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高中数学必修5教学案:第二章数列小结与复习


第二章

数列小结与复习(学案)

【知识归类】 一、等差数列 1. 定义及公式 (1) 等差数列的定义:若数列 ?an ? 满足 (2) 通项公式: an ? (3) 前 n 项和公式: S n ? . = . = d ,则称数列 ?an ? 为等差数列.

等差数列的通项公式与前 n 项和公式涉及到五个量,任知其三个,可求另外两个. 2.等差数列的判定:依据下列任一种方法都可以判定等差数列: (1) 定义: an?1 ? an = d . (2)等差中项: 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2) .
2

(3) 通项公式: (4) 前 n 项和公式: S n ? An ? Bn( A, B为常数) . an ? a1 ? (n ? 1)d . 3.等差数列的性质:设数列 ?an ? 为等差数列,首项 a1 ,公差为 d . (1) an ? am ? (n ? m)d或an ? am ? (n ? m)d ( m, n ? ? ) .
*

(2)若 m ? n ? r ? s, 则



若 m ? n ? 2r,则am ? an ? 2ar (m, n, r, s ? ?* ) . (3)在等差数列中,隔相同的项数抽取一项,构成的一个新数列 (4)设等差数列前 n 项和为 S n ,则 S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n (5)在等差数列 ?an ? 中,若项数为 2 n ,则 S偶 ? S奇 ? 若项数为 2n ? 1 ,则 ; . .

S奇 S偶

?



4.等差数列的设元技巧:三个数成等差数列可设成: a ? d , a, a ? d . 四个数成等差数列可设成: a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d . 5.等差数列的函数性质:等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,前 n 项和公式是 关于 n 的二次函数,可以据此解决等差数列的单调性以及前 n 项和的最值问题. 二、等比数列

1

请同学们仿照、类比对等差数列的归纳,自己对等比数列从定义及公式、等比数列的 判定、等比数列的性质、等比数列的设元技巧四个方面进行归纳. 三、数列的递推公式与数列求和 1.由数列的递推公式求数列的通项公式常用的方法有:累加法,累乘法,构造法,迭 代法等. 2.数列求和的常用方法有:公式法,拆项(分组)求和,倒序相加法,错位相减法, 裂项相消法等. 【题型归类】 题型一:等差、等比数列的判定 例 1 已知数列{ an }的前 n 项和为 S n , S n ? (1)求 a1 , a 2 ;

1 (a n ? 1)( n ? ? ? ) . 3

(2)求证:数列{ an }是等比数列.

变式练习:

已知 S n 是等比数列 { an } 的前 n 项和, S3 , S9 , S 6 成等差数列,求证:

a2 , a8 , a5 成等差数列.

题型二:等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用 例 2 (2009 全国卷Ⅱ文)已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }

前 n 项和 S n

变式练习: (2009 辽宁卷文)等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差 数列. (1)求{ an }的公比 q ; (2)求 a1 - a3 =3,求 S n .

题型三:等差、等比数列的性质的应用

2

例3

( 2009 广 东 卷 理 ) 已 知 等 比 数 列 {an } 满 足 an ? 0 ,n ? 1, 2 ? , ,且 ) .

n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? a5 ? a2n? 5 ?22n ( n ? 3 ,则当 ) (
A. n(2n ? 1) B. (n ? 1) 2 C. n
2

D. (n ? 1)2 .

变式练习:在等差数列{ an }中,若 a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 8 ,则 S 21 ? 题型四:数列的递推公式与数列求和 例4 已知数列 ?an ? 满足a1 ? 0, an?1 ? an ? 2n, 则a2003 ? ( ) .

( A)   2002? 2001
1 a

2 ( B)   2 0 0 ?2 3 0 0 2 (C)2 0 0 2 0 0 ?2 30 0 4 3 ( D)  

, ? 4, 2 ? 7, 3 ? 10, ?, n ?1 ? (3n ? 2) 的前 n 项和. 例5 求数列 1 ? 1 a

1 a

1 a

1

【思想方法】 1.数学思想:本章用到的数学思想有:分类讨论的思想、函数与方程的思想、转化与 化归的思想. 2.数学方法:本章涉及到的数学方法有:求通项时用到定义法、累加法、累积法、构造 法、迭代法等;解决数列求和问题时用到公式法、错位相减法、 倒序相加法、分组转化法等.

