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导数大题3


1.(2015?永州二模)已知 f ( x) ?

?x ? ax . 2 ? ln x

(1)若函数 f ( x ) 在 ( , ??) 上是增函数,求实数 a 的最小值;
2 (2)若 ?x1 , x2 ? ? ?1, e ? ? ,使

1 e

f ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.
ax (a ? R) . x ?1

2.(2015?临川区校级模拟)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (3)求证: ln(n ? 1) ?

1 ?1 2 ?1 3 ?1 n ?1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 (n ? N ? ) 2 1 2 3 n

3.(2015?河南二模)已知 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,满足 f ( x) ? 0 ,

f ' ( x) 为其导函数,

f ' ( x) ? ?1 . f ( x)
(1)讨论函数 F ( x) ? e
x

f ( x) 的单调性;
1 1 f ( ) 的大小. x x

(2)设 0 ? x ? 1 ,比较函数 xf ( x) 与

4.(2015?佛山一模)设函数 自然对数的底数).

f ( x) ?

ex ' 的导函数为 f ( x) ( a 为常数, e ? 2.71828? 是 x?a

(1) 讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2) 求实数 a ,使曲线 y ? f ( x) 在点 (a ? 2, f (a ? 2)) 处的切线斜率为

?

a3 ? 6a 2 ? 12a ? 7 ; 4

f ' ( x) ? k x ? a ? 1 恒成立,求实数 k 的取值范围. (3) 当 x ? a 时,若不等式 f ( x)
5.(2015?高安市校级一模)设函数

f ( x) ? e2 x ? 4aex ? 2ax, g ( x) ? x2 ? 5a 2 ,(a ? R)

(1)若 f ( x ) 在 R 上单调递增,求 a 的取值范围;

(2)记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求证: F ( x) ?

4(1 ? ln 2) 2 . 5

6.(2015?洛阳一模)已知函数

4 4 ? x2 f ( x) ? (k ? ) ln x ? ,其中常数 k ? 0 . k x

(1)讨论 f ( x ) 在 (0, 2) 上的单调性; (2)若 k ?

?4, ??? ,曲线 y ?

f ( x) 上总存在相异两点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 使得曲线

y ? f ( x) 在 M , N 两点处切线互相平行,求 x1 ? x2 的取值范围.
7.(2015?湖北模拟)设

f ( x) ? e x ? a( x ? 1) ( e 是自然对数的底数, e ? 2.71828? ),且

f ' (0) ? 0 .
(1)求实数 a 的值,并求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,对任意 x1 , x2 ? R( x1 求实数 m 的取值范围. 8.(2015?江西二模)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对任意的 x ?

? x2 ) ,恒有

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? m 成立, x2 ? x1

1 3 1 x ? a ln x ? (a ? R, a ? 0) . 3 3

?1, ??? ,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.
3 2 ) ? , g ( x) ? ln x 2 x

9.(2015?衡阳县校级三模)已知函数 f ( x) ? ln( x ? (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)如果关于 x 的方程 g ( x) ? 10.(2015?江门一模)设函数

1 x ? m 有实数根,求实数 m 的取值集合. 2

f ( x) ? ex (ln x ? a) , e 是自然对数的底数, e ? 2.71828? ,

a ? R 为常数.
(1)若 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线 l 的斜率为 2e ,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,证明切线 l 与曲线 y ? f ( x) 在区间 (0, ) 至少有 1 个公共点; (3)若

1 2

?ln 2,ln3? 是 y ?

f ( x) 的一个单调区间,求 a 的取值范围.

11.(2015?湖南一模)设函数

f ( x) ?

ln( x 2 ? 2 x ? 2) 1 ? . x 4

(1)判断函数 f ( x ) 在区间 (0, 2) 上的单调性;

(2)若函数 f ( x ) 在 (0, 2) 上有两个零点 x1 , x2 ,求证: f ( 12.(2015?茂名一模)设函数 (1)若函数 f ( x ) 在

x1 ? x2 ) ? 0. 2

f ( x) ? ln x ? x2 ? ax .

? 0,1? 上单调递增,试求 a 的取值范围;
f ( x0 )) ( x0 为非零常数)处的切线为 l ,证明:函数 f ( x) 图象

(2)设函数 f ( x ) 在点 C ( x0 , 上的点都不在直线 l 的上方.

13.(2015?洛阳一模)已知函数

f ( x) ? ln(1 ? x)m ? x

(1)若函数 f ( x ) 为 (0, ??) 上的单调函数,求实数 m 的取值范围; (2)求证: (1 ? sin1)(1 ? sin

1 1 1 )(1 ? sin 2 )? (1 ? sin 2 ) ? e2 . 2 2 3 n

14.(2015?四川模拟)已知函数 (1)求 f ( x ) 的单调区间;

f ( x) ? ln x ? ax2 ,

(2)已知存在正数 ? , ? 满足 ? ? ? , f (? ) ? f ( ? ) . ①若 ? , ? 都属于区间

?1,3? ,且 ? ? ? ? 1,求实数 a 的取值范围.

②求证: ?

?? ?

2 . a

15.(2015?四川模拟)已知函数 (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ?

f ( x) ? ln x ? ax2 .

1 3 时,证明:存在 x0 ?? 2, ??? ,使 f ( x0 ) ? f ( ) ; 8 2

(3)若存在属于区间

?1,3? 的 ? , ? ,且 ? ? ? ? 1,使 f (? ) ? f (? ) ,求实数 a 的取值范围.
ln( x ? a) . x

16.(2015?佛山一模)已知函数 f ( x) ?

