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简单的线性规划(第12课时)

高三年级备课组 主备教师:朱相平 授课教师:

总第 课时

教材章节: 解析几何 课题名称: 简单的线性规划(二)

知识与技能目标:
1、了解二元一次不等式表示平面区域. 2、了解线性规划的意义,并会简单的应用.
情感、态度、价值观目标:
启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题;培养学生抽象 概括能力和逻辑思维能力
新疆 王新敞
奎屯
教学重点:了解二元一次不等式表示平面区域.
教学难点:了解线性规划的意义,并会简单的应用

教学(实验)器材:

教学过程: 5.画出以 A(3,-1)、B(-1,1)、C(1,3)为顶点的△ABC 的区域(包括各边),
写出该区域所表示的二元一次不等式组,并求以该区域为可行域的目标函数 z=3x-2y 的最大值 和最小值.
分析:本例含三个问题:①画指定区域;②写所画区域的代数表达式——不等式组; ③ 求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.
解:如图,连结点 A、B、C,则直线 AB、BC、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域.
y

备课组 意见记 录及个 性化备 课

B2 -2

C

P

(1,1) 3

O1

x

A

直线 AB 的方程为 x+2y-1=0,BC 及 CA 的直线方程分别为 x-y+2=0,2x+y-5=0.

在△ABC 内取一点 P(1,1),分别代入 x+2y-1,x-y+2,2x+y-5 得 x+2y-1>0,x-

y+2>0,2x+y-5<0.

因此所求区域的不等式组为

x+2y-1≥0,

x-y+2≥0,

2x+y-5≤0.

作平行于直线 3x-2y=0 的直线系 3x-2y=t(t 为参数),即平移直线 y= 3 x,观察图形可 2

知:当直线

y=

3 2

x-

1 2

t



A(3,-1)时,纵截距-

1 2

t

最小.此时

t

最大,tmax=3×3-2×

1)=11;

(-

当直线

y=

3 2

x-

1 2

t

经过点

B(-1,1)时,纵截距-

1 2

t

最大,此时

t

有最小值为

tmin=

3

×(-1)-2×1=-5.



因此,函数 z=3x-2y 在约束条件 x+2y-1≥0, x-y+2≥0, 下的最大值为 11,最小值为-5. 2x+y-5≤0 6.某校伙食长期以面粉和大米为主食,面食每 100 g 含蛋白质 6 个单位,含淀粉 4 个单位, 售价 0.5 元,米食每 100 g 含蛋白质 3 个单位,含淀粉 7 个单位,售价 0.4 元,学校要求给学生 配制盒饭,每盒盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉,问应如何配制盒饭,才既 科学又费用最少? 解:设每盒盒饭需要面食 x(百克),米食 y(百克),
y 6x +3y=8

4x +7y =10

A

O

x

所需费用为 S=0.5x+0.4y,且 x、y 满足 6x+3y≥8, 4x+7y≥10, x≥0, y≥0,

由图可知,直线 y=- 5 x+ 5 S 过 A( 13 , 14 )时,纵截距 5 S 最小,即 S 最小.

42

15 15

2

故每盒盒饭为面食 13 百克,米食 14 百克时既科学又费用最少.

15

15

培养能力

7.配制 A、B 两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配一剂 A 种药需甲料 3 mg,乙料 5 mg; 配一剂 B 种药需甲料 5 mg,乙料 4 mg.今有甲料 20 mg,乙料 25 mg,若 A、B 两种药至少各配 一剂,问共有多少种配制方法?
解:设 A、B 两种药分别配 x、y 剂(x、y∈N),则 x≥1, y≥1, 3x+5y≤20, 5x+4y≤25. 上述不等式组的解集是以直线 x=1,y=1,3x+5y=20 及 5x+4y=25 为边界所围成的区域,这 个区域内的整点为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、 (4,1).所以,在至少各配一剂的情况下,共有 8 种不同的配制方法. 8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需求量 非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月

供应量,以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调 查,得到关于这两种产品的有关数据如下表:

资金

单位产品所需资金(百元)

空调机

洗衣机

月资金供应量(百元)

成本

30

20

300

劳动力(工资)

5

10

110

单位利润

6

8



试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少? 解:设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台,总利润是 P,则 P=6x+8y,由题意有
y 15
10 M

O

10

20 x

30x+20y≤300, 5x+10y≤110, x≥0, y≥0, x、y 均为整数.

由图知直线

y=-

3 4

x+

1 8

P



M(4,9)时,纵截距最大.这时

P

也取最大值

Pmax=6×4+8

×9=96(百元).

故当月供应量为空调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获得最大利润 9600 元.

探究创新

9.实系数方程 f(x)=x2+ax+2b=0 的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,求:

(1) b ? 2 的值域; a ?1
(2)(a-1)2+(b-2)2 的值域; (3)a+b-3 的值域.
f(0)>0 解:由题意知 f(1)<0 ?
f(2)>0 b>0, a+b+1<0, a+b+2>0. 如图所示. A(-3,1)、B(-2,0)、C(-1,0).

b

A

CO

b=0 B

a a+b=-1

a+b=-2

又由所要求的量的几何意义知,值域分别为(1)( 1 ,1);(2)(8,17);(3)(-5, 4
-4). ●思悟小结 简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛,主要解决的问题是:在资源的限制下,
如何使用资源来完成最多的生产任务;或是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的 资源来完成.如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题,通常解法是 将实际问题转化为数学模型,归结为线性规划,使用图解法解决.
图解法解决线性规划问题时,根据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地,可行域可以 是封闭的多边形,也可以是一侧开放的非封闭平面区域.第二是画好线性目标函数对应的平行直



线系,特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的顶点

(即边界线的交点)处取得,但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应

的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标.

●教师下载中心

教学点睛

线性规划是新增添的教学内容,应予以足够重视.

线性规划问题中的可行域,实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域,是解决线性

规划问题的基础,因为在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y)实数 Ax+By+C 的符号相同,

所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0)〔若原点不在直线上,则取原点(0,0)最简 便〕,把它的坐标代入 Ax+By+C=0,由其值的符号即可判断二元一次不等式 Ax+By+C>0(或 <0)表示直线的哪一侧.这是教材介绍的方法.
在求线性目标函数 z=ax+by 的最大值或最小值时,设 ax+by=t,则此直线往右(或左)平移

时,t 值随之增大(或减小),要会在可行域中确定最优解.

解线性规划应用题步骤:(1)设出决策变量,找出线性约束条件和线性目标函数; (2)

利用图象在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).

拓展题例

【例 1】 已知 f(x)=px2-q 且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的范围. 解:∵-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,

p-q≤-1,

p-q≥-4, ∴ 4p-q≤5,

4p-q≥-1.

求 z=9p-q 的最值.

q 4p-q=-1 p-q=-4

(1,5)

(3,7) p-q=-1

(0,1)

(2,3) 4p-q=5

O

p

如图,∵ p=0, q=1, zmin=-1,

p=3, q=7, zmax=20,

∴-1≤f(3)≤20.

【例 2】 某汽车公司有两家装配厂,生产甲、乙两种不同型号的汽车,若 A 厂每小时可完

成 1 辆甲型车和 2 辆乙型车;B 厂每小时可完成 3 辆甲型车和 1 辆乙型车.今欲制造 40 辆甲型

车和 20 辆乙型车,问这两家工厂各工作几小时,才能使所费的总工作时数最少?

教学(课后)反思:

授课教师签名:

日期:




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