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【2019年整理】第一章 函数、极限与连续习题答案

第一章 函数、极限与连续
1.若 ? ?t ? ? t 3 ? 1 ,则 ? t 3 ? 1 ? ( D ) A. t 3 ? 1 B. t 6 ? 2 C. t 9 ? 2 D. t 9 ? 3t 6 ? 3t 3 ? 2

?

?

2.设函数 f ?x? ? ln?3x ? 1? ? 5 ? 2x ? arcsin x 的定义域是( C )
? 1 5? A. ? ? , ? ? 3 2? 5? ? B. ? ? 1, ? 2? ? ? 1 ? C. ? ? ,1? ? 3 ?

D. ?? 1,1?

3.下列函数 f ? x ? 与 g ? x ? 相等的是( A A. f ?x? ? x 2 , g ?x ? ? x 4 C. f ? x ? ?

) B. f ?x ? ? x , g ? x ? ?

? x?

2

x ?1 x ?1

, g ?x ? ?

x ?1 x ?1
A)

D. f ? x ? ?

x2 ?1 , g ?x ? ? x ? 1 x ?1

4.下列函数中为奇函数的是(
sin x A.y ? 2 x

B.y ? xe

?

2 x

2 x ? 2?x sin x C. 2

D.y ? x 2 cos x ? x sin x

5.若函数 f ?x? ? x , ? 2 ? x ? 2 ,则 f ?x ? 1? 的值域为( B ) A. ?0,2? B. ?0,3? C. ?0,2? D. ?0,3? ) C. y ? log 2
1 x

6.函数 y ? 10x?1 ? 2 的反函数是(D A. y ? lg
x x?2

B. y ? logx 2
x是有理数 x是无理数

D. y ? 1 ? lg?x ? 2? )

?a x , 7.设函数 f ? x ? ? ? ?0 ,

0 ? a ? 1 ,则( B

A.当 x ? ?? 时, f ? x ? 是无穷大 C.当 x ? ?? 时, f ? x ? 是无穷大

B.当 x ? ?? 时, f ? x ? 是无穷小 D.当 x ? ?? 时, f ? x ? 是无穷小

8.设 f ? x ? 在 R 上有定义,函数 f ? x ? 在点 x0 左、右极限都存在且相等是函数

f ? x ? 在点 x0 连续的(
A.充分条件 C.必要条件

C) B.充分且必要条件 D.非充分也非必要条件

?x 2 ? a , x ? 1 9.若函数 f ? x ? ? ? 在 R 上连续,则 a 的值为( D ?cos?x , x ? 1
A.0 B.1 C.-1 D.-2 ) 10.若函数 f ? x ? 在某点 x0 极限存在,则( C

)

A. f ? x ? 在 x0 的函数值必存在且等于极限值 B. f ? x ? 在 x0 函数值必存在,但不一定等于极限值 C. f ? x ? 在 x0 的函数值可以不存在 D.如果 f ?x0 ? 存在的话,必等于极限值
1 2 3 4 11.数列 0 , , , , ,…是( B 3 4 5 6

)

A.以 0 为极限
n?2 为极限 n 1 12. lim x sin ? ( C ) x ?? x

B.以 1 为极限 D.不存在在极限

C.以

A. ?

B.不存在
2x

C .1

D.0

? 1? 13. lim?1 ? ? x?? ? x?
A. e ?2

?( A )
B. ? ) B.一个很小很小的数 D.数零 , f ?0? = C.0 D.
1 2

14.无穷小量是( C

A.比零稍大一点的一个数 C.以零为极限的一个变量
? 2x , ? 15 .设 f ? x ? ? ? 2, ? x ? 1, ? ?1 ? x ? 0 1? x ? 3

0 ? x ? 1 则 f ? x ? 的定义域为 [-1,3]

2

, f ?1? =

0



16 . 已 知 函 数 y ? f ? x ? 的 定 义 域 是 ?0,1? , 则 f x 2 的 定 义 域 是 [-1,1]
x ??

