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全国通用2017年高考数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题六解析几何第一讲直线与圆课件理_图文

第二编 专题整合突破
专题六 解析几何

第一讲

直线与圆

主干知识整合

[必记公式] 1.直线方程的五种形式 (1)点斜式: y-y1=k(x-x1). (2)斜截式: y=kx+b . (3)两点式: (4)截距式:

y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1
x y a+b=1

(x1≠x2,y1≠y2).

(a≠0,b≠0).

(5)一般式:Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0).

2.圆的三种方程 (1)圆的标准方程:

(x-a)2+(y-b)2=r2

.

(2)圆的一般方程: x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). (3)圆的直径式方程: (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 (圆的直径的两端点是 A(x1,y1),B(x2,y2)).

[重要关系] 1.直线的两种位置关系 (1)当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时: ①两直线平行:l1∥l2?k1=k2. ②两直线垂直:l1⊥l2?k1· k2=-1. (2)当两直线方程分别为:l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x +B2y+C2=0 时: ①两直线平行 l1∥l2?A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C1≠0 或 B1C2-B2C1≠0. ②两直线垂直 l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.

2.判断直线与圆的位置关系的方法 (1) 代数方法 (判断直线与圆方程联立所得方程组的 解的情况):Δ>0?相交,Δ<0?相离,Δ=0?相切. (2) 几何方法 ( 比较圆心到直线的距离与半径的大 小):设圆心到直线的距离为 d,则 d<r?相交,d>r?相离, d=r?相切.(主要掌握几何方法) 3.两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关 系 设圆 O1 半径为 r1,圆 O2 半径为 r2.

圆心距与两圆半径的 关系 |O1O2|<|r1-r2| |O1O2|=|r1-r2| |r1-r2|<|O1O2|<|r1+r2| |O1O2|=|r1+r2| |O1O2|>|r1+r2|

两圆的位置关系 内含 内切 相交 外切 外离

[失分警示] 1.注意两平行线距离公式的应用条件 应用两平行线间距离公式时,两平行线方程中 x,y 的 系数应对应相等. 2.忽略直线斜率不存在的情况 在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在.

3.注意直线方程的限制条件 (1)应用点斜式、斜截式方程时,注意它们不包含垂直 于 x 轴的直线; (2)应用两点式方程时,注意它不包含与坐标轴垂直的 直线; (3)应用截距式方程时,注意它不包括与坐标轴垂直的 直线以及过原点的直线; (4)在处理直线与圆的位置关系时要充分利用圆的几何 性质.

热点考向探究

考点 典例示法 典例 1

直线方程与位置关系

(1)[2015· 广东高考]平行于直线 2x+y+1=0 )

且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是( A.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 D.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0

[解析]

设所求直线的方程为 2x+y+c=0(c≠1),则

|c| 5,故所求直线的方程为 2x+y+5 2 2= 5,所以 c=± 2 +1 =0 或 2x+y-5=0.

(2)[2015· 河南开封调研]设 A(-1,2),B(3,1),若直线 y =kx 与线段 AB 没有公共点,则 k 的取值范围是(
?1 ? ? A.(-∞,-2)∪?3,+∞? ? ? ? ? 1? ? B.?-∞,3? ?∪(2,+∞) ? ? ? 1? ? C.?-2,3? ? ? ? ?1 ? ? D.?3,2? ? ? ?

)

[解析] 如图所示,直线 y=kx 过定点 O(0,0),kOA=- 1 2,kOB=3. 若直线 y=kx 与线段 AB 没有公共点,则直线 OA 逆时 针旋转(斜率增大)到 OB 都是满足条件的直线.数形结合得
? 1? ? k∈?-2,3? ?.故选 ? ?

C.

1.求直线方程的常用方法 (1)直接法: 直接选用恰当的直线方程的形式, 写出结果; (2)待定系数法: 即先由直线满足的一个条件设出直线方 程,使方程中含有一待定系数,再由题给的另一条件求出待 定系数.

2.两条直线平行与垂直的判定 (1)若两条不重合的直线 l1,l2 的斜率 k1,k2 存在,则 l1 ∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1; (2)判定两直线平行与垂直的关系时,如果给出的直线 方程中存在字母系数, 不仅要考虑斜率存在的情况, 还要考 虑斜率不存在的情况.