(1)若 a ? ?1 ,证明:函数 f ( x ) 是 (0, ??) 上的减函数; (2)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? y ? 0 平行,求 a 的值;

ln( x ? 1) x ? x (其中 e ? 2.71828? 是自然对数的底数). x e ?1 ln x 1 , g ( x) ? 1 ? . 17.(2015?永州二模)已知函数 f ( x) ? x x
(3)若 x ? 0 ,证明:

(1)令 F ( x) ?

xg ( x) ? xf ( x) ,求函数 F ( x) 的最小值;
?

(2)若 x ? 1 且 x ? N ,试证明 f (2 ? 1) ? f (3 ? 2) ? ? ? f ( x( x ? 1)) ? x ? 18.(2015?郴州二模)已知函数 (1)求函数 f ( x ) 的单调区间;

1 . x ?1

f ( x) ? ex ? ax ?1(a ? R) .

(2)函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 在定义域内是否存在零点?若存在,请指出有几个零点;若不 存在,请说明理由: (3)若 g ( x) ? ln(e 取值范围. 19.(2015?梧州一模)已知函数 f ( x) ? ax ?
x

?1) ? ln x ,当 x ? (0, ??) 时,不等式 f ( g ( x)) ? f ( x) 恒成立,求 a 的
ln x ?b. x

(1)若 f ( x ) 在定义域上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? ? 围. 20.(2015?荆门模拟)设函数 f ( x) ? (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)若存在 x1 , x2 ? ? ?

1 3 时,对任意 x ? (0, ??) , b ? ( ? , 0) , xf ( x) ? c ? 0 恒成立,求 c 的取值范 2 2 a ? ln x, g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 . x2

? 1 ? ,3 ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足条件的最大整数 M ; ? 3 ? ? ?1 ? , 2 ,都有 sf ( s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围. ?3 ? ?
a 2 x ? bx ? ln x ,其中 a, b ? R . 2

(3)如果对任意的 s, t ? ?

21.(2015?宿州一模)设函数 f ( x) ?

(1)设曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 3 ,求实数 a , b 的值; (2)当 a ? 0 时,讨论 f ( x ) 在其定义域上的单调性. 22.(2015?南关区校级三模)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)设 m, n 是正数,且 m ? n ,求证:

2a (a ? R) x

m?n m?n ? . ln m ? ln n 2

23.(2015?大观区校级四模)已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x(a ? R)

(1)若函数 f ( x ) 在区间

?e, ?? ? 上为增函数,求 a 的取值范围;
(a ? 1) x ,其中 a ? 0 x ?1

(2)当 a ? 1 且 k ? Z 时,不等式 k ( x ? 1) ? f ( x) 在 x ? (1, ??) 上恒成立,求 k 的最大值. 24.(2015?安徽一模)已知函数 f ( x ) ? a ln x ?

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)讨论 f ( x ) 在其定义域上的单调性. 25.(2015?安徽三模)设函数 f ( x) ? (3 ? 2a ) ln x ? (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ?

2 ? 3ax, a ? R x

3 1? ?2 时,对任意的正整数 n ,在区间 ? , 4 ? n ? ? 上总有 n ? 2 个数使得 2 n? ?3

f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (an ) ? f (an?1 ) ? f (an?2 ) 成立,试问:正整数 n 是否存在最大
值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由. 26.(2015?曾都区校级模拟)已知函数

f ( x) ? ln(1 ? ax2 ), a ? R 且 a ? 0 .

(1)当 a ? ?4 时,求 F ( x) ? f ( x) ? 2 x 的最大值; (2)求 f ( x ) 的单调区间;

1 2 3 n 1 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? ln 2 . 2 2 2 2 1 ?n 2 ?n 3 ?n n ?n 2 sin x ? (0 ? x ? ) 27.(2015?浦东新区一模)设函数 f ( x) ? x 2
(3)当 n ? N ,求证:
?
2

(1)设 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? y ?

?

2

,试比较 f ( x ? y ) 与 f ( x ) 的大小.

(2)现给出如下 3 个结论,请你分别指出其正确性,并说明理由. ①对任意 x ? ? 0,

? ?? 都有 cos x ? f ( x) ? 1 成立. ? 2? ?

②对任意 x ? (0,

?
3

) 都有 f ( x) ? 1 ?

x 2 x 4 x 6 x8 x10 ? ? ? ? 成立. 3! 5! 7! 9! 11!

③若关于 x 的不等式 f ( x) ? k 在 ? 0,

? ?

??

2 有解,则 k 的取值范围是 ( , ?? ) . ? ? 2? x , f ( x) ? g ( x) ? ax . ln x

28.(2015?青羊区校级模拟)已知函数 g ( x) ?

(1)求函数 g ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上是减函数,求实数 a 的最小值; (3)若函数 h( x) ? g ( x) ? bx 恰有两个零点,求实数 b 的取值范围.
2

29.(2015?湖北模拟)已知函数 (1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f ( x ) ? ? 围.

f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 ? x 在 x ? 0 处取得极值

5 x ? b 在区间 ?0, 2? 上有两个不同的实根,求实数 b 的取值范 2

30.(2015?安徽模拟)已知函数 f ( x) ? 1 ?

a 1 ? ln ( a 为实常数). x x

(1)当 a ? 1 时,求函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 的单调区间; (2)若函数 f ( x ) 在区间 (0, 2) 上无极值,求 a 的取值范围; (3)已知 n ? N 且 n ? 3 ,求证: ln
?

n ?1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? . 3 3 4 5 n


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