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立体几何的综合试卷(1)

立体几何的综合试卷(1)
一.解答题(共 30 小题) 1.某几何体的直观图与三视图如下,其中主视图、俯视图都是直角三角形,左视图是等边三角形. (Ⅰ )证明:AB⊥ CD; (Ⅱ )求该几何体的体积.

2.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥ 平面 ABCD,AB=BC,BD⊥ AC,E 为 PC 的中点. (Ⅰ )求证:AC⊥ PB; (Ⅱ )求证:PA∥ 平面 BDE.

3.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点. (Ⅰ )证明:AC1∥ 平面 BDE; (Ⅱ )证明:AC1⊥ BD.

4.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,AB=2AD=2,BD= (1)证明:AD⊥ BD; (2)若二面角 P﹣BC﹣D 为 ,求 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值.

,PD⊥ 底面 ABCD

5. (2013?辽宁一模)如图,直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是直角梯形, ∠ BAD=∠ ADC=90°AB=2AD=2CD=2. (1)求证:AC⊥ 平面 BB1C1C; (2)在 A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行?证明你的结论.

6. (2012?威海一模)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 是棱 BB1 的中点,N 是 CC1 的中点,AC1 与 A1N 相交于点 E. (I)求三棱锥 A﹣MNA1 的体积; (II)求证:AC1⊥ A1M.

,M

7. (2011?郑州三模) 如图, 已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形, ∠ ABC=∠ BCD=90°, AB=BC=2CD=2, PB=PC, 侧面 PBC⊥ 底面 ABCD,O 是 BC 的中点. (1)求证:DC∥ 平面 PAB; (2)求证:PO⊥ 平面 ABCD; (3)求证:PA⊥ BD.

8. (2011?许昌一模)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (1)求证:AC⊥ BC1; (2)求证:AC1∥ 平面 CDB1; (3)求三棱锥 C1﹣CDB1 的体积.

9.如图所示,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC 的中点,平面 PAD∩ 平面 PBC=l. (1)求证:l∥ BC. (2)MN 与平面 PAD 是否平行?试证明你的结论.

10.如图,已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面积是菱形,AC 交 BD 于 O,PO⊥ 平面 ABC,E 为 AD 中点,F 在 PA 上, AP=λAF,PC∥ 平面 BEF. (1)求 λ 的值; (2)若 AB=2,∠ ADB=∠ BPC=60°,求三棱锥 A﹣EFB 的体积.

11.空间四边形 ABCD 的对棱 AD,BC 成 60°的角,且 AD=BC=a,平行于 AD 与 BC 的截面分别交 AB,AC,CD, BD 于 E、F、G、H. (1)求证:四边形 EFGH 为平行四边形; (2)E 在 AB 的何处时截面 EFGH 的面积最大?最大面积是多少?

12.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD⊥ 底面 ABCD,SD=AD,DF⊥ SB 垂足为 F,E 是 SD 的中点. (Ⅰ )证明:SA∥ 平面 BDE; (Ⅱ )证明:平面 SBD⊥ 平面 DEF.

13. (2013?海淀区二模) 如图 1, 在直角梯形 ABCD 中, AD∥ BC, ∠ ADC=90°, BA=BC 把△ BAC 沿 AC 折起到△ PAC 的位置,使得点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上,如图 2 所示,点 E,F 分别为线段 PC,CD 的 中点. (I) 求证:平面 OEF∥ 平面 APD; (II)求直线 CD⊥ 与平面 POF (III)在棱 PC 上是否存在一点 M,使得 M 到点 P,O,C,F 四点的距离相等?请说明理由.

14. (2011?济南一模)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N、P 分别为所在边的中点,O 为面对角线 A1C1 的中点. (1)求证:面 MNP∥ 面 A1C1B; (2)求证:MO⊥ A1C1.

15. (2010?沈阳二模)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BB1 和 DD1 的中点. (1)求证:平面 B1FC1∥ 平面 ADE; (2)试在棱 DC 上取一点 M,使 D1M⊥ 平面 ADE; (3)设正方体的棱长为 1,求四面体 A1﹣FEA 的体积.

16. (2011?海淀区二模)已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都相等,且 D,E,F 分别为 BC,BB1,AA1 的 中点. (I) 求证:平面 B1FC∥ 平面 EAD; (II)求证:BC1⊥ 平面 EAD.