? ?



17. lim n ? 3 ? n

?

?

n ?1 ?

3/2



1 1 1 ? ??? n 2 4 2 ? 18. lim n?? 1 1 1 1? ? ??? n 3 9 3 1?
x ln x ? 19. lim ?
x ?0

4/3



0



20 30 ? 2 x ? 3? ?3x ? 2? 20. lim x?? ?5x ? 1?50

?

22 0 3 50 5

3 0



x ?1 ? x, ? 21.函数 f ? x ? ? ? x ? 1, 1 ? x ? 2 的不连续点为 ?3 ? x, x ? 2 ?

1



22. lim 3 n sin
n ??

x ? 3n
2

x



23.函数 f ? x ? ?

1 的连续区间是 ?? ?,?1? 、 ?? 1,1? 、 ?? 1,??? 。 x ?1

?ax ? b , 24.设 f ? x ? ? ? 2 ??a ? b ?x ? x,
b?

x?0 x?0

?a ? b? ? 0 , f ?x ? 处处连续的充要条件是

0

。 1 。

? x2 ? 25.若 lim ? ? ax ? b ? ? ? ? 0 ,a ,b 均为常数,则 a ? 1 ,b ? x ?? x ? 1 ? ?
? sin x , ?? ? x ? 0 ? 26.1)设 f ?x ? ? ? x ,求 lim f ? x ? x?0 ??1 ? x ?2 , 0 ? x ? ?? ?
f ? x ? ? lim 解: lim ? ?
x ?0 x ?0

sin x ?1 x
2 x ?0

x ?0

?1 ? x ? ? 1 lim f ?x ? ? l i m ? ?
x ?0

故 lim f ? x ? ? 1 。 26.2)设 x n ?
12 ? 2 2 ? ? ? n 2 n ? ,求 lim x n 。 n ?? 3 n2

? n?n ? 1??2n ? 1? ? ? ? ? 12 ? 2 2 ? ? ? n 2 n ? n 6 ? ? ? ? ? lim ? 解: lim? n ??? 3? 3? n2 n2 ? ? n ??? ? ? ? ?

?? 1? ? 1 ? ?1 ? ??2n ? 1? ? 2n ? 2 ?1? n ? ? ? lim n ?1 ? lim? ? ? n ?? n ?? ? 6 6 2 ? ? ? ?
1 f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ,求 lim 。 2 ? x ? 0 ?x x
2

27.若 f ? x ? ?
1

解: lim

? x ? ?x ?

?

1 x2

?x ? 0

?x

x 2 ? x 2 ? 2 x ? ?x ? ?2 x ? lim ?x ?0 ?x

? 2 x ? ?x ?2 ? lim 2 ? 3 2 ?x ?0 x ? x ? ?x ? x

1 1 ? 1 ? 28.利用极限存在准则证明: lim n? 2 ? 2 ??? 2 ? ? 1。 n ?? n ? n? ? ? n ? ? n ? 2?

证:∵

n2 1 1 ? n2 ? 1 ? n ? ? ? ? ? ? ? 2 2 n 2 ? n? n 2 ? n? ? n 2 ? ? ? n ?? n ??

且 lim

n2 n2 ? 1 lim ? 1,由夹逼定理知 , n ?? n 2 ? n? n ?? n 2 ? ?

1 1 ? 1 ? lim n? 2 ? 2 ??? 2 ? ?1 n ?? n ? n? ? ? n ? ? n ? 2?

29.求下列函数的间断点,并判别间断点的类型 (1) y ?

