于 N 中的每一个元素,则称(M,N)为戴金德分割.试判断,对于任一戴金德分割(M, N),下列选项中不可能恒成立的是( ) A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素 C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素 故选 C.

11.已知函数

,其中 m∈{2,4,6,8},n∈{1,3,5,7},

从这些函数中任取不同的两个函数,在它们在(1,f(1))处的切线相互平行的概率是( )

A. B. C. D.以上都不对

8

故选:B.
12.若存在正实数 x,y,z 满足 ≤x≤ez 且 zln =x,则 ln 的取值范围为( ) A.[1,+∞) B.[1,e﹣1] C.(﹣∞,e﹣1] D.[1, +ln2] 故选 B.
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.) 13.在△ABC 中,边 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 bcosC=(3a﹣c)cosB,则 cosB=
. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】bcosC=(3a﹣c)cosB,由正弦定理可得:sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB,可得 sin(B+C)=3sinAcosB,即 sinA=3sinAcosB,sinA≠0,即可得出. 【解答】解:在△ABC 中,∵bcosC=(3a﹣c)cosB,由正弦定理可得:sinBcosC=3sinAcosB ﹣sinCcosB, ∴sin(B+C)=3sinAcosB,即 sinA=3sinAcosB,sinA≠0,化为 cosB= . 故答案为: .

14.已知点 P(x,y)的坐标满足条件

,若点 O 为坐标原点,点 M(﹣1,﹣1),

那么

的最大值等于 4 .

【考点】简单线性规划.

【分析】由约束条件作出可行域,令 z=

=﹣x﹣y,化为直线方程的斜截式,数形结合

得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

9

令 z=

=﹣x﹣y,化为 y=﹣x﹣z,由图可知,当直线 y=﹣x﹣z 过点 A(0,﹣4)时,

直线在 y 轴上的截距最小,z 有最大值为 4.

故答案为:4.

15.动点 M(x,y)到点(2,0)的距离比到 y 轴的距离大 2,则动点 M 的轨迹方程为 y2=8x (x≥0)或 y=0(x<0) . 【考点】轨迹方程. 【分析】由已知列出方程,化简即可求出动点 M 的轨迹 C 的方程. 【解答】解:∵动点 M(x,y)到点(2,0)的距离比到 y 轴的距离大 2,



=|x|+2,

整理,得 y2=4x+|4x|, ∴当 x≥0 时,动点 M 的轨迹 C 的方程为 y2=8x. 当 x<0 时,动点 M 的轨迹 C 的方程为 y=0. 故答案为:y2=8x(x≥0)或 y=0(x<0)

16.在△ABC 中,∠A=θ ,D、E 分别为 AB、AC 的中点,且 BE⊥CD,则 cos2θ 的最小值为



【考点】二倍角的余弦.

【分析】不妨设 C(2,0),B(x,y),A(0,0),根据 ? =0,可得

+y2= ,故

点 B 在此圆上.过点 A 作圆的切线,故当点 B 为切点时,∠A 最大,即 θ 最大,故 cosθ 最小,从而求得 cos2θ 的最小值. 【解答】解:△ABC 中,∠A=θ ,D、E 分别为 AB、AC 的中点,且 BE⊥CD, 如图所示,不妨设 C(2,0),B(x,y),A(0,0),

10

∵AD= AB,AE= AC,∴E(1,0),D( , ).

∵BE⊥CD,∴ ? =(1﹣x,﹣y)?( ﹣2, )=(1﹣x)( ﹣2)﹣y? =﹣ [

+y2

﹣ ]=0,



+y2= ,表示以( ,0)为圆心,半径等于 的圆,故点 B 在此圆上.

过点 A 作圆的切线,故当点 B 为切点时,∠A 最大,即 θ 最大,故 cosθ = = = 最小,

则 cos2θ 的最小值为 2cos2θ ﹣1=2× ﹣1= , 故答案为: .

