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北师版数学选修1-2归纳推理zx_图文

? 第二章 推理与证明
第一课时( 归纳推理)

问题情境
1、对自然数n,考查 n 0 1

n ? n ? 11 2 n ? n ? 11
2

11 11

都是素数

2 3
4 5 6 结论:对所有的自然数n,n
2

13 17 23 31 41

?n?11 都是质数.

2、前提:矩形的对角线的平方等于其长和宽的平方和. 结论:长方体的对角线的平方等于其长、宽、高的平

方和.
3、前提:所有的树都是植物,

梧桐是树.
结论:梧桐是植物. 问题1是归纳推理; 问题2是类比推理;

问题3是演绎推理;

归 纳 推 理

前提:
4=2+2 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11, 18 =7+11, ? 1000=29+971 1002=139+863,

结论:
“任何一个大于2的偶数都可 以表示为两个素数之和”

----歌德巴赫猜想
归纳推理



著名 猜想

哥德巴赫,德国数学家。 1742年6月7日,他在 写给著名数学家欧拉 的一封信中,提出了 两个大胆的猜想: 1、任何不小于6的偶数, 都是两个奇质数之和: 2、任何不小于9的奇数, 都是3个奇质数之和. 这就是数学史上 著名的“哥德巴赫猜想”

哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润于 1966年证明的,称为陈氏定理 .“任何充分大 的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而後 者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这 个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式.

例题解析:
例1 蛇是用肺呼吸的, 鳄鱼是用肺呼吸的, 海龟也是用肺呼吸的, 蜥蜴是用肺呼吸的, 蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物. 所以,所有的爬行动物都是用肺呼吸的. 例2 三角形的内角和是 180?, 凸四边形的内角和是 360?, ? 540 凸五边形的内角和是 … ? 由此我们猜想:凸边形的内角和是 (n ? 2) ?180 .

特殊

一般

归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意

由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论

归纳推理的结论不一定成立

归纳推理的一般步骤:
试验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

例1、由下图可以发现什么结论? 1+3=4=22,

1+3+5=9=32,
1+3+5+7=16=42, ……

由此猜想:前n个连续的奇数的和 等于n的平方,即 1+3+5+…+(2n-1)=n2

例2 已知数列{an}的第1项a1=1,且 an ?1

an ? 1 ? an

(n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.

an 解:分别把n=1,2,3,4代入 an ?1 ? 得 1 ? an 1 1 1 1 a2 ? , a3 ? , a4 ? , a5 ? 2 3 4 5

1 归纳: a n ? n

解法2 取倒数得

1 1 ? 1? an ?1 an

例3 在印度北部的佛教圣地贝拿勒斯的圣庙里有三根木桩,
其中一根木桩上套有64个金属做的圆盘,圆盘的尺寸由上到 下一个比一个大,这就是所谓“梵塔”.现在有一位高僧正 在把这些圆盘在三根木桩上移来移去,一次只能够移一个, 而且不管什么时候,较大的圆盘都必须放在较小的圆盘的 下面,当他把64个圆盘从原来的木桩上移到另一根木桩上的 时候,就是“世界末日”到了,那一天,宇宙将在一声巨大 的霹雳声中毁灭,梵塔、宇宙、高僧以及芸芸众生都将同 归于尽.

有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规 则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动一个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次?

2

1

3

n=1时,

f (1) ? 1

2

1

3

f (1) ? 1 n=2时, f (2) ? 3
n=1时,

2

1

3

f (1) ? 1 n=2时, f (2) ? 3 n=3时, f (3) ? 7
n=1时,

2

1

3

f (1) ? 1 n=2时, f (2) ? 3 n=3时, f (3) ? 3 ?1 ? 3 ? f (2) ? 1 ? f (2)
n=1时,

2

1

3

f (1) ? 1 f (2) ? 3 f (3) ? 7 ? f (2) ? 1 ? f (2) n=4时, f (4) ? f (3) ? 1 ? f (3) ? 15
n=1时, n=2时, n=3时,

2

1

3

f (1) ? 1 f (2) ? 3 f (3) ? 7 ? f (2) ? 1 ? f (2) n=4时, f (4) ? 15 ? f (3) ? 1 ? f (3) n?1 ?1, 归纳: f (n) ? ? ? 2 f (n ? 1) ? 1, n ? 2
n=1时, n=2时, n=3时,

f (n) ? 2 ? 1
n

1、通项公式的归纳 2、递推公式的归纳

a64 ? 2 ?1 ? 18?10
64

18

按1秒钟搬动一次,而且整年整月都不停息, 1年可搬:

365? 24? 60? 60 ? 31536000 ? 3?10 (次)
7

所以,搬运的时间大约需要:
(18?10 ) ? (3?10 ) ? 6 ?10 (年)( 6000 亿年)
18 7 11

例5(2005年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有 且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一 点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,f(4)=
1 ( n ? 2)( n ? 1) 当n>4时,f(n)= 2 f(n)=f(n-1)+n-1

5

,

.(用n表示)

f (3) ? f (2) ? 2 f (4) ? f (3) ? 3 f (5) ? f (4) ? 4 ???

f (n) ? f (n ? 1) ? n ? 1 累加得: f (n) ? f (2) ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ( n ? 1)

例6:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它 们之间的关系.

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

猜想 F+V-E=2
多面体
三棱锥

欧拉公式
4 5 6 6 8 6 10 10 9 6 8 9 10 12 12 15 15 16

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5
5 6 6 8 7 7 9

四棱锥
三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体

五棱柱
截角正方体 尖顶塔

7、观察下列式子,归纳结论: (以下a、b均为正数)

a 2 ? b 2 ? 2ab a 3 ? b3 ? a 2b ? ab2 a 4 ? b 4 ? a3b ? ab3 a 4 ? b 4 ? 2a 2b 2 a ?b ? a
n n n?k

b ?a b
k k

n?k

小结
1.什么是归纳推理(简称归纳)? 部分 → 整体
个别 → 一般

2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).

(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴 方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推 广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应 成为所推广命题的一个特例,推广的命题为:

设圆的方程为①(x-a)2+(y-b)2=r2与

②(x-c)2+(y-d)2=r2(a≠c或b≠d),
则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴 方程.

费马猜想
? 法国数学家费马观察到:

2 ?1 ? 5 2 2 2
22 23 24

21

? 1 ? 17 ? 1 ? 257 ? 1 ? 65537
n

于是他用归纳推理提出猜想:形如22 +
的数都是质数.这就是著名的费马猜想.

*) ( n ?N 1

? 半个世纪之后,善于计算的欧拉发现第5个费马 数

2 ? 1 ? 429467297 ? 641? 6700417
? 不是质数,从而推翻了费马猜想.
? 一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是 一种猜想,未必可靠!它是冒险的,有争议的 和暂时的!(合情未必合理!)

25

天文学上的博德定律
行星 博德推算的 名 与太阳的距 离 水星 4 金星 7 地球 10 实际距 离 3.9 7.2 10.0

单位:1/10天文单位 (AV)1766年

an ? 3? 2

n?1

?4

1781年天王星:192 (196) 1801年第一颗最大的 小行星:27.6(28)

火星 16
28 木星 52 土星 100

15.2
52.0 95.3

1930年冥王星:396 (388) 应用归纳推理可以发现 新事实,获得新结论

总结:
归纳推理

成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶的凋落,知道秋 天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体

形势的变化,由部分推知全体.

下 课
作业:P37A第1、2、4、5 题、B组第1题.

P48A组第1、2、3题、 B组第1题.


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