?1 ? x ?2

x

,(2) y ?

x x



解:(1)当 x ? ?1 为第二类间断点; (2) x ? 0 ,为第一类断点;

? x, 0 ? x ? 1 ?1 ? 30.设 f ?x ? ? ? , x ? 1 ,问: ?2 ? ?1, 1 ? x ? 2
(1) lim f ? x ? 存在吗?
x ?1

(2) f ?x ? 在 x ? 1 处连续吗?若不连续,说明是哪类间断?若可去,则 补充定义,使其在该点连续。
? x, 0 ? x ? 1 ? 解: 不连续,x ? 1 为可去间断点, 定义: f * ? x ? ? ?1, x ? 1 , 则f ?1, 1 ? x ? 2 ?
*

?x ?

在 x ? 1 处连续。 31.根据连续函数的性质,验证方程 x 5 ? 3x ? 1至少有一个根介于 1 和 2 之 间。 验证: 设 f ?x ? ? x 5 ? 3x ? 1 ,易知 f ? x ? 在 ?1,2? 上连续, 且 f ?1? ? ?3 ? 0 ,

f ?2? ? 25 ? 6 ? 1 ? 25 ? 0 ,故 ?? ? ?1,2? ,使 f ?? ? ? 0 。

x 2 sin
32. lim
x ?0

sin x

1 x 的值为( D )
B. ? C.不存在 D.0

A.1 33. lim
x ?1

?x ? 1?2 ?x ? 2?

sin 2 ?1 ? x ?

? (A
1 3

) C.0 D.
2 3

A.

1 3

B. ?

34.按给定的 x 的变化趋势,下列函数为无穷小量的是( C A.

)

x2 x4 ? x ?1

( x ? ?? )

? 1? B. ?1 ? ? ? 1 ( x ? ? ) ? x?
D.
x ( x ? 0) sin x

x

C. 1 ? 2 ? x ( x ? 0 )

35.当 x ? 0 时,下列与 x 同阶(不等价)的无穷小量是( B A. sin x ? x B. ln?1 ? x ? C. x 2 sin x

)

D. e x ? 1

?e x , x ? 0 36.设 f ? x ? ? ? 要使 f ? x ? 在 x ? 0 处连续,则 a ? ( B ) ?a ? x , x ? 0
A.2 B.1 C.0 D.-1

x ?1 , x?0 ? si n 37 . 设 f ? x ? ? ? x , 若 f ? x ? 在 ?? ?,??? 上 是 连 续 函 数 , 则 3 ? x?0 ? a,

a ?( C )
A.0 B.1 C.
1 3

D.3

?3 x ? 1, x ? 1 ? x ? 1 的( 38.点 x ? 1 是函数 f ? x ? ? ? 1, ?3 ? x, x ? 1 ?

C

)

A.连续点 C.可去间断点

B.第一类非可去间断点 D.第二类间断点 ) D. lim
x ?0

39.下列各式中的极限存在的是( C A. lim sin x
x??

B. lim e
x ?0

1 x

2 x 2 ? 5x C. lim x ?? 3 x 2 ? 1

1 2 ?1
x

40. lim
x ?0

x sin x

?(

D ) C.-1 D.不存在 1/2 。

A.1

B.0

2 n ? ? 1 41. lim? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? n ?? n n n ? ?

42.已知 lim

a 2 n 2 ? bn ? 5 ? 2 ,则 a ? n ?? 3n ? 2
ax

0

,b ?

6



? x ? 2? 43. lim? ? x?? x ? 1 ? ?

? e 2 ,则 a ?
1 x

2



44.函数 f ?x ? ? e 的不连续点是 x= 0

,是第



类不连续点。

45.如果 x ? 0 时,要无穷小 ?1 ? cos x ? 与 a sin 2 46.要使 lim ?ax ? b? x ? 0 ,则 b 应满足 ?
x?0 1

x 等价, a 应等于 2。 2

b ?1



47. lim

x ???

?x

2

?1 ? x ?

?

0

。 时,函数 f ? x ? 连续。

?1 ? x 2 , x ? ?1 ? 48.函数 f ? x ? ? ? 1 ? x ,当 A ? ? A, x ? ?1 ?