1. (2009 年广东卷)已知等比数列 {an } 的公比为正数, 且 a3 ·a9 =2 a5 ,a2 =1, 则 a1 = ( ) . (A)

2

1 2

(B)

2 2

(C)

2

(D)2

2. (2009 湖南卷)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等 于( ). (A)13 (B)35 (C)49 (D) 63

3.(2009 安徽卷)已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 , 则 a 20 =( ).

( A) ? 1

( B)1

(C )3

( D)7
3

4. (09 福建)等差数列 {an } 中, S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于( (A)1 (B)

) .

5 3

(C)-2

(D) 3

5. (2009 四川卷)等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比 中项,则数列的前 10 项之和是( (A) 90 (B) 100 ) . (C) 145 (D) 190 .

6.已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 30, a3 ? a4 ? 60, 则a11 ? a12 ? 7.将全体正整数排成一个三角形数阵:

1 2 4 7 8 5 9 3 6 10

????????
按照以上排列的规律,第 n 行 (n ? 3) 从左向右的第 3 个数为 8.已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 n ,求 an .

9.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? ?2n ? 11,如果 bn ? an (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的 前 n 项和
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10. 已知等比数列 {an } 中, a2 ? 2, a5 ? 128 .若 bn ? log2 an ,数列 {bn } 前 n 项的和为

Sn .

(1)若 Sn ? 35 ,求 n 的值; (2)求不等式 S n ? bn 的解集.

4

第二章

数列小结与复习(教案)

【知识归类】 一、等差数列 2. 定义及公式 (4) 等差数列的定义:若数列 ?an ? 满足 an?1 ? an = d ,则称数列 ?an ? 为等差数列. (5) 通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d . (6) 前 n 项和公式: S n ?

n( a1 ? a n ) n(n ? 1) d = na1 ? 2 2



等差数列的通项公式与前 n 项和公式涉及到五个量,任知其三个,可求另外两个. 2.等差数列的判定 依据下列任一种方法都可以判定等差数列: (2) 定义: an?1 ? an = d . (2)等差中项: 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2) .

(3)通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d . (4)前 n 项和公式: S n ? An ? Bn( A, B为常数) .
2

3.等差数列的性质 设数列 ?an ? 为等差数列,首项 a1 ,公差为 d . (1) an ? am ? (n ? m)d或an ? am ? (n ? m)d ( m, n ? ? ) .
*

(2)若 m ? n ? r ? s, 则 am ? an ? ar ? as . 若 m ? n ? 2r,则am ? an ? 2ar (m, n, r, s ? ?* ) . (3)在等差数列中,隔相同的项数抽取一项,构成的一个新数列仍然是等差数列. (4)设等差数列前 n 项和为 S n ,则 S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n 也成等差数列. (5)在等差数列 ?an ? 中,若项数为 2 n ,则 S偶 ? S奇 ? nd ; 若项数为 2n ? 1 ,则 4.等差数列的设元技巧 三个数成等差数列可设成: a ? d , a, a ? d .
5

S奇 S偶

?

n ?1 . n

四个数成等差数列可设成: a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d . 5.等差数列的函数性质 等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,前 n 项和公式是关于 n 的二次函数,可以据 此解决等差数列的单调性以及前 n 项和的最值问题. 二、等比数列 1.定义及公式 (1) 等比数列的定义: 若数列 ?an ? 满足 (2)通项公式: an ? a1q n?1 .

a n ?1 = q( q ? 0 ) , 则称数列 ?an ? 为等比数列. an

a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (3)前 n 项和公式: S n ? = 1? q 1? q
当q ?1 时,S n ? na1 .

(q ? 1) ;

等比数列的通项公式与前 n 项和公式涉及到五个量,任知其三个,可求另外两个. 2.等比数列的判定 依据下列任一种方法都可以判定等比数列: (1)定义:

a n ?1 =q . an
n

(2)等比中项: an ? an?1an?1 (n ? 2) .