三.解答题(17-21 每小题 12 分,22 或 23 题 10 分,共 70 分.在答题卷上解答,解答应写 出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.设数列{an}的前 n 项和 Sn=2an﹣a1,且 a1,a2+1,a3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列

的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】(1)运用数列的递推式:an=Sn﹣Sn﹣1(n>1),结合等差数列中项的性质,解方程 可得首项,由等比数列的通项公式即可得到所求;

(2)求得

,运用数列的求和方法:分组求和,结合等比数列和等差数列的求

和公式,计算即可得到所求和. 【解答】解:(1)由已知 Sn=2an﹣a1 有 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1(n>1),
11

即 an=2an﹣1(n>1).从而 a2=2a1,a3=4a1. 又∵a1,a2+1,a3 成等差数列, 即 a1+a3=2(a2+1), ∴a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2. ∴数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,





(2)由(1)得



因数列

是首项为 ,公比为 的等比数列,

即有 Tn=( + +…+ )﹣(1+2+…+n),





18.为宣传 3 月 5 日学雷锋纪念日,成都七中在高一,高二年级中举行学雷锋知识竞赛,每 年级出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得 1 分,答错不

答都得 0 分,已知甲队 3 人每人答对的概率分别为

,乙队每人答对的概率都是

.设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 X 表示甲队总得分. (1)求随机变量 X 的分布列及其数学期望 E(X); (2)求甲队和乙队得分之和为 4 的概率. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】(1)X 的可能取值为 0,1,2,3.分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列及 数学期望. (2)设“甲队和乙队得分之和为 4”事件 A,包含“甲队 3 分且乙队 1 分”,“甲队 2 分且 乙队 2 分”,“甲队 1 分且乙队 3 分”三个基本事件,由此能求出甲队和乙队得分之和为 4 的概率. 【解答】解:(1)X 的可能取值为 0,1,2,3.


12





, ∴X 的分布列为: X0123 P



.…

(2)设“甲队和乙队得分之和为 4”事件 A,包含“甲队 3 分且乙队 1 分”, “甲队 2 分且乙队 2 分”,“甲队 1 分且乙队 3 分”三个基本事件,

则:

.…

19.已知等边△AB′C′边长为 ,△BCD 中,

(如图 1 所示),现将 B

与 B′ , C 与 C′ 重 合 , 将 △ AB′C′ 向 上 折 起 , 使 得

(如图 2 所

示).

(1)若 BC 的中点 O,求证:平面 BCD⊥平面 AOD; (2)在线段 AC 上是否存在一点 E,使 ED 与面 BCD 成 30°角,若存在,求出 CE 的长度,若 不存在,请说明理由; (3)求三棱锥 A﹣BCD 的外接球的表面积. 【考点】平面与平面垂直的判定;球内接多面体. 【分析】(1)运用平面几何中等腰三角形的三线合一,结合线面垂直的判定定理和面面垂直 的判定定理,即可得证; (2)(法 1)作 AH⊥DO,交 DO 的延长线于 H,运用平面几何中有关性质,以及线面垂直和
13

面面垂直的性质,可得∠EDF 就是 ED 与面 BCD 所成的角.运用直角三角形的知识,计算可 得 CE; (法 2)以 D 为坐标原点,以直线 DB,DC 分别为 x 轴,y 轴的正方向,以过 D 与平面 BCD 垂直的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,设 CE=x,求出 E 的坐标,运用法向量,以及向 量的夹角公式,计算即可得到所求; (3)将原图补形成正方体,由 AC= ,可得正方体边长为 1,可得外接球的直径即为正方 体的对角线长,由球的表面积公式,计算即可得到所求. 【解答】解:(1)证明:∵△ABC 为等边三角形,△BCD 为等腰三角形, 且 O 为中点, ∴BC⊥AO,BC⊥DO, ∵AO∩DO=O,∴BC⊥平面 AOD, 又 BC? 面 ABC ∴平面 BCD⊥平面 AOD… (2)(法 1)作 AH⊥DO,交 DO 的延长线于 H, 则平面 BCD∩平面 AOD=HD,则 AH⊥平面 BCD,

在 Rt△BCD 中,



在 Rt△ACO 中,



在△AOD 中,





,在 Rt△ADH 中 AH=ADsin∠ADO=1,



,作 EF⊥CH 于 F,平面 AHC⊥平面 BCD,

∴EF⊥平面 BCD,∠EDF 就是 ED 与面 BCD 所成的角.