提醒:(1)忽略直线斜率不存在的情况 在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在. (2)忽略检验致误 求解两条直线平行的问题时, 在利用 A1B2-A2B1=0 建 立方程求出参数的值后, 要注意代入检验, 排除两条直线重 合的可能性.

针对训练 1.[2016· 郑州质量预测]“a=1”是“直线 ax+y+1=0 与直线(a+2)x-3y-2=0 垂直”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析 直线 ax+y+1=0 与直线(a+2)x-3y-2=0 垂 直的充要条件为 a(a+2)-3=0,解得 a=1 或 a=-3.所以 选 B.

2. [2014· 四川高考]设 m∈R, 过定点 A 的动直线 x+my =0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y), 5 则|PA|· |PB|的最大值是________.

解析 易知 A(0,0),B(1,3),且 PA⊥PB, ∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10, |PA|2+|PB|2 ∴ |PA|· |PB|≤ = 5( 当 且 仅当 |PA| = |PB| 时 取 2 “=”).

考点 典例示法 题型 1 典例 2 方程是( ) 圆的方程

圆的方程

[2015· 北京高考]圆心为(1,1)且过原点的圆的

A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2

[解析] 因为圆心为(1,1)且过原点,所以该圆的半径 r = D. 12+12= 2,则该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,选

题型 2 典例 3

与圆有关的最值问题 [2016· 江苏盐城检测]已知点(x, y)在圆(x-2)2

+(y+3)2=1 上. (1)求 x+y 的最大值和最小值; y (2)求x的最大值和最小值.
[解] (1)解法一:设 t=x+y,则 y=-x+t,t 可视为 直线 y=-x+t 的纵截距, ∴x+y 的最大值和最小值就是直 线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线 与圆相切时的纵截距.

由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径, |2+?-3?-t| 即 = 1, 2 解得 t= 2-1 或 t=- 2-1. ∴x+y 的最大值为 2-1,最小值为- 2-1. 解法二:设 x=2+cosα,y=-3+sinα,则 x+y=sinα +cosα-1=
? π? ? 2sin?α+4? ?-1,所以 ? ?

x+y 的最大值为 2-1,

最小值为- 2-1.

y y (2)x可视为点(x,y)与原点连线的斜率,x的最大值和最 小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率的最大值和 最小值,即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为 y=kx, 由直线与圆相切得圆 心到直线的距离等于半径, |2k+3| 2 3 2 3 即 2 =1,解得 k=-2+ 3 或 k=-2- 3 . k +1 2 3 2 3 y ∴x的最大值为-2+ 3 ,最小值为-2- 3 .

1.求圆的方程的两种方法 (1)几何法:通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位 置关系,进而求得圆的基本量和方程. (2)代数法: 即用待定系数法先设出圆的方程, 再由条件 求得各系数. 提醒:确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

2.与圆有关的最值问题 处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质, 并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解,与圆有 关的最值问题,常见的有以下几种类型: y-b (1)形如 μ= 的最值问题, 可转化为动直线斜率的最 x-a 值问题; (2)形如 t=ax+by 的最值问题,可转化为动直线截距的 最值问题,也可用三角代换求解; (3)形如 m=(x-a)2+(y-b)2 的最值问题,可转化为动 点与定点的距离的平方的最值问题.

考点 典例示法 题型 1 典例 4

直线与圆、圆与圆的位置关系

圆的切线问题 [2014· 江西高考]在平面直角坐标系中,A,B )

分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( 4 A.5π C.(6-2 5)π 3 B.4π 5 D.4π

[解析] 由题意易知 AB 为直径的圆 C 过原点 O,圆 心 C 为 AB 的中点,设 D 为切点,要使圆 C 的面积最小, 只需圆的半径最短,也只需 OC+CD 最小,其最小值为 OE(过原点 O 作直线 2x+y-4=0 的垂线,垂足为 E)的长 4 度.由点到直线的距离公式得 OE= .∴圆 C 面积的最小 5 ? 2 ? 4 ? ?2 值为 π? ? =5π.故选 A. ? 5?