2

(3)通项公式: an ? Aq (q ? 0) . (4)前 n 项和公式: S n ? Aq ? A( A ? 0, q ? 0且q ? 1) .
n

3.等比数列的性质 设数列 ?an ? 为等比数列,首项 a1 ,公比为 q . (1)

an ? q n?m或an ? am q n?m (m, n ? ? * ) . am

(2)若 m ? n ? r ? s, 则 am an ? ar a s ; 若 m ? n ? 2r,则am an ? ar (m, n, r, s ? ?* ) . (3)在等比数列中,隔相同的项数抽取一项,构成的一个新数列仍然是等比数列. (4)设等比数列前 n 项和为 S n ,则 S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n ,? 也成等比数列. 4.等比数列的设元技巧 三个数成等比数列可设成:
2

a , a, aq . q

6

四个正数数成比差数列可设成:

a a , , aq, aq3 . q3 q

三、数列的递推公式与数列求和 1.由数列的递推公式求数列的通项公式常用的方法有:累加法,累乘法,构造法,迭 代法等. 2.数列求和的常用方法有:公式法,拆项(分组)求和,倒序相加法,错位相减法, 裂项相消法等. 【题型归类】 题型一:等差、等比数列的判定 例 1 已知数列{ an }的前 n 项和为 S n , S n ? (1)求 a1 , a 2 ;

1 (a n ? 1)( n ? ? ? ) . 3

(2)求证:数列{ an }是等比数列.

【审题要津】 (1) 题将 S1 ? a1 , S 2 ? a1 ? a2 先后代入已知条件就可以分别求出 a1 , a 2 ; (2)题运用 an ? S n ? S n?1 即可消掉 S n ,从而得到 an 与an?1 之间的关系. 解: (1) S1 ? 又

1 ( a1 ? 1) , 3


?  a1 ? ?

1 2 ?  a 2 ? 1 . 4

1 S 2 ? (a 2 ? 1) , 3 (2)当 n ? 1 时,有

1 a1 ? a 2 ? (a 2 ? 1) 3

1 1 1 a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 1) ? (a n ?1 ? 1) ? (a n ? a n ?1 ) , 3 3 3


2 1 a n ? ? a n ?1 3 3

所以

an 1 ?? , a n ?1 2

所以 数列{ an }是等比数列. 【方法总结】本题给出数列的方式也是递推公式的一种.此类题运用 an ? S n ? S n?1 既 可消掉 S n ,得到 an 与an?1 之间的关系,也可消掉 an ,得到 S n 与S n?1 之间的关系.本例在证 明等比数列中根据的是定义,还可以根据等比中项等方法,这要由题目的条件而定. 变式练习: 已知 S n 是等比数列{ an }的前 n 项和, 求证: S3 , S9 , S6 成等差数列, a2 , a8 , a5 成等差数列. 解:设公比为 q ,当 q ? 1 时, 2S9 ? 18a1   , 而S3 ? S6 ? 9a1 ,    2S9 ? S3 ? S5 .

S3 , S9 , S6 不成等差数列.所以, q ? 1 .
由题设知

2S 9 ? S 3 ? S 6 ,

7



2

a1 (1 ? q 9 ) a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) , ? ? 1? q 1? q 1? q



2(1 ? q 3 ? q 6 ) ? 2 ? q 3
因为 因为

q?0

所以

q3 ? ?
1 a2 , 2

1 2
而 a 2 ? a 5 ? a 2 (1 ? q ) ?
3

2a8 ? 2a 2 q 6 ?

1 a2 , 2

所以 2a8 ? a2 ? a5 , 所以, a2 , a8 , a5 成等差数列. 题型二:等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用 例 2 (2009 全国卷Ⅱ)已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 S n . 【审题要津】求{ an }的前 n 项和 S n 就要先求首项 a1 与公差 d ,这只要由已知条件利用 通项公式列出方程组即可解得. 解:设 ?an ? 的公差为 d ,则
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

? ?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0

?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 即? ?a1 ? ?4d
解得 ?

?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 或? ?d ? 2, ?d ? ?2

因此 Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9?