,∴

(※),

在 Rt△CDE 中,



要使 ED 与面 BCD 成 30°角,只需使



∴x=1,当 CE=1 时,ED 与面 BCD 成 30°角… (法 2)在解法 1 中接(※),以 D 为坐标原点,
14

以直线 DB,DC 分别为 x 轴,y 轴的正方向, 以过 D 与平面 BCD 垂直的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系







又平面 BCD 的一个法向量为

,要使 ED 与面 BCD 成 30°角,

只需使

成 60°,

只需使

,即

,∴x=1,

当 CE=1 时 ED 与面 BCD 成 30°角; (3)将原图补形成正方体,由 AC= ,可得正方体边长为 1,

则外接球的直径为 ,即半径



表面积:S=4π r2=3π …

15

20.已知圆

,将圆 E2 按伸缩变换:

后得到曲线 E1,

(1)求 E1 的方程; (2)过直线 x=2 上的点 M 作圆 E2 的两条切线,设切点分别是 A,B,若直线 AB 与 E1 交于 C,

D 两点,求

的取值范围.

【考点】平面直角坐标轴中的伸缩变换. 【分析】(1)根据题意,由平面直角坐标系中的伸缩变化的规律可得(x′)2+2(y′)2=2, 整理即可得答案; (2)根据题意,直线 x=2 上任意一点 M 以及切点 A,B 坐标,分析可得切线 AM,BM 的方程,

分 t=0 与 t≠0 两种情况讨论,分别求出

的取值范围,综合即可得答案.

【解答】解:(1)按伸缩变换:

得:(x′)2+2(y′)2=2,

则 E1:



(2)设直线 x=2 上任意一点 M 的坐标是(2,t),t∈R,切点 A,B 坐标分别是(x1,y1), (x2,y2);

则经过 A 点的切线斜率 k= ,方程是 x1x+y1y=2,经过 B 点的切线方程是 x2x+y2y=2,

又两条切线 AM,BM 相交于 M(2,t),

则有



所以经过 A、B 两点的直线 l 的方程是 2x+ty=2, 当 t=0 时,有 A(1,1),B(1,﹣1),C(1, ),D(1,﹣ ),

则|CD|= ,|AB|=2,

=,

当 t≠0 时,联立

,整理得(t2+8)x2﹣16x+8﹣2t2=0;

16

设 C、D 坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),则









令 t2+4=x,则 x>4,则 f(x)=



又令 u= ∈(0, ),φ (u)=﹣32u3+6u+1,u∈(0, ), 令 φ ′(u)=﹣96u2+6,令﹣96u2+6=0,解可得 u0= , 故 φ (u)=﹣32u3+6u+1 在(0, )上单调递增,且有 φ (u)∈(1, ),



,则 <

<1;

综合可得 ≤

<1;

所以

的取值范围为[ ,1).

21.已知函数 g(x)=xsinθ ﹣lnx﹣sinθ 在[1,+∞)单调递增,其中 θ ∈(0,π ) (1)求 θ 的值;

(2)若

,当 x∈[1,2]时,试比较 f(x)与

的大小关系(其

中 f′(x)是 f(x)的导函数),请写出详细的推理过程; (3)当 x≥0 时,ex﹣x﹣1≥kg(x+1)恒成立,求 k 的取值范围.

17

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)令 g′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立,结合三角函数的性质即可得出 sinθ =1; (2)化简得 f(x)﹣f′(x)=x﹣lnx+ + ﹣ ﹣2,利用导数分别求出 y=x﹣lnx 和

y= + ﹣ ﹣2 在[1,2]上的最小值,即可得出结论;

(3)令 F(x)=ex﹣x﹣1﹣kg(x+1),则 Fmin(x)≥0(x≥0),对 k 进行讨论,判断 F(x) 的单调性,计算 Fmin(x)进行检验即可. 【解答】解:(1)∵g(x)在[1,+∞)单调递增,



在[1,+∞)上恒成立,即

恒成立.