题型 2 典例 5

与圆有关的弦长问题 [2016· 太原一模]已知在圆 x2+y2-4x+2y=0 )

内, 过点 E(1,0)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD, 则四边 形 ABCD 的面积为( A.3 5 C.4 15
[ 解析 ]

B.6 5 D.2 15
将圆的方程化为标准方程得 (x - 2)2 + (y + 1)2

=5,圆心坐标为 F(2,-1),半径 r= 5,如图,显然过点 E 的最长弦为过点 E 的直径,即|AC|=2 5,而过点 E 的最 短弦为垂直于 EF 的弦,|EF|= ?2-1?2+?-1-0?2= 2,

1 |BD|=2 r -|EF| =2 3,∴S 四边形 ABCD=2|AC|· |BD|=2 15,
2 2

故选 D.

题型 3 典例 6

直线与圆位置关系的判断 [2016· 福建泉州四校联考]已知 m=(2cosα,

2sinα),n=(3cosβ,3sinβ),若 m 与 n 的夹角为 60° ,则直 1 1 2 2 线 xcosα-ysinα+2=0 与圆(x-cosβ) +(y+sinβ) =2的位 置关系是( A.相交 C.相切 ) B.相交且过圆心 D.相离

[解析]

m· n 由向量的夹角公式得 cos〈m,n〉= = |m||n|

1 cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=2,圆心(cosβ,-sinβ)到直 线的距离
? 1? ? ? cos β cos α + sin β sin α + ? 2? ? ? d= =1> 2 2

cos α+sin α

2 2,

∴直线与圆相离.

题型 4 典例 7 位置关系为( A.内切 C.外切

圆与圆位置关系的判断 圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的 ) B.相交 D.相离

[解析] 两圆心之间的距离为 d= ?-2-2?2+?0-1?2 = 17,两圆的半径分别为 r1=2,r2=3. 则 r2-r1=1<d<r1+r2=5,故两圆相交.

题型 5 典例 8

与圆有关的轨迹问题 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 P 在 x 轴

上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; 2 (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程.
[解] (1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题设 y2+2=r2,x2+3=r2. 从而 y2+2=x2+3. 故圆心 P 的轨迹方程为 y2-x2=1.

(2)设 P(x0,y0),由已知得 |x0-y0| 2 =2. 2 又 P 在双曲线 y2-x2=1 上,
?|x0-y0|=1, 从而得? 2 2 ?y0-x0=1. ?x0-y0=1, ?x0=0, 由? 2 2 得? ?y0-x0=1 ?y0=-1.

此时,圆 P 的半径 r= 3.
?x0-y0=-1, ?x0=0, 由? 2 2 得? ?y0-x0=1 ?y0=1.

此时,圆 P 的半径 r= 3. 故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3.

1.与圆有关的切线问题求解策略 (1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直, 圆 心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式, 所以求切 线方程时主要选择点斜式. (2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离, 利 用勾股定理处理.

2.判断直线与圆、圆与圆位置关系的方法 讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结 合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.研 究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径 的比较实现, 两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与 两半径差与和的比较.

3.弦长的求解方法 (1)根据平面几何知识构建直角三角形,把弦长用圆的 半径和圆心到直线的距离表示,l=2 r2-d2(其中 l 为弦长, r 为圆的半径,d 为圆心到直线的距离). (2)根据公式:l= 1+k2|x1-x2|求解(其中 l 为弦长,x1, x2 为直线与圆相交所得交点的横坐标,k 为直线的斜率). (3)求出交点坐标,用两点间距离公式求解.