【方法总结】本题训练了等差数列的通项公式与前 n 项和公式,同时要注意方程的思想 方法在解决数列问题中的应用. 变式练习: (2009 辽宁卷)等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数 列. (1)求{ an }的公比 q ; (2)求 a1 - a3 =3,求 S n . 解: (Ⅰ)依题意有 a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q )
2

8

由于 a1 ? 0 ,故 又 q ? 0 ,从而 q ? -

2q 2 ? q ? 0

1 . 2 1 2 ( (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a 故 a1 ? 4 1 ? ) ? 3, 2 1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? ( 1? (? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2
题型三:等差、等比数列的性质的应用 例3( 2009 广 东 卷 ) 已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,?,且 a5 ? a2n?5 ? 2 2n

(n ? 3) ,则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ?
A. n(2n ? 1) B. (n ? 1) 2 C. n
2



C

) . D. (n ? 1)2

2 解: 由 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an 则 an ? 2 n , log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ? an ? 0 , ? 2 2n ,

log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.
【方法总结】 利用性质将等比数列的一些项的积转化为一项或两项的积的幂, 然后由已 知条件求出,等差数列中可以类比此方法. 变式练习:在等差数列{ an }中,若 a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 8 ,则 S 21 ? 解: a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? (a1 ? 2d ) ? (a1 ? 8d ) ? (a1 ? 14d ) ? (a1 ? 16d ) 42 .

? 4a1 ? 40d ? 8 ,
所以

a1 ? 10d ? 2

即 a11 ? 2



S 21 ?

21(a1 ? a 21 ) ? 21a11 ? 42 . 2

题型四:数列的递推公式与数列求和 例4 已知数列 ?an ? 满足a1 ? 0, an?1 ? an ? 2n, 则a2003 ? ( B ) .

( A)   2002? 2001

2 ( B)   2 0 0 ?2 3 0 0 2 (C)2 0 0 2 0 0 ?2 30 0 4 3 ( D)  

【审题要津】本题由各选择支可以想到结果应该有一定的规律可循,因此,可由题设中 的递推公式求出前几项后,寻找规律,猜想可得. 解: a1 ? 0 ? 0 ? 1 ,

a2 ? a1 ? 2 ? 2 ? 1? 2 ,

a3 ? a2 ? 2 ? 2 ? 6 ? 2 ? 3 ,

a4 ? a3 ? 2 ? 3 ? 12 ? 3 ? 4 ,故猜想 a2003 ? 2002? 2003,因此,选B
9

【方法总结】用递推数列给出数列时,可以先求出数列前几项,寻找规律,猜想出通项公 式, 当然也可以用累加法,累乘法,构造法,迭代法等.本题就还可以再利用累加法解决.

, ? 4, 2 ? 7, 3 ? 10, ?, n ?1 ? (3n ? 2) 的前 n 项和. 例5 求数列 1 ? 1 a
1, 【审题要津】 由于 1,4,7,10, ?,3n ? 2成等差数列,
所以,可以用分组求和的方法(也叫拆项求和) . 解: S n ? [1 ? 4 ? 7 ? 10 ? ? ? (3n ? 2)] ? (1 ?

1 a

1 a

1 a

1

1 1 1 1 , 2 , 3 ,?, n ?1 成等比数列 , a a a a

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) . a a a a

3n 2 ? n 当 a ? 1时, S n ? ; 2
当 a ? 1时, S n ?

1?

1 n 2 a ? n(3n ? 1) ? a ? 1 ? 3n ? n . a 1 2 2 a n?1 (a ? 1) 1? a
n ?1

1

?

所以

? 3n 2 ? n (a ? 1 ) , ? ? 2 Sn ? ? an ?1 3n 2 ? n ? n ?1 ? (a ? 1). ? 2 ? a (a ? 1)

【方法总结】数列求和要根据数列通项公式的特征选择方法. 【思想方法】 1.数学思想:本章用到的数学思想有:分类讨论的思想、函数与方程的思想、转化与 化归的思想. 2.数学方法:本章涉及到的数学方法有:求通项时用到定义法、累加法、累积法、构造 法、迭代法等;解决数列求和问题时用到公式法、错位相减法、 倒序相加法、分组转化法等.

