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简单的线性规划(第12课时)


高三年级备课组 主备教师:朱相平 授课教师:
教材章节: 解析几何 课题名称:

总第

课时

简单的线性规划(二)

知识与技能目标:
1、了解二元一次不等式表示平面区域. 2、了解线性规划的意义,并会简单的应用.

情感、态度、价值观目标:
启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题;培养学生抽象 概括能力和逻辑思维能力
王新敞
奎屯 新疆

教学重点:了解二元一次不等式表示平面区域. 教学难点:了解线性规划的意义,并会简单的应用 教学(实验)器材:
教学过程: 5.画出以 A(3,-1)、B(-1,1)、C(1,3)为顶点的△ABC 的区域(包括各边), 写出该区域所表示的二元一次不等式组, 并求以该区域为可行域的目标函数 z=3x-2y 的最大值 和最小值. 分析: 本例含三个问题: ①画指定区域; ②写所画区域的代数表达式——不等式组; ③ 求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值. 解:如图,连结点 A、B、C,则直线 AB、BC、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域.
y

备课组 意见记 录及个 性化备 课

B -2

2

C P (1,1) 3 1 A

O

x

直线 AB 的方程为 x+2y-1=0,BC 及 CA 的直线方程分别为 x-y+2=0,2x+y-5=0. 在△ABC 内取一点 P(1,1),分别代入 x+2y-1,x-y+2,2x+y-5 得 x+2y-1>0,x- y+2>0,2x+y-5<0. 因此所求区域的不等式组为 x+2y-1≥0, x-y+2≥0, 2x+y-5≤0. 作平行于直线 3x-2y=0 的直线系 3x-2y=t(t 为参数),即平移直线 y= 知: 当直线 y= 1)=11; 当直线 y=
3 2 3 2 3 2

x,观察图形可 (-

x-

1 2

t过A (3, -1) 纵截距- 时,

1 2

t 最小.此时 t 最大,max=3×3-2× t

x-

1 2

t 经过点 B (-1, 时, 1) 纵截距-

1 2

t 最大, 此时 t 有最小值为 tmin=

3

×(-1)-2×1=-5.


因此,函数 z=3x-2y 在约束条件 x+2y-1≥0, x-y+2≥0, 下的最大值为 11,最小值为-5. 2x+y-5≤0 6.某校伙食长期以面粉和大米为主食,面食每 100 g 含蛋白质 6 个单位,含淀粉 4 个单位, 售价 0.5 元,米食每 100 g 含蛋白质 3 个单位,含淀粉 7 个单位,售价 0.4 元,学校要求给学生 配制盒饭,每盒盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉,问应如何配制盒饭,才既 科学又费用最少? 解:设每盒盒饭需要面食 x(百克),米食 y(百克),
y 6x +3y =8 4x +7y =10 A O x

所需费用为 S=0.5x+0.4y,且 x、y 满足 6x+3y≥8, 4x+7y≥10, x≥0, y≥0, 由图可知,直线 y=- 故每盒盒饭为面食
13 15 5 4

x+

5 2

S 过 A(
14 15

13 15



14 15

)时,纵截距

5 2

S 最小,即 S 最小.

百克,米食

百克时既科学又费用最少.

培养能力 7.配制 A、B 两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配一剂 A 种药需甲料 3 mg,乙料 5 mg; 配一剂 B 种药需甲料 5 mg,乙料 4 mg.今有甲料 20 mg,乙料 25 mg,若 A、B 两种药至少各配 一剂,问共有多少种配制方法? 解:设 A、B 两种药分别配 x、y 剂(x、y∈N),则 x≥1, y≥1, 3x+5y≤20, 5x+4y≤25. 上述不等式组的解集是以直线 x=1,y=1,3x+5y=20 及 5x+4y=25 为边界所围成的区域,这 个区域内的整点为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、 (4,1).所以,在至少各配一剂的情况下,共有 8 种不同的配制方法. 8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需求量 非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月 供应量,以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调 查,得到关于这两种产品的有关数据如下表:
资 成 金 本 单位产品所需资金(百元) 空调机 30 5 6 洗衣机 20 10 8 月资金供应量(百元) 300 110

劳动力(工资) 单位利润



试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少? 解:设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台,总利润是 P,则 P=6x+8y,由题意有
y 15 10 M

O

10

20

x

30x+20y≤300, 5x+10y≤110, x≥0, y≥0, x、y 均为整数. 由图知直线 y=-
3 4

x+

1 8

P 过 M(4,9)时,纵截距最大.这时 P 也取最大值 Pmax=6×4+8

×9=96(百元). 故当月供应量为空调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获得最大利润 9600 元. 探究创新 9.实系数方程 f(x)=x2+ax+2b=0 的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,求: (1)
b?2 a ?1

的值域;

(2)(a-1)2+(b-2)2 的值域; (3)a+b-3 的值域. f(0)>0 解:由题意知 f(1)<0 ? f(2)>0 b>0, a+b+1<0, a+b+2>0. 如图所示. A(-3,1)、B(-2,0)、C(-1,0).
b A C b=0 B O a a+b=-1 a+b=-2

又由所要求的量的几何意义知,值域分别为(1)(

1 4

,1);(2)(8,17);(3)(-5,

-4). ●思悟小结 简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛,主要解决的问题是:在资源的限制下, 如何使用资源来完成最多的生产任务;或是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的 资源来完成.如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题,通常解法是 将实际问题转化为数学模型,归结为线性规划,使用图解法解决. 图解法解决线性规划问题时,根据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地,可行域可以 是封闭的多边形, 也可以是一侧开放的非封闭平面区域.第二是画好线性目标函数对应的平行直



线系, 特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的顶点 (即边界线的交点)处取得,但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应 的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标. ●教师下载中心 教学点睛 线性规划是新增添的教学内容,应予以足够重视. 线性规划问题中的可行域,实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域,是解决线性 规划问题的基础,因为在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y)实数 Ax+By+C 的符号相同, 所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0)〔若原点不在直线上,则取原点(0,0)最简 便〕,把它的坐标代入 Ax+By+C=0,由其值的符号即可判断二元一次不等式 Ax+By+C>0(或 <0)表示直线的哪一侧.这是教材介绍的方法. 在求线性目标函数 z=ax+by 的最大值或最小值时,设 ax+by=t,则此直线往右(或左)平移 时,t 值随之增大(或减小),要会在可行域中确定最优解. 解线性规划应用题步骤: 设出决策变量, (1) 找出线性约束条件和线性目标函数; (2) 利用图象在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小). 拓展题例 【例 1】 已知 f(x)=px2-q 且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的范围. 解:∵-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5, p-q≤-1, p-q≥-4, ∴ 4p-q≤5, 4p-q≥-1. 求 z=9p-q 的最值.
q 4p-q=-1 p-q=-4 (3,7) p-q=-1 (1,5) (2,3) (0,1) O 4p-q=5 p

如图, ∵

p=0, q=1, zmin=-1,

p=3, z =20, q=7, max ∴-1≤f(3)≤20. 【例 2】 某汽车公司有两家装配厂,生产甲、乙两种不同型号的汽车,若 A 厂每小时可完 成 1 辆甲型车和 2 辆乙型车;B 厂每小时可完成 3 辆甲型车和 1 辆乙型车.今欲制造 40 辆甲型 车和 20 辆乙型车,问这两家工厂各工作几小时,才能使所费的总工作时数最少?

教学(课后)反思:

授课教师签名:

日期:




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