∵当 x≥1 时, ≤1,

∴sinθ ≥1,又 θ ∈(0,π ),∴0<sinθ ≤1

∴sinθ =1,∴



(2)由(1)可知 g(x)=x﹣lnx﹣1,



,∴







令 h(x)=x﹣lnx,









∴h(x)在[1,2]上单调递增,∴h(x)≥h(1)=1, 令 φ (x)=﹣3x2﹣2x+6,则 φ (x)在[1,2]单调递减, ∵φ (1)=1,φ (2)=﹣10, ∴? x0∈(1,2),使得 H(x)在(1,x0)单调递增,在(x0,2)单调递减, ∵H(1)=0,H(2)=﹣ ,









又两个函数的最小值不同时取得;

18



,即:



(3)∵ex﹣x﹣1≥kg(x+1)恒成立,即:ex+kln(x+1)﹣(k+1)x﹣1≥0 恒成立,

令 F(x)=ex+kln(x+1)﹣(k+1)x﹣1,则



由(1)得:g(x)≥g(1)即 x﹣lnx﹣1≥0(x≥1),∴x+1≥ln(x+1)+1(x≥0), 即:x≥ln(x+1)(x≥0),∴ex≥x+1,



当 k=1 时,∵x≥0,∴



∴F(x)单调递增,∴F(x)≥F(0)=0,符合题意;

当 k∈(0,1)时,y=(x+1)+ ﹣(k+1)在[0,+∞)上单调递增,





∴F(x)单调递增,∴F(x)≥F(0)=0,符合题意; 当 k≤0 时,F′(x)在[0,+∞)上是增函数,



≥F′(0)=1+k﹣(k+1)=0,

∴F(x)单调递增,∴F(x)≥F(0)=0 符合题意,

当 k>1 时,F″(x)=ex﹣

,∴F″(x)在[0,+∞)上单调递增,

又 F″(0)=1﹣k<0,且 x→+∞,F″(x)>0, ∴F″(x)在(0,+∞)存在唯一零点 t0, ∴F′(x)在(0,t0)单调递减,在(t0,+∞)单调递增, ∴当 x∈(0,t0)时,F′(x)<F′(0)=0, ∴F(x)在(0,t0)单调递减,∴F(x)<F(0)=0,不合题意. 综上:k≤1.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:

ρ sin2θ =2acosθ (a>0),过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为

(t 为

19

参数),l 与 C 分别交于 M,N. (1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程; (2)若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列,求 a 的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】(1)利用极坐标与普通方程的关系式,可得 C 为抛物线方程,消去参数 t,可得直 线 l 的方程; (2)由|PM|=|t1|,|MN|=|t1﹣t2|,|PN|=|t2|成等比数列,可转化为关于 a 的等量关系求解. 【解答】解:(Ⅰ)曲线 C:ρ sin2θ =2acosθ ,可得 ρ 2sin2θ =2aρ cosθ ,它的直角坐标 方程为 y2=2ax(a>0);

,消去 t,可得 x﹣y﹣2=0,

直线 l 的普通方程为 x﹣y﹣2=0.

4分

(Ⅱ)将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立,得

t2﹣2(4+a) t+8(4+a)=0 (*)

△=8a(4+a)>0.

设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,恰为上述方程的根.

则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|. 由题设得(t1﹣t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2﹣4t1t2=|t1t2|.

由(*)得 t1+t2=2(4+a) ,t1t2=8(4+a)>0,则有 (4+a)2﹣5(4+a)=0,得 a=1,或 a=﹣4.

因为 a>0,所以 a=1.

10 分

[选修 4-5:不等式选讲] 23.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0). (Ⅰ)证明:f(x)≥2; (Ⅱ)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】(Ⅰ)由 a>0,f(x)=|x+ |+|x﹣a|,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得

20

f(x)≥2 成立. (Ⅱ)由 f(3)=|3+ |+|3﹣a|<5,分当 a>3 时和当 0<a≤3 时两种情况,分别去掉绝 对值,求得不等式的解集,再取并集,即得所求. 【解答】解:(Ⅰ)证明:∵a>0,f(x)=|x+ |+|x﹣a|≥|(x+ )﹣(x﹣a)|=|a+ |=a+

≥2

=2,

故不等式 f(x)≥2 成立.

(Ⅱ)∵f(3)=|3+ |+|3﹣a|<5,

∴当 a>3 时,不等式即 a+ <5,即 a2﹣5a+1<0,解得 3<a<



当 0<a≤3 时,不等式即 6﹣a+ <5,即 a2﹣a﹣1>0,求得

<a≤3.

综上可得,a 的取值范围(



).

21


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