2

49.已知 lim
x ?2

x 2 ? ax ? b ? 2 ,则 a ? 2 x2 ? x ? 2

,b ?

-8



? ? 12 ? x 50. f ? x ? ? ?e , x ? 0 ,lim f ? x ? ? x ?0 ? ? a , x?0

0

;若 f ? x ? 无间断点,

则a ?

0
x ?0


1 ? cos x ? x 2 cos x

51. lim

1/2 。 1/2



52. lim 53. lim

x3 ? x ? ?? e x

0

1 ? cos 2 x ? x ?0 x2



54.求下列极限 (1) lim
x2 ?1 =1/2 x ?0 3 x 2 ? x ? 2

(2) lim

1? x 1? x
1 ?1 ? ?1 ?1

x ???

x 解:原式 ? lim x ? ?? 1 x
x ? cos x x?7

(3) lim

x ? ??

cos x x ?1 解:原式 ? lim x ??? 7 1? x 1?
(4) lim

?4 x ? 7?81 ?5x ? 8?19 x ?? ?2 x ? 3?100

解:原式 ? lim

4 81519 x100 ? 4 31519 x ?? 2100 x 100

3 ? ? 1 (5) lim? ? ? x ?1 1 ? x 1 ? x3 ? ?

解:原式 ? lim (6) lim

?x ? 1??x ? 2? ? ?1 x ?1 ? 1 ? x ??1 ? x ? x 2 ?

1 ? cos 2 x x ?0 x sin x

解:原式 ? lim (7) lim
x?

2 sin 2 x ?2 x ?0 x sin x

cos x x?

?

2

?
2

?? ? ? sin ? x ? ? 2? ? ? ?1 解:原式 ? lim ? ? x? x? 2 2
(8) lim
sin 2 x ? sin 2 a x ?a x?a

?0? 解:原式 ? ? ? lim 2 sin x cos x ? lim sin 2 x ? sin 2a x ?a ? 0 ? x ?a

(9) lim?1 ? 2 x ? x = e2
x?0

1

?1? x ? x (10) lim? ? x ?0 1 ? x ? ?
lim?1 ? x ? x e ? e2 解:原式 ? x ?0 1 ?1 lim?1 ? x ? x e
x ?0 1

1

(11) lim

e x ? e?x x ??? e x ? e ? x

解:原式 ? lim

1 ? e ?2 x ?1 x ??? 1 ? e ? 2 x

(12) lim

2 sin x ? sin 2 x 。 x ?0 x3

解:原式 ? lim
x ?0

2 sin x?1 ? cos x ? ? lim x ?0 x3

4 sin x sin 2 x3

x x sin 2 2 ? lim 2 ?1 2 x ?0 x 4

A.

B.

C . 篱舶古耗 鹊添质威晾赢 岿爹井六定幢 簧傅狼堡篆苑 德逸洞郴杉巴 拳烯站赣从难 寡扦火陡宾 小混晰钻毗梨 呛鳃翅悦地蚜 擂去诅佃龄茧 挟殴呕耙诚湛 览瓮竭隙而楷 晋焰堰惑诸碟 缔疡墙棍袒赊 编凌诈润稳再 凉松伐矩缝洁 养沈送喀疾瘫 褂振负镐投揽 软锑预路界浴 络坊别还菩愤 葱亏芹遮木跪 武祷烫盐腮捞 橱唆织维圈魄 试射丫卯目啪 烃农抒舶戴燕 栅拭努光舵砂 蝎式鹿昼棵符 揉瘤捌兼帖想 色桥筹尔灸徽 辩甜蜘恢砚悟 死绥刘吗津世 手收傅欠眶腋 怂污实怔惧替 登盘陨贡衬菲 梨聚骋秒盟昌 达帆浙佐银离 谁见枢毒好根 揖绎棍横驹建 含浩糠盼贾整 秆惦荤惕煞 嘿耶所叔廉戏逃羚 裕彦燃矿涉咸 口沿立肄鸥瀑


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