高考随堂演练

[全国卷高考真题调研] 1.[2016· 全国卷Ⅱ]圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到 直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a=( 4 A.-3 C. 3 3 B.-4 D.2 )

解析

由已知可得圆的标准方程为 (x-1)2+(y-4)2=

4 ,故该圆的圆心为 (1,4) ,由点到直线的距离公式得 d = |a+4-1| 4 =1,解得 a=-3,故选 A. 2 a +1

2.[2015· 全国卷Ⅱ]过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7) 的圆交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|=( A.2 6 C.4 6 B.8 D.10 )

解析 设过 A,B,C 三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+ Ey+F=0,
?D+3E+F+10=0 ? 则?4D+2E+F+20=0 ? ?D-7E+F+50=0



解得 D=-2,E=4,F=-20,所求圆的方程为 x2+ y2-2x+4y-20=0,令 x=0,得 y2+4y-20=0,设 M(0, y1),N(0,y2),则 y1+y2=-4,y1y2=-20,所以|MN|=|y1 -y2|= ?y1+y2?2-4y1y2=4 6.故选 C.

x2 y2 3. [2015· 全国卷Ⅰ]一个圆经过椭圆16+ 4 =1 的三个顶 点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 ? 3? 25 ? ?2 2 ?x- ? +y = 2? 4 ? ________________.
解析 如图所示,

设圆心 M(a,0)(a>0), 则|MB2|=|A1M|=4-a. 在 Rt△MOB2 中, |OB2|2+|OM|2=|MB2|2, 即 4+a2=(4-a)2, 3 5 解得 a=2,4-a=2.
? 3? 25 ? ?2 2 故所求圆的标准方程为?x-2? +y = 4 . ? ?

4.[2014· 全国卷Ⅱ]设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上,存在点 N ,使得∠ OMN = 45° ,则 x0 的取值范围是 [-1,1] . ________

解析 解法一:当 x0=0 时,M(0,1),由圆的几何性质 得在圆上存在点 N(-1,0)或 N(1,0), 使∠OMN=45° .当 x0≠0 时,过 M 作圆的两条切线,切点为 A、B.

若在圆上存在 N,使得∠OMN=45° , 应有∠OMB≥∠OMN=45° , ∴∠AMB≥90° , ∴-1≤x0<0 或 0<x0≤1.综上,-1≤x0≤1. 解 法 二 : 过 O 作 OP ⊥ MN , P 为 垂 足 , OP = OM· sin45° ≤1 , 1 2 ∴OM≤sin45° ,∴OM2≤2,∴x2 + 1 ≤ 2 ,∴ x 0 0≤ 1 , ∴-1≤x0≤1.

[其它省市高考题借鉴] 5 . [2016· 四川高考 ] 设直线 l1 , l2 分别是函数 f(x) =
?-ln x,0<x<1 ? 图象上点 P1,P2 处的切线,l1 与 l2 垂直相 ?ln x,x>1

交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的 面积的取值范围是( A.(0,1) C.(0,+∞) ) B.(0,2) D.(1,+∞)

解析

不妨设 P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2),由于 l1⊥

1? 1 ? 1 1 ? ? l2,所以x ×?-x ?=-1,则 x1=x .又切线 l1:y-ln x1=x (x ? 2? 1 2 1 1 -x1),l2:y+ln x2=-x (x-x2),于是 A(0,ln x1-1), 2 B(0,1 + ln x1) , 所 以 |AB| = 2. 联 立
? ?y-ln x = 1 ?x-x ? 1 1 ? x1 ? 1 ? y+ln x2=-x ?x-x2? ? ? 2



1 2 解得 xP= 1 .所以 S△PAB=2×2×xP= 1 ,因为 x1+x x1+x 1 1 1 x1>1,所以 x1+x >2,所以 S△PAB 的取值范围是(0,1),故选 1 A.

2

6.[2015· 山东高考]一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1 相切,则反射光线所在直 线的斜率为( ) 3 2 B.-2或-3 4 3 D.-3或-4 5 3 A.-3或-5 5 4 C.-4或-5

解析 圆(x+3)2+(y-2)2=1 的圆心为 C(-3,2),半径 r=1.如图,作出点 A(-2,-3)关于 y 轴的对称点 B(2,- 3).由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点 B.设反 射光线的斜率为 k,则反射光线所在直线的方程为 y-(-3) =k(x-2),即 kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切可得 |k?-3?-2-2k-3| 2 2 = 1 ,即 |5 k + 5| = 1 + k ,整理得 12 k + 2 1+ k 4 3 25k+12=0,即(3k+4)(4k+3)=0,解得 k=-3或 k=-4, 故选 D.


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