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高中数学第二章函数5简单的幂函数(一)学案北师大版必修1

§5 简单的幂函数(一) 学习目标 1.理解幂函数的概念(重点); 2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方 法(重点); 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征, 能运用数形结合的方法处理幂函数 有关问题(重、难点). 预习教材 P49-50 完成下列问题: 知识点一 幂函数的定义 如果一个函数,底数 是自变量 x,指数 是常量 α ,即 y=x ,这样的函数称为幂函 数. 【预习评价】 1.任意一次函数和二次函数都是幂函数吗?若函数 y=mx 是幂函数,m 应满足什么条 件? 提示 并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数,只有其中的 y=x 和 y=x 是幂函 数.若 y=mx 是幂函数,则必有 m=1. 2.幂函数与指数函数有何区别? 提示 幂函数与指数函数不同点在于:幂函数形式为 y=x (α ∈R),其自变量 x 处于 底数位置,常数 α 处于指数位置;而指数函数形式为 y=a (a>0 且 a≠1),其自变量 x 处于 指数位置,常数 a 处于底数位置,且 a 须满足大于 0 而且不等于 1. 知识点二 简单的幂函数的图像和性质 幂函数 x α α 2 α α y=x y=x2 y=x3 1 y=x2 y=x-1 图像 定义域 R R R [0,+∞) (-∞, 0)∪(0, + ∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y∈R, 且 y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 1 x∈[0,+∞) 单调性 增 增 ,x∈(- 增 增 x∈(0, +∞)减 , x∈(-∞,0)减 ∞,0]减 定点 (1,1) 续表 【预习评价】 幂函数 y=x 在区间(0, +∞)上为增函数时, α 满足的条件是什么?在区间(0, +∞) 上为减函数时,α 满足的条件是什么? 提示 当 α >0 时,y=x 在(0,+∞)上为增函数; 当 α <0 时,y=x 在(0,+∞)上为减函数. α α α 题型一 幂函数的概念 【例 1】 (1)已知( 2,2)在幂函数 f(x)的图像上,求 f(2)的值; (2)已知函数 f(x)=(a -3a+3)x 减,求实数 a 的值. 解 (1)设 f(x)=x , α 2 a -5a+5 2 (a 为常数)为幂函数,且在(0,+∞)上单调递 ∵( 2,2)在 f(x)的图像上, ∴f( 2)=( 2) =2,∴α =2. 故 f(x)=x ,f(2)=2 =4. (2)∵f(x)为幂函数,∴a -3a+3=1, 得 a=1 或 a=2. 当 a=1 时,f(x)=x,在(0,+∞)上单调递增,不合题意. 当 a=2 时,f(x)=x ,在(0,+∞)上单调递减,符合题意. 综上,得 a 的值为 2. 规律方法 (1)幂函数的特点:系数为 1,底数为自变量,指数为常数.(2)当 α >0 时, 幂函数在第一象限内单调递增;当 α <0 时,幂函数在第一象限内单调递减. 【训练 1】 函数 f(x)=(m -m-1)x 函数,求 f(x)的解析式. 解 根据幂函数定义得, 2 -1 2 2 2 α m +m-3 2 是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)是增 m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1, 2 当 m=2 时,f(x)=x 在(0,+∞)上是增函数, 当 m=-1 时,f(x)=x 在(0,+∞)上是减函数,不合题意. ∴f(x)的解析式为 f(x)=x . 题型二 幂值大小的比较问题 【例 2】 比较大小. 1 1 (1)1.52 ,1.72 ; (2)(-1.2) ,(-1.25) ; (3)5.25 解 -1, 3 3 3 -3 3 5.26 . -1 1 (1)因为函数 y=x2 在(0,+∞)上是增函数, 1 1 且 1.5<1.7,所以 1.52 <1.72 . (2)因为函数 y=x 在 R 上是增函数,且-1.2>-1.25,所以(-1.2) >(-1.25) . (3)因为函数 y=x 在(-∞,0)和(0,+∞)是递减函数, 所以 5.25 >5.26 . 规律方法 比较幂值大小的三种思路 (1)若指数相同,底数不同,则考虑幂函数. (2)若指数不同,底数相同,则考虑指数函数. (3)若指数与底数都不同,则考虑插入中间数,使这个数的底数与所比较数的一个底数 相同,指数与另一个数的指数相同,那么这个数就介于所比较的两数之间,进而比较大小. -1 -1 -1 3 3 3 ?2?-1 ?3?1 ?2?1 ?7?0 【训练 2】 把? ? 3 ,? ?2 ,? ?2 ,? ? ,按从小到大的顺序排列____________. ?3? ?5? ?5? ?6? ?7?0 ?2?-1 ?2?0 解析 ? ? =1,? ? 3 >? ? =1, ?6? ?3? ?3? ?3?1 <1,?2?1 <1. ?5?2 ?5?2 ? ? ? ? 1 因为 y=x2 为增函数. ?2?1 ?3?1 ?7?0 ?2?-1 所以? ?2 <? ?2 <? ? <? ? 3 . ?5? ?5? ?6? ?3? ?2?1 ?3?1 ?7?0 ?2?-1 答案 ? ?2 <? ?2 <? ? <? ? 3 ?5? ?5? ?6? ?3? 典例 题型三 幂函数的图像与性质 3 迁移 ? 1? 试画出 f(x)的图像并指出该函数 α 【例 3】 已知幂函数 f(x)=x 的图像过点 P?2, ?, ? 4? 的定义域与单调区间. 解 =x , -2 1 ? 1? 所以 f(2)=1, α α 因为 f(x)=x 的图像过点 P?2, ?, 即2 = , 得 α =-2, 即 f(x) 4 4 ? 4? f(x)的图像如图所示, 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 单调减区间为(0,+∞),单调增区间为(-∞,0). ? 1? ? 1?

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