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高中数学第二章函数5简单的幂函数(一)学案北师大版必修1


§5 简单的幂函数(一) 学习目标 1.理解幂函数的概念(重点); 2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方 法(重点); 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征, 能运用数形结合的方法处理幂函数 有关问题(重、难点). 预习教材 P49-50 完成下列问题: 知识点一 幂函数的定义 如果一个函数,底数 是自变量 x,指数 是常量 α ,即 y=x ,这样的函数称为幂函 数. 【预习评价】 1.任意一次函数和二次函数都是幂函数吗?若函数 y=mx 是幂函数,m 应满足什么条 件? 提示 并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数,只有其中的 y=x 和 y=x 是幂函 数.若 y=mx 是幂函数,则必有 m=1. 2.幂函数与指数函数有何区别? 提示 幂函数与指数函数不同点在于:幂函数形式为 y=x (α ∈R),其自变量 x 处于 底数位置,常数 α 处于指数位置;而指数函数形式为 y=a (a>0 且 a≠1),其自变量 x 处于 指数位置,常数 a 处于底数位置,且 a 须满足大于 0 而且不等于 1. 知识点二 简单的幂函数的图像和性质 幂函数 x α α 2 α α y=x y=x2 y=x3 1 y=x2 y=x-1 图像 定义域 R R R [0,+∞) (-∞, 0)∪(0, + ∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y∈R, 且 y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 1 x∈[0,+∞) 单调性 增 增 ,x∈(- 增 增 x∈(0, +∞)减 , x∈(-∞,0)减 ∞,0]减 定点 (1,1) 续表 【预习评价】 幂函数 y=x 在区间(0, +∞)上为增函数时, α 满足的条件是什么?在区间(0, +∞) 上为减函数时,α 满足的条件是什么? 提示 当 α >0 时,y=x 在(0,+∞)上为增函数; 当 α <0 时,y=x 在(0,+∞)上为减函数. α α α 题型一 幂函数的概念 【例 1】 (1)已知( 2,2)在幂函数 f(x)的图像上,求 f(2)的值; (2)已知函数 f(x)=(a -3a+3)x 减,求实数 a 的值. 解 (1)设 f(x)=x , α 2 a -5a+5 2 (a 为常数)为幂函数,且在(0,+∞)上单调递 ∵( 2,2)在 f(x)的图像上, ∴f( 2)=( 2) =2,∴α =2. 故 f(x)=x ,f(2)=2 =4. (2)∵f(x)为幂函数,∴a -3a+3=1, 得 a=1 或 a=2. 当 a=1 时,f(x)=x,在(0,+∞)上单调递增,不合题意. 当 a=2 时,f(x)=x ,在(0,+∞)上单调递减,符合题意. 综上,得 a 的值为 2. 规律方法 (1)幂函数的特点:系数为 1,底数为自变量,指数为常数.(2)当 α >0 时, 幂函数在第一象限内单调递增;当 α <0 时,幂函数在第一象限内单调递减. 【训练 1】 函数 f(x)=(m -m-1)x 函数,求 f(x)的解析式. 解 根据幂函数定义得, 2 -1 2 2 2 α m +m-3 2 是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)是增 m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1, 2 当 m=2 时,f(x)=x 在(0,+∞)上是增函数, 当 m=-1 时,f(x)=x 在(0,+∞)上是减函数,不合题意. ∴f(x)的解析式为 f(x)=x . 题型二 幂值大小的比较问题

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