17.如图,已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形,E 为线段 AD1 的中点,F 为线段 BD1 的中点. (1)求证:EF∥ 平面 ABCD; (2)设 M 为线段 C1C 的中点,当 并说明理由. 的比值为多少时,DF⊥ 平面 D1MB,

18.如图(甲) ,在直角梯形 ABED 中,AB∥ DE,AB⊥ BE,AB⊥ CD,且 BC=CD,AB=2,F、H、G 分别为 AC, AD,DE 的中点,现将△ ACD 沿 CD 折起,使平面 ACD⊥ 平面 CBED,如图(乙) . (1)求证:平面 FHG∥ 平面 ABE; (2)记 BC=x,V(x)表示三棱锥 B﹣ACE 的体积,求 V(x)的最大值; (3)当 V(x)取得最大值时,求二面角 D﹣AB﹣C 的余弦值.Pn(xn,yn)

19.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,问: 当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥ 平面 PAO?

20.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、G 为棱 AD、AB、A1A 的中点. (1)求证:平面 EFG∥ 平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥ 平面 CB1D1; (3)求异面直线 FG、B1C 所成的角.

21.如图,△ ABC 是正三角形,EA 和 DC 都垂直于平面 ABC 且 EA=AB=2a,DC=a,F,G,H 分别是 EB,AB 和 BC 的中点.求证: (1)FG∥ 平面 AEDC; (2)平面 AEDC∥ 平面 FGH (3)FD∥ 平面 ABC.

22.如图,已知在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥ 平面 ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F 分别是 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥ 平面 PEC; (2)设 CD 的中点为 H,求证:平面 EFH∥ 平面 PBC; (3)求 AC 与平面 PCD 所成的角的正弦值.

23.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥ BC,BC⊥ BC1,AB=BC1,E,F 分别为线段 AC1,A1C1 的中点. (1)求证:EF∥ 面 BCC1B1; (2)求证:BE⊥ 面 AB1C1; (3)在线段 BC1 上是否存在一点 G,使平面 EFG∥ 平面 ABB1A1,证明你的结论.

24. (2010?广东模拟)已知四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如图所示,其中主视图、侧视图是直角三角形,俯视图是有 一条对角线的正方形.E 是侧棱 PC 上的动点. (1)求证:BD⊥ AE; (2)若 E 是 PC 的中点,且五点 A,B,C,D,E 在同一球面上,求该球的表面积.

25.A、B、C 是半径为 1 的球面上三点,B、C 间的球面距离为 球心为 O,求: (1)∠ AOB,∠ BOC 的大小; (2)球心到截面 ABC 的距离; (3)球的内接正方体的表面积与球面积之比.

,点 A 与 B、C 两点间的球面距离均为

,且

26. (2012?广州一模)如图,在四面体 PABC 中,PA=PB,CA=CB,D、E、F、G 分别是 PA、AC、CB、BP 的中 点. (1)求证:D、E、F、G 四点共面; (2)求证:PC⊥ AB; (3)若△ ABC 和△ PAB 都是等腰直角三角形,且 AB=2, ,求四面体 PABC 的体积.

27.将两块三角板按图甲方式拼好,其中∠ B=∠ D=90°,∠ ACD=30°,∠ ACB=45°,AC=2,现将三角板 ACD 沿 AC 折 起,使 D 在平面 ABC 上的射影 O 恰好在 AB 上,如图乙. (I)求证:BC⊥ AD; (II)求证:O 为线段 AB 中点; (III)求二面角 D﹣AC﹣B 的大小的正弦值.

28. (2013?辽宁)如图,AB 是圆 O 的直径,PA⊥ 圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点. (1)求证:BC⊥ 平面 PAC; (2)若 Q 为 PA 的中点,G 为△ AOC 的重心,求证:QG∥ 平面 PBC.

29. (2013?北京)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥ CD,AB⊥ AD,CD=2AB,平面 PAD⊥ 底面 ABCD,PA⊥ AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (Ⅰ )PA⊥ 底面 ABCD; (Ⅱ )BE∥ 平面 PAD; (Ⅲ )平面 BEF⊥ 平面 PCD.

30. (2013?安徽)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ BAD=60°,已知 PB=PD=2,PA= (Ⅰ )证明:PC⊥ BD (Ⅱ )若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 P﹣BCE 的体积.




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