1. (2009 年广东卷)已知等比数列 {an } 的公比为正数, 且 a3 ·a9 =2 a5 ,a2 =1, 则 a1 = ( B (A) ) .

2

1 2

(B)

2 2

(C)
2

2
8

(D)2

【解析】 设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q 公比为正数,所以 q ?

?

4 2

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数列 {an } 的

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2

2. (2009 湖南卷)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等 于( C ).
10

(A)13 解: S7 ? 或由 ?

(B)35

(C)49

(D) 63

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 2 2 2

? a2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 ?? 1 , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ? a6 ? a1 ? 5d ? 11 ? d ? 2

所以 S7 ?

7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) ? ? 49. 故选 C. 2 2

3.(2009 安徽卷)已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 , 则 a 20 =( B ).

( A) ? 1

( B)1

(C )3

( D)7

解: ∵ a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 , ∴ a3 ? 35 . 同理可得 a4 ? 33 ∴公差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B. 4. (09 福建)等差数列 {an } 中, S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于(C) . (A)1 解:∵ S3 ? 6 ? (B)

5 3

(C)-2

(D) 3

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d , a1 ? 4. ? d ? ?2 .故选 C 2

w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

5. (2009 四川卷)等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比 中项,则数列的前 10 项之和是( B ) . (A) 90 (B) 100 (C) 145
2

(D) 190

解:设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100 6.已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 30, a3 ? a4 ? 60, 则a11 ? a12 ? 7.将全体正整数排成一个三角形数阵: 960 .

1 2 4 7 8 5 9 3 6 10

????????
按照以上排列的规律,第 n 行 (n ? 3) 从左向右的第 3 个数为 解:本题训练归纳推理和等差数列求和公式.前 n ? 1 行共用了 1 ? 2 ? 3 ?? (n ? 1) =

(n ? 1) n (n ? 1)n ? 3 个, 个数, 因此第 n 行 (n ? 3) 从左向右的第 3 个数是全体正整数中的第 2 2
11

即为

n2 ? n ? 6 . 2

8.已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 n ,求 an . 解: Sn ? 3 ? 2n , Sn?1 ? 3 ? 2n?1, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 (n ? 2) 而 a1 ? S1 ? 5 , ∴ an ? ?

?5, (n ? 1)
n ?1 ?2 , (n ? 2)

9.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? ?2n ? 11,如果 bn ? an (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的 前 n 项和
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解: bn ? an ? ?

?11 ? 2n, n ? 5 n 2 ,当 n ? 5 时, S n ? (9 ? 11 ? 2n) ? 10n ? n 2 ?2n ? 11, n ? 6
n?5 (1 ? 2n ? 11) ? n 2 ? 10n ? 50 2

当 n ? 6 时, S n ? S5 ? S n ?5 ? 25 ? ∴ Sn ? ?
2 ? ?? n ? 10n, (n ? 5) 2 ? ?n ? 10n ? 50, (n ? 6)

10. 已知等比数列 {an } 中, a2 ? 2, a5 ? 128 .若 bn ? log2 an ,数列 {bn } 前 n 项的和为

Sn .

(1)若 Sn ? 35 ,求 n 的值; (2)求不等式 S n ? bn 的解集. 解: (1)? a2 ? a1q ? 2, a5 ? a1q4 ? 128 得 q ? 64
3

? q ? 4, a1 ?

1 2

1 n ?1 ? 4 ? 2 2 n ?3 2 ?bn ? log2 an ? log2 22n?3 ? 2n ? 3 ? an ? a1q n ?1 ?

?bn?1 ? bn ? [2(n ? 1) ? 3] ? (2n ? 3) ? 2 ?{bn } 是以 b1 ? ?1 为首项,2为公差的等差数列. (?1 ? 2n ? 3)n ? Sn ? ? 35, n 2 ? 2n ? 35 ? 0 2 (n ? 7)(n ? 5) ? 0即n ? 7 (2)? Sn ? bn ? n2 ? 2n ? (2n ? 3) ? n2 ? 4n ? 3 ? 0
?n ? N? ?3 ? 3 ? n ? 3 ? 3 ? n ? 2 , 3 , 4 即,所求不等式的解集为 {2 , 3